7 клас. Алгебра. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом

Системою рівнянь називають множину рівнянь, для яких треба знайти спільний розв'язок. Позначають систему рівнянь за допомогою фігурної дужки.

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом:

1. Побудувати графік першого лінійного рівняння.
2. Побудувати графік другого лінійного рівняння.
3. Знайти координати точки перетину побудованих графіків (якщо вони перетинаються).
4. Записати відповідь

Можливі результати:

Результат	Зображення	Відповідь
Побудовані графіки перетинаються		Система має єдиний розв'язок
Побудовані графіки паралельні		Система не має розв'язків
Побудовані графіки співпадають		Система має безліч розв'язків

Приклади

1. Встановіть, чи є розв'язком системи рівнянь пари чисел: (1;4), (0;6) та (2;-3)
   Розв'язування
   (1;4)
   Підставимо в перше рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
   2 ⋅ 1 + 4 = 6.
   2 + 4 = 6
   Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком першого рівняння в системі.
   Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
   3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 4 = -5.
   3 - 8 = - 5
   Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком другого рівняння в системі.
   Так як пара чисел (1;4) є розв'язком обох рівнянь системи, то вона є розв'язком системи.
   (0;6)
   Підставимо в перше рівняння другу пару чисел замість змінних.
   2 ⋅ 0 + 6 = 6.
   0 + 6 = 6
   Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) є розв'язком першого рівняння в системі.
   Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
   3 ⋅ 0 - 2 ⋅ 6 = -5.
   0 - 12 = - 5
   Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння в системі.
   Так як пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння системи, то вона не є розв'язком системи.
   (2;-3)
   Підставимо в перше рівняння третю пару чисел замість змінних.
   2 ⋅ 2 + (-3) = 6.
   4 - 3 = 6
   Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (2;-3) не є розв'язком першого рівняння в системі.
   В такому випадку перевіряти друге рівняння не має потреби, пара чисел (2;-3) вже не є розв'язком системи.
   
2. Розв'язати графічно систему рівнянь
   Розв'язування
   Побудуємо графік першого рівняння системи 3x-y = 5.
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = 1.
   3 ⋅ 1 - у = 5
   3 - у = 5
   - у = 5 - 3
   - у = 2
   у = - 2
   Візьмемо х = 3.
   3 ⋅ 3 - у = 5
   9 - у = 5
   - у = 5 - 9
   - у = - 4
   у = 4
   

   x	1	3
   y	-2	4

   За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-y = 5.
   
   
   Побудуємо графік другого рівняння системи x+y=3.
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = 0.
   0 + у = 3
   у = 3
   Візьмемо х = 4.
   4 + у = 3
   у = 3 - 4
   у = - 1
   

   x	0	4
   y	3	-1

   За знайденими точками будуємо графік рівняння x+y=3.
   
   
   Побудовані графіки перетинаються в точці з координатами (2;1). Отже розв'язком системи рівнянь є пара чисел (2;1).
3. Розв'язати графічно систему рівнянь
   Розв'язування
   Побудуємо графік першого рівняння системи x+2y = 4.
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = 0.
   0 + 2у = 4
   2у = 4
   у = 4 : 2
   у = 2
   Візьмемо х = 4.
   4 + 2у = 4
   2у = 4 - 4
   2у = 0
   у = 0 : 2
   у = 0
   

   x	0	4
   y	2	0

   За знайденими точками будуємо графік рівняння x+2y = 4.
   
   
   Побудуємо графік другого рівняння системи 2x+4y=2.
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = -1.
   2 ⋅ (-1) + 4у = 2
   - 2 + 4y = 2
   4y = 2 + 2
   4y = 4
   y = 4 : 4
   y = 1
   Візьмемо х = 1.
   2 ⋅ 1 + 4у = 2
   2 + 4y = 2
   4y = 2 - 2
   4y = 0
   y = 0 : 4
   y = 0
   

   x	-1	1
   y	1	0

   За знайденими точками будуємо графік рівняння 2x+4y=2.
   
   
   Побудовані графіки не перетинаються, отже система розв'язків не має.
4. Скільки розв'язків має система рівнянь
   Розв'язування
   Побудуємо графік першого рівняння системи x-y = 2.
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = 0.
   0 - у = 2
   - у = 2
   у = - 2
   Візьмемо х = 4.
   4 - у = 2
   - у = 2 - 4
   - у = - 2
   у = 2
   

   x	0	4
   y	-2	2

   За знайденими точками будуємо графік рівняння x-y = 2.
   
   
   Побудуємо графік другого рівняння системи 3x-3y=6.
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = -1.
   3 ⋅ (-1) - 3у = 6
   -3 - 3y = 6
   - 3y = 6 + 3
   - 3у = 9
   y = 9 : (-3)
   y = -3
   Візьмемо х = 3.
   3 ⋅ 3 - 3у = 6
   9 - 3y = 6
   - 3y = 6 - 9
   - 3у = -3
   y = -3 : (-3)
   y = 1
   

   x	-1	3
   y	-3	1

   За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-3y=6.
   
   
   Побудовані графіки співпадають, отже система має безліч розв'язків.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем