Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом

Системою рівнянь називають множину рівнянь, для яких треба знайти спільний розв'язок. Позначають систему рівнянь за допомогою фігурної дужки.

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом:

  1. Побудувати графік першого лінійного рівняння.
  2. Побудувати графік другого лінійного рівняння.
  3. Знайти координати точки перетину побудованих графіків (якщо вони перетинаються).
  4. Записати відповідь

Можливі результати:

РезультатЗображенняВідповідь
Побудовані графіки перетинаються
графічний розв'язок системи лінійних рівнянь, graphical solution of a system of linear equations
Система має єдиний розв'язок
Побудовані графіки паралельні
графічний розв'язок системи лінійних рівнянь, graphical solution of a system of linear equations
Система не має розв'язків
Побудовані графіки співпадають
графічний розв'язок системи лінійних рівнянь, graphical solution of a system of linear equations
Система має безліч розв'язків

Приклади

  1. Встановіть, чи є розв'язком системи рівнянь пари чисел: (1;4), (0;6) та (2;-3)
    Показати відповідь
    Розв'язування
    1) (1;4)
    Підставимо в перше рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
    2 ⋅ 1 + 4 = 6.
    2 + 4 = 6
    Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком першого рівняння в системі.
    Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
    3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 4 = -5.
    3 - 8 = - 5
    Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;4) є розв'язком другого рівняння в системі.
    Так як пара чисел (1;4) є розв'язком обох рівнянь системи, то вона є розв'язком системи.
    2) (0;6)
    Підставимо в перше рівняння другу пару чисел замість змінних.
    2 ⋅ 0 + 6 = 6.
    0 + 6 = 6
    Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) є розв'язком першого рівняння в системі.
    Підставимо в друге рівняння першу пару чисел.
    3 ⋅ 0 - 2 ⋅ 6 = -5.
    0 - 12 = - 5
    Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння в системі.
    Так як пара чисел (0;6) не є розв'язком другого рівняння системи, то вона не є розв'язком системи.
    3) (2;-3)
    Підставимо в перше рівняння третю пару чисел замість змінних.
    2 ⋅ 2 + (-3) = 6.
    4 - 3 = 6
    Отримали неправильну числову рівність, тому пара чисел (2;-3) не є розв'язком першого рівняння в системі.
    В такому випадку перевіряти друге рівняння не має потреби, пара чисел (2;-3) вже не є розв'язком системи.
  2. Розв'язати графічно систему рівнянь
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Побудуємо графік першого рівняння системи 3x-y = 5.
    Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
    Візьмемо х = 1.
    3 ⋅ 1 - у = 5
    3 - у = 5
    - у = 5 - 3
    - у = 2
    у = - 2
    Візьмемо х = 3.
    3 ⋅ 3 - у = 5
    9 - у = 5
    - у = 5 - 9
    - у = - 4
    у = 4
    x13
    y-24
    За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-y = 5.
    графік лінійного рівняння, graph of a linear equation
    Побудуємо графік другого рівняння системи x+y=3.
    Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
    Візьмемо х = 0.
    0 + у = 3
    у = 3
    Візьмемо х = 4.
    4 + у = 3
    у = 3 - 4
    у = - 1
    x04
    y3-1
    За знайденими точками будуємо графік рівняння x+y=3.
    графічний розв'язок системи лінійних рівнянь, graphical solution of a system of linear equations
    Побудовані графіки перетинаються в точці з координатами (2;1). Отже розв'язком системи рівнянь є пара чисел (2;1).
  3. Розв'язати графічно систему рівнянь
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Побудуємо графік першого рівняння системи x+2y = 4.
    Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
    Візьмемо х = 0.
    0 + 2у = 4
    2у = 4
    у = 4 : 2
    у = 2
    Візьмемо х = 4.
    4 + 2у = 4
    2у = 4 - 4
    2у = 0
    у = 0 : 2
    у = 0
    x04
    y20
    За знайденими точками будуємо графік рівняння x+2y = 4.
    графік лінійного рівняння, graph of a linear equation
    Побудуємо графік другого рівняння системи 2x+4y=2.
    Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
    Візьмемо х = -1.
    2 ⋅ (-1) + 4у = 2
    - 2 + 4y = 2
    4y = 2 + 2
    4y = 4
    y = 4 : 4
    y = 1
    Візьмемо х = 1.
    2 ⋅ 1 + 4у = 2
    2 + 4y = 2
    4y = 2 - 2
    4y = 0
    y = 0 : 4
    y = 0
    x-11
    y10
    За знайденими точками будуємо графік рівняння 2x+4y=2.
    графічний розв'язок системи лінійних рівнянь, graphical solution of a system of linear equations
    Побудовані графіки не перетинаються, отже система розв'язків не має.
  4. Скільки розв'язків має система рівнянь
    Розв'язування
    Побудуємо графік першого рівняння системи x-y = 2.
    Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
    Візьмемо х = 0.
    0 - у = 2
    - у = 2
    у = - 2
    Візьмемо х = 4.
    4 - у = 2
    - у = 2 - 4
    - у = - 2
    у = 2
    x04
    y-22
    За знайденими точками будуємо графік рівняння x-y = 2.
    графік лінійного рівняння, graph of a linear equation
    Побудуємо графік другого рівняння системи 3x-3y=6.
    Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
    Візьмемо х = -1.
    3 ⋅ (-1) - 3у = 6
    -3 - 3y = 6
    - 3y = 6 + 3
    - 3у = 9
    y = 9 : (-3)
    y = -3
    Візьмемо х = 3.
    3 ⋅ 3 - 3у = 6
    9 - 3y = 6
    - 3y = 6 - 9
    - 3у = -3
    y = -3 : (-3)
    y = 1
    x-13
    y-31
    За знайденими точками будуємо графік рівняння 3x-3y=6.
    графічний розв'язок системи лінійних рівнянь, graphical solution of a system of linear equations
    Побудовані графіки співпадають, отже система має безліч розв'язків.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар