7 клас. Алгебра. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

Як знайти точні координати перетину прямих без олівця та лінійки? Метод підстановки — це універсальний спосіб розв’язування систем, який працює навіть тоді, коли графіки будувати занадто складно. Його суть проста: «замінити» невідоме відомим виразом. У цьому уроці ми крок за кроком опануємо алгоритм підстановки: від вибору найзручнішої змінної до складних випадків із розкриттям дужок та звичайними дробами. Ви дізнаєтеся, як розпізнати системи, що не мають розв’язків, або навпаки — мають їх безліч, лише за допомогою алгебраїчних перетворень.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки:

  1. Виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через іншу (краще змінну, коефіцієнт при якій дорівнює 1 або -1).
  2. Підставити в інше рівняння системи замість обраної змінної її значення з попереднього кроку.
  3. Розв’язати отримане лінійне рівняння з однією змінною.
  4. Підставити отримане значення змінної у вираз для підстановки, щоб отримати відповідне значення іншої змінної.
  5. Записати відповідь.

Зверніть увагу. Якщо якесь рівняння системи містить лише одну змінну, починати треба саме з цього рівняння.

Завдання 1. Розв'яжіть систему рівнянь {2x + y = 6,4x = 12 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як друге рівняння системи містить лише одну змінну, то починаємо з цього рівняння.
4х = 12
х = 12 : 4
х = 3
Підставимо отримане значення х у перше рівняння системи.
2 · 3 + у = 6
6 + у = 6
у = 6 - 6
у = 0
Відповідь: (3; 0).
Завдання 2. Розв'яжіть систему рівнянь {2x + y = 6,3x - 5y = -17 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Оскільки в першому рівнянні системи змінна у має коефіцієнт 1, то виразимо змінну у з першого рівняння.
2х + у = 6
у = 6 - 2х
Підставимо отриманий вираз 6-2х замість змінної у у друге рівняння системи.
3x - 5(6 - 2x) = - 17
3x - 5 · 6 - 5 · (- 2x) = - 17
3х - 30 + 10х = - 17
3х + 10х = - 17 + 30
13х = 13
х = 13 : 13
х = 1
Підставимо значення х = 1 у вираз для підстановки у = 6 - 2х
у = 6 - 2 · 1 = 6 - 2 = 4
Відповідь: (1; 4).
Завдання 3. Розв'яжіть систему рівнянь {3x + 5y= 2,6,x - 3y = -1 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Оскільки в другому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з другого рівняння.
х - 3у = - 1
х = 3у - 1
Підставимо отриманий вираз 3у - 1 замість змінної х у перше рівняння системи.
3 (3у - 1) + 5у = 2,6
3 · 3у - 3 · 1 + 5у = 2,6
9у - 3 + 5у = 2,6
9у + 5у = 2,6 + 3
14у = 5,6
у = 5,6 : 14
у = 0,4
Підставимо значення у = 0,4 у вираз для підстановки х = 3у - 1
х = 3 · 0,4 - 1 = 1,2 - 1 = 0,2
Відповідь: (0,2; 0,4).
Завдання 4. Розв'яжіть систему рівнянь {2(3x - 2y) + 3(x + 3y) = 0,3,4(y - 2x) - 5(2y + x) = -0,8 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Спочатку спростимо систему.
{2(3x - 2y) + 3(x + 3y) = 0,3,4(y - 2x) - 5(2y + x) = -0,8⇔ {2 · 3x - 2 · 2y + 3 · x + 3 · 3y = 0,3,4 · y - 4 · 2x - 5 · 2y - 5 · x = -0,8⇔ {6x - 4y + 3x + 9y = 0,3,4y - 8x - 10y - 5x = -0,8⇔ {9x + 5y = 0,3,-13x - 6y = -0,8
Виразимо змінну у з першого рівняння.
9x + 5y = 0,3
5y = 0,3 - 9x
y = (0,3 - 9x):5
y = 0,06 - 1,8x
Підставимо отриманий вираз 0,06 - 1,8x замість змінної y у друге рівняння системи.
-13x - 6 (0,06 - 1,8x) = -0,8
-13x - 6 · 0,06 - 6 · (-1,8x) = -0,8
-13x - 0,36 + 10,8x = -0,8
-13x + 10,8x = -0,8 + 0,36
-2,2х = - 0,44
х = -0,44 : (- 2,2)
х = 0,2
Підставимо значення х = 0,2 у вираз для підстановки у = 0,06 - 1,8x
у = 0,06 - 1,8 · 0,2 = 0,06 - 0,36 = -0,3
Відповідь: (0,2; -0,3).
Завдання 5. Розв'яжіть систему рівнянь {3x + 2y= 5,2x - 3y = 1 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Виразимо змінну x з першого рівняння.
3х + 2у = 5
3х = 5 - 2у
х = 5 - 2y3
Підставимо отриманий вираз 5 - 2y3 замість змінної х у друге рівняння системи.
2 · 5 - 2y3 - 3y = 1
Помножимо обидві частини рівняння на 3, щоб позбутися знаменника.
3 · 2 · 5 - 2y3 - 3 · 3y = 3 · 1
2(5 - 2у) - 9у = 3
2 · 5 - 2 · 2y - 9y = 3
10 - 4у - 9у = 3
-4у - 9у = 3 - 10
-13у = -7
y = 713
Підставимо значення y = 713 у вираз для підстановки х = 5 - 2y3
х = 5 - 2 · 7133 = 5 - 14133 = 6513 - 14133 = 51133 = 5139 = 1713 = 1413
Відповідь: (1413; 713).
Завдання 6. Розв'яжіть систему рівнянь {x + 2y= 7,2x + 4y = 8 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Оскільки в першому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з першого рівняння.
х + 2у = 7
х = 7 - 2у
Підставимо отриманий вираз 7 - 2у замість змінної х у друге рівняння системи.
2 (7 - 2у) + 4у = 8
2 · 7 - 2 · 2у + 4у = 8
14 - 4у + 4у = 8
- 4у + 4у = 8 - 14
0у = - 6
Так як при жодному значенні у 0у не може дорівнювати -6, то система рівнянь не має розв'язків
Відповідь: Система рівнянь не має розв'язків.
Завдання 7. Розв'яжіть систему рівнянь {x + 2y= 7,2x + 4y = 14 способом підстановки.
Показати відповідь
Розв'язування
Оскільки в першому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з першого рівняння.
х + 2у = 7
х = 7 - 2у
Підставимо отриманий вираз 7 - 2у замість змінної х у друге рівняння системи.
2 (7 - 2у) + 4у = 14
2 · 7 - 2 · 2у + 4у = 14
14 - 4у + 4у = 14
- 4у + 4у = 14 - 14
0у = 0
Так як при будь-якому значенні у 0у буде дорівнювати 0, то система рівнянь має безліч розв'язків виду (7 - 2у; у), де y — довільне число.
Відповідь: Система рівнянь має безліч розв'язків виду (7 - 2у; у), де y — довільне число.