7 клас. Алгебра. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом

Чи знаєте ви, що розв’язок системи рівнянь — це просто точка на карті? Графічний метод дозволяє знайти відповідь без складних обчислень, лише за допомогою лінійки та олівця. У цьому уроці ми навчимося перетворювати математичні вирази на прямі лінії та знаходити місця їхньої «зустрічі». Ви дізнаєтеся, як за виглядом графіків миттєво визначити: має система один розв’язок, безліч чи не має жодного. Це ідеальний спосіб зрозуміти логіку систем рівнянь перед переходом до алгебраїчних методів.

---

Системою рівнянь називають множину рівнянь, для яких треба знайти спільний розв'язок. Позначають систему рівнянь за допомогою фігурної дужки.

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом:

1. Побудувати графік першого лінійного рівняння.
2. Побудувати графік другого лінійного рівняння.
3. Знайти координати точки перетину побудованих графіків (якщо вони перетинаються).
4. Записати відповідь

Можливі результати:

Результат	Зображення	Відповідь
Побудовані графіки перетинаються		Система має єдиний розв'язок
Побудовані графіки паралельні		Система не має розв'язків
Побудовані графіки співпадають		Система має безліч розв'язків

Завдання 1. Встановіть, чи є розв'язком системи рівнянь \begin{cases}2x+y = 6,\\3x-2y=-5\end{cases} пари чисел: (1;4), (0;6) та (2;-3)

Показати відповідь

Розв'язування
1) (1;4)
Підставимо в перше рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
2 · 1 + 4 = 6.
2 + 4 = 6
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком першого рівняння в системі.
Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
3 · 1 - 2 · 4 = -5.
3 - 8 = - 5
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком другого рівняння в системі.
Так як пара чисел (1;4) є розв'язком обох рівнянь системи, то вона є розв'язком системи.
2) (0;6)
Підставимо в перше рівняння другу пару чисел замість змінних.
2 · 0 + 6 = 6.
0 + 6 = 6
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) є розв'язком першого рівняння в системі.
Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
3 · 0 - 2 · 6 = -5.
0 - 12 = - 5
Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння в системі.
Так як пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння системи, то вона не є розв'язком системи.
3) (2;-3)
Підставимо в перше рівняння третю пару чисел замість змінних.
2 · 2 + (-3) = 6.
4 - 3 = 6
Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (2;-3) не є розв'язком першого рівняння в системі.
В такому випадку перевіряти друге рівняння не має потреби, пара чисел (2;-3) вже не є розв'язком системи.

Завдання 2. Розв'язати графічно систему рівнянь \begin{cases}3x-y = 5,\\x+y=3\end{cases}

Показати відповідь

Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи 3x-y = 5.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 1.
3 · 1 - у = 5
3 - у = 5
- у = 5 - 3
- у = 2
у = - 2
Візьмемо х = 3.
3 · 3 - у = 5
9 - у = 5
- у = 5 - 9
- у = - 4
у = 4

x	1	3
y	-2	4

За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-y = 5. Побудуємо графік другого рівняння системи x+y=3.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 + у = 3
у = 3
Візьмемо х = 4.
4 + у = 3
у = 3 - 4
у = - 1

x	0	4
y	3	-1

За знайденими точками будуємо графік рівняння x+y=3. Побудовані графіки перетинаються в точці з координатами (2;1). Отже розв'язком системи рівнянь є пара чисел (2;1).

Завдання 3. Розв'язати графічно систему рівнянь \begin{cases}x+2y = 4,\\2x+4y=2\end{cases}

Показати відповідь

Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи x+2y = 4.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 + 2у = 4
2у = 4
у = 4 : 2
у = 2
Візьмемо х = 4.
4 + 2у = 4
2у = 4 - 4
2у = 0
у = 0 : 2
у = 0

x	0	4
y	2	0

За знайденими точками будуємо графік рівняння x+2y = 4. Побудуємо графік другого рівняння системи 2x+4y=2.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = -1.
2 · (-1) + 4у = 2
- 2 + 4y = 2
4y = 2 + 2
4y = 4
y = 4 : 4
y = 1
Візьмемо х = 1.
2 · 1 + 4у = 2
2 + 4y = 2
4y = 2 - 2
4y = 0
y = 0 : 4
y = 0

x	-1	1
y	1	0

За знайденими точками будуємо графік рівняння 2x+4y=2. Побудовані графіки не перетинаються, отже система розв'язків не має.

Завдання 4. Скільки розв'язків має система рівнянь \begin{cases}x-y = 2,\\3x-3y=6\end{cases}
Розв'язування
Побудуємо графік першого рівняння системи x-y = 2.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
0 - у = 2
- у = 2
у = - 2
Візьмемо х = 4.
4 - у = 2
- у = 2 - 4
- у = - 2
у = 2

x	0	4
y	-2	2

За знайденими точками будуємо графік рівняння x-y = 2. Побудуємо графік другого рівняння системи 3x-3y=6.
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = -1.
3 · (-1) - 3у = 6
-3 - 3y = 6
- 3y = 6 + 3
- 3у = 9
y = 9 : (-3)
y = -3
Візьмемо х = 3.
3 · 3 - 3у = 6
9 - 3y = 6
- 3y = 6 - 9
- 3у = -3
y = -3 : (-3)
y = 1

x	-1	3
y	-3	1

За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-3y=6. Побудовані графіки співпадають, отже система має безліч розв'язків.

⇐ Рівняння з двома змінними. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік До змісту (Алгебра, 7) Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки ⇒