Чи знаєте ви, що розв’язок системи рівнянь — це просто точка на карті? Графічний метод дозволяє знайти відповідь без складних обчислень, лише за допомогою лінійки та олівця. У цьому уроці ми навчимося перетворювати математичні вирази на прямі лінії та знаходити місця їхньої «зустрічі». Ви дізнаєтеся, як за виглядом графіків миттєво визначити: має система один розв’язок, безліч чи не має жодного. Це ідеальний спосіб зрозуміти логіку систем рівнянь перед переходом до алгебраїчних методів.
Системою рівнянь називають множину рівнянь, для яких треба знайти спільний розв'язок. Позначають систему рівнянь за допомогою фігурної дужки.
Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.
Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.
Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом:
- Побудувати графік першого лінійного рівняння.
- Побудувати графік другого лінійного рівняння.
- Знайти координати точки перетину побудованих графіків (якщо вони перетинаються).
- Записати відповідь
Можливі результати:
| Результат | Зображення | Відповідь |
|---|
| Побудовані графіки перетинаються | | Система має єдиний розв'язок |
| Побудовані графіки паралельні | | Система не має розв'язків |
| Побудовані графіки співпадають | | Система має безліч розв'язків |
Приклади
- Встановіть, чи є розв'язком системи рівнянь \begin{cases}2x+y = 6,\\3x-2y=-5\end{cases} пари чисел: (1;4), (0;6) та (2;-3)
Показати відповідь
Розв'язування
1) (1;4)
Підставимо в перше рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
2 ⋅ 1 + 4 = 6.
2 + 4 = 6
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком першого рівняння в системі.
Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 4 = -5.
3 - 8 = - 5
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком другого рівняння в системі.
Так як пара чисел (1;4) є розв'язком обох рівнянь системи, то вона є розв'язком системи.
2) (0;6)
Підставимо в перше рівняння другу пару чисел замість змінних.
2 ⋅ 0 + 6 = 6.
0 + 6 = 6
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) є розв'язком першого рівняння в системі.
Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
3 ⋅ 0 - 2 ⋅ 6 = -5.
0 - 12 = - 5
Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння в системі.
Так як пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння системи, то вона не є розв'язком системи.
3) (2;-3)
Підставимо в перше рівняння третю пару чисел замість змінних.
2 ⋅ 2 + (-3) = 6.
4 - 3 = 6
Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (2;-3) не є розв'язком першого рівняння в системі.
В такому випадку перевіряти друге рівняння не має потреби, пара чисел (2;-3) вже не є розв'язком системи.
- Розв'язати графічно систему рівнянь \begin{cases}3x-y = 5,\\x+y=3\end{cases}
Показати відповідь
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи
3x-y = 5.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 1.
3 ⋅ 1 - у = 5
3 - у = 5
- у = 5 - 3
- у = 2
у = - 2
Візьмемо х = 3.
3 ⋅ 3 - у = 5
9 - у = 5
- у = 5 - 9
- у = - 4
у = 4
За знайденими точками будуємо графік рівняння
3x-y = 5.
Побудуємо графік другого рівняння системи
x+y=3.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 + у = 3
у = 3
Візьмемо х = 4.
4 + у = 3
у = 3 - 4
у = - 1
За знайденими точками будуємо графік рівняння
x+y=3.
Побудовані графіки перетинаються в точці з координатами
(2;1). Отже розв'язком системи рівнянь є пара чисел (2;1).
- Розв'язати графічно систему рівнянь \begin{cases}x+2y = 4,\\2x+4y=2\end{cases}
Показати відповідь
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи
x+2y = 4.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 + 2у = 4
2у = 4
у = 4 : 2
у = 2
Візьмемо х = 4.
4 + 2у = 4
2у = 4 - 4
2у = 0
у = 0 : 2
у = 0
За знайденими точками будуємо графік рівняння
x+2y = 4.
Побудуємо графік другого рівняння системи
2x+4y=2.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = -1.
2 ⋅ (-1) + 4у = 2
- 2 + 4y = 2
4y = 2 + 2
4y = 4
y = 4 : 4
y = 1
Візьмемо х = 1.
2 ⋅ 1 + 4у = 2
2 + 4y = 2
4y = 2 - 2
4y = 0
y = 0 : 4
y = 0
За знайденими точками будуємо графік рівняння
2x+4y=2.
Побудовані графіки не перетинаються, отже система розв'язків не має.
- Скільки розв'язків має система рівнянь \begin{cases}x-y = 2,\\3x-3y=6\end{cases}
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи x-y = 2.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 - у = 2
- у = 2
у = - 2
Візьмемо х = 4.
4 - у = 2
- у = 2 - 4
- у = - 2
у = 2
За знайденими точками будуємо графік рівняння x-y = 2.
Побудуємо графік другого рівняння системи 3x-3y=6.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = -1.
3 ⋅ (-1) - 3у = 6
-3 - 3y = 6
- 3y = 6 + 3
- 3у = 9
y = 9 : (-3)
y = -3
Візьмемо х = 3.
3 ⋅ 3 - 3у = 6
9 - 3y = 6
- 3y = 6 - 9
- 3у = -3
y = -3 : (-3)
y = 1
За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-3y=6.
Побудовані графіки співпадають, отже система має безліч розв'язків.
Коментарі