Перейти до основного вмісту

7 клас. Алгебра. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

Як знайти точні координати перетину прямих без олівця та лінійки? Метод підстановки — це універсальний спосіб розв’язування систем, який працює навіть тоді, коли графіки будувати занадто складно. Його суть проста: «замінити» невідоме відомим виразом. У цьому уроці ми крок за кроком опануємо алгоритм підстановки: від вибору найзручнішої змінної до складних випадків із розкриттям дужок та звичайними дробами. Ви дізнаєтеся, як розпізнати системи, що не мають розв’язків, або навпаки — мають їх безліч, лише за допомогою алгебраїчних перетворень.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки:

  1. Виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через іншу (краще ту, коефіцієнт біля якої 1 або -1).
  2. Підставити у інше рівняння системи замість обраної змінної її значення з попереднього кроку.
  3. Розв’язати отримане лінійне рівняння з однією змінною.
  4. Підставити отримане значення змінної у вираз для підстановки, щоб отримати відповідне значення іншої змінної.
  5. Записати відповідь

Зверніть увагу. Якщо якесь рівняння системи містить лише одну змінну, починати треба саме з цього рівняння.

Приклади

  1. Розв'яжіть систему рівнянь 2x+y = 6,\\4x=12\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як друге рівняння системи містить лише одну змінну, то починаємо з цього рівняння.
    4х = 12
    х = 12 : 4
    х = 3
    Підставимо отримане значення х у перше рівняння системи.
    2 ⋅ 3 + у = 6
    6 + у = 6
    у = 6 - 6
    у = 0
    Відповідь: (3;0).
  2. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}2x+y= 6,\\3x - 5y = -17\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Оскільки в першому рівнянні системи змінна у має коефіцієнт 1, то виразимо змінну у з першого рівняння.
    2х + у = 6
    у = 6 - 2х
    Підставимо отриманий вираз 6-2х замість змінної у у друге рівняння системи.
    3x - 5(6 - 2x) = - 17
    3x - 5 ⋅ 6 - 5 ⋅ (- 2x) = - 17
    3х - 30 + 10х = - 17
    3х + 10х = - 17 + 30
    13х = 13
    х = 13 : 13
    х = 1
    Підставимо значення х = 1 у вираз для підстановки у = 6 - 2х
    у = 6 - 2 ⋅ 1 = 6 - 2 = 4
    Відповідь: (1;4).
  3. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}3x+5y= 2,6,\\x - 3y = -1\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Оскільки в другому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з другого рівняння.
    х - 3у = - 1
    х =3у - 1
    Підставимо отриманий вираз 3у - 1 замість змінної х у перше рівняння системи.
    3 (3у - 1) + 5у = 2,6
    3 ⋅ 3у - 3 ⋅ 1 + 5у = 2,6
    9у - 3 + 5у = 2,6
    9у + 5у = 2,6 + 3
    14у = 5,6
    у = 5,6 : 14
    у = 0,4
    Підставимо значення у = 0,4 у вираз для підстановки х = 3у - 1
    х = 3 ⋅ 0,4 - 1 = 1,2 - 1 = 0,2
    Відповідь: (0,2; 0,4).
  4. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}2(3x-2y)+3(x+3y)=0,3,\\4(y-2x)-5(2y+x)=-0,8\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Спочатку спростимо систему.
    \begin{cases}2(3x-2y)+3(x+3y)=0,3,\\4(y-2x)-5(2y+x)=-0,8;\end{cases} \begin{cases}2\cdot3x-2\cdot2y+3\cdot {x}+3\cdot3y=0,3,\\4\cdot{y}-4\cdot2x-5\cdot2y-5\cdot{x}=-0,8;\end{cases} \begin{cases}6x-4y+3x+9y=0,3,\\4y-8x-10y-5x=-0,8;\end{cases} \begin{cases}9x + 5y=0,3,\\-13x-6y=-0,8.\end{cases}
    Виразимо змінну у з першого рівняння.
    9x + 5y = 0,3
    5y = 0,3 - 9x
    y= (0,3 - 9x):5
    y =0,06 - 1,8x
    Підставимо отриманий вираз 0,06 - 1,8x замість змінної y у друге рівняння системи.
    -13x - 6 (0,06 - 1,8x) = -0,8
    -13x - 6 ⋅ 0,06 - 6 ⋅ (-1,8x) = -0,8
    -13x - 0,36 + 10,8x = -0,8
    -13x + 10,8x = -0,8 + 0,36
    - 2,2х = - 0,44
    х = -0,44 : (- 2,2)
    х = 0,2
    Підставимо значення х = 0,2 у вираз для підстановки у = 0,06 - 1,8x
    у = 0,06 - 1,8 ⋅ 0,2 = 0,06 - 0,36 = - 0,3
    Відповідь: (0,2; - 0,3).
  5. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}3x+2y= 5,\\2x - 3y = 1\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Виразимо змінну x з першого рівняння.
    3х + 2у = 5
    3х = 5 - 2у
    х = \frac{5-2y}{3}
    Підставимо отриманий вираз \frac{5-2y}{3} замість змінної х у друге рівняння системи.
    2\cdot\frac{5-2y}{3}-3y=1
    Домножимо рівняння на 3, щоб позбутися знаменника.
    3\cdot2\cdot\frac{5-2y}{3}-3\cdot3y=3\cdot1
    2(5 - 2у) - 9у = 3
    2 ⋅ 5 - 2 ⋅ 2y - 9y = 3
    10 - 4у - 9у = 3
    - 4у - 9у = 3 - 10
    - 13у = - 7
    y=\frac{7}{13}
    Підставимо значення y=\frac{7}{13} у вираз для підстановки х = \frac{5-2y}{3}
    х = \frac{5-2\cdot\frac{7}{13}}{3} = \frac{5-\frac{14}{13}}{3} = \frac{\frac{5\cdot13}{13}-\frac{14}{13}}{3} = \frac{\frac{65}{13}-\frac{14}{13}}{3} = \frac{\frac{51}{13}}{3} = \frac{51}{39} = \frac{17}{13} = 1\frac{4}{13}
    Відповідь: (1\frac{4}{13}; \frac{7}{13}).
  6. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}x+2y= 7,\\2x + 4y = 8\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Оскільки в першому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з першого рівняння.
    х + 2у = 7
    х = 7 - 2у
    Підставимо отриманий вираз 7 - 2у замість змінної х у друге рівняння системи.
    2 (7 - 2у) + 4у = 8
    2 ⋅ 7 - 2 ⋅ 2у + 4у = 8
    14 - 4у + 4у = 8
    - 4у + 4у = 8 - 14
    0у = - 6
    Так як при жодному значенні у 0у не може дорівнювати -6, то система рівнянь не має розв'язків
    Відповідь: Система рівнянь не має розв'язків.
  7. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}x+2y= 7,\\2x + 4y = 14\end{cases} способом підстановки.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Оскільки в першому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з першого рівняння.
    х + 2у = 7
    х = 7 - 2у
    Підставимо отриманий вираз 7 - 2у замість змінної х у друге рівняння системи.
    2 (7 - 2у) + 4у = 14
    2 ⋅ 7 - 2 ⋅ 2у + 4у = 14
    14 - 4у + 4у = 14
    - 4у + 4у = 14 - 14
    0у = 0
    Так як при будь-якому значенні у 0у буде дорівнювати 0, то система рівнянь має безліч розв'язків виду (7-2у; у).
    Відповідь: Система рівнянь має безліч розв'язків виду (7-2у; у).
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot{n} або S n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n} 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . ...
5 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y=\sqrt{x} y = x + 2 y = −x 2 y=\frac{1}{x} Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3)...
13 коментарів
Read more »

Похідна функції

Правила диференціювання (C)'=0 (C⋅f(x))'=C⋅f'(x) (f(x)&pm;g(x))'=f'(x)&pm;g'(x) (f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x) ( \frac{f(x)}{g(x)} )'= \frac{f'(x)\cdot{g(x)}-f(x)\cdot{g'(x)}}{g^2(x)} (f(g(x)))'=f' g ⋅g' x Таблиця похідних (x n )'=nx n-1 (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tgx)'= \frac{1}{cos^2x} (ctgx)'= \frac{-1}{sins^2x} (a x )'=a x lna (e x )'=e x (log a x)'= \frac{1}{xlna} (lnx)'= \frac{1}{x} Завдання. НМТ 2026 (демо). Задано функцію 𝑓(𝑥)={\footnotesize\begin{cases}30,x\lt-2,\\[-0.2em] 2x^4+x,x\ge-2\end{cases}} . Обчисліть значення виразу 𝑓(-3) - 𝑓'(2). Показати відповідь –35 . Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x 4 + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 ⋅ 4 x 4 - 1 + 1 = 8x 3 + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) ...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар