7 клас. Алгебра. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

Як знайти точні координати перетину прямих без олівця та лінійки? Метод підстановки — це універсальний спосіб розв’язування систем, який працює навіть тоді, коли графіки будувати занадто складно. Його суть проста: «замінити» невідоме відомим виразом. У цьому уроці ми крок за кроком опануємо алгоритм підстановки: від вибору найзручнішої змінної до складних випадків із розкриттям дужок та звичайними дробами. Ви дізнаєтеся, як розпізнати системи, що не мають розв’язків, або навпаки — мають їх безліч, лише за допомогою алгебраїчних перетворень.

---

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки:

1. Виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через іншу (краще ту, коефіцієнт біля якої 1 або -1).
2. Підставити у інше рівняння системи замість обраної змінної її значення з попереднього кроку.
3. Розв’язати отримане лінійне рівняння з однією змінною.
4. Підставити отримане значення змінної у вираз для підстановки, щоб отримати відповідне значення іншої змінної.
5. Записати відповідь

Зверніть увагу. Якщо якесь рівняння системи містить лише одну змінну, починати треба саме з цього рівняння.

Приклади

1. Розв'яжіть систему рівнянь 2x+y = 6,\\4x=12\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Так як друге рівняння системи містить лише одну змінну, то починаємо з цього рівняння.
   4х = 12
   х = 12 : 4
   х = 3
   Підставимо отримане значення х у перше рівняння системи.
   2 ⋅ 3 + у = 6
   6 + у = 6
   у = 6 - 6
   у = 0
   Відповідь: (3;0).
2. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}2x+y= 6,\\3x - 5y = -17\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Оскільки в першому рівнянні системи змінна у має коефіцієнт 1, то виразимо змінну у з першого рівняння.
   2х + у = 6
   у = 6 - 2х
   Підставимо отриманий вираз 6-2х замість змінної у у друге рівняння системи.
   3x - 5(6 - 2x) = - 17
   3x - 5 ⋅ 6 - 5 ⋅ (- 2x) = - 17
   3х - 30 + 10х = - 17
   3х + 10х = - 17 + 30
   13х = 13
   х = 13 : 13
   х = 1
   Підставимо значення х = 1 у вираз для підстановки у = 6 - 2х
   у = 6 - 2 ⋅ 1 = 6 - 2 = 4
   Відповідь: (1;4).
3. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}3x+5y= 2,6,\\x - 3y = -1\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Оскільки в другому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з другого рівняння.
   х - 3у = - 1
   х =3у - 1
   Підставимо отриманий вираз 3у - 1 замість змінної х у перше рівняння системи.
   3 (3у - 1) + 5у = 2,6
   3 ⋅ 3у - 3 ⋅ 1 + 5у = 2,6
   9у - 3 + 5у = 2,6
   9у + 5у = 2,6 + 3
   14у = 5,6
   у = 5,6 : 14
   у = 0,4
   Підставимо значення у = 0,4 у вираз для підстановки х = 3у - 1
   х = 3 ⋅ 0,4 - 1 = 1,2 - 1 = 0,2
   Відповідь: (0,2; 0,4).
4. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}2(3x-2y)+3(x+3y)=0,3,\\4(y-2x)-5(2y+x)=-0,8\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Спочатку спростимо систему.
   \begin{cases}2(3x-2y)+3(x+3y)=0,3,\\4(y-2x)-5(2y+x)=-0,8;\end{cases} \begin{cases}2\cdot3x-2\cdot2y+3\cdot {x}+3\cdot3y=0,3,\\4\cdot{y}-4\cdot2x-5\cdot2y-5\cdot{x}=-0,8;\end{cases} \begin{cases}6x-4y+3x+9y=0,3,\\4y-8x-10y-5x=-0,8;\end{cases} \begin{cases}9x + 5y=0,3,\\-13x-6y=-0,8.\end{cases}
   Виразимо змінну у з першого рівняння.
   9x + 5y = 0,3
   5y = 0,3 - 9x
   y= (0,3 - 9x):5
   y =0,06 - 1,8x
   Підставимо отриманий вираз 0,06 - 1,8x замість змінної y у друге рівняння системи.
   -13x - 6 (0,06 - 1,8x) = -0,8
   -13x - 6 ⋅ 0,06 - 6 ⋅ (-1,8x) = -0,8
   -13x - 0,36 + 10,8x = -0,8
   -13x + 10,8x = -0,8 + 0,36
   - 2,2х = - 0,44
   х = -0,44 : (- 2,2)
   х = 0,2
   Підставимо значення х = 0,2 у вираз для підстановки у = 0,06 - 1,8x
   у = 0,06 - 1,8 ⋅ 0,2 = 0,06 - 0,36 = - 0,3
   Відповідь: (0,2; - 0,3).
5. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}3x+2y= 5,\\2x - 3y = 1\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Виразимо змінну x з першого рівняння.
   3х + 2у = 5
   3х = 5 - 2у
   х = \frac{5-2y}{3}
   Підставимо отриманий вираз \frac{5-2y}{3} замість змінної х у друге рівняння системи.
   2\cdot\frac{5-2y}{3}-3y=1
   Домножимо рівняння на 3, щоб позбутися знаменника.
   3\cdot2\cdot\frac{5-2y}{3}-3\cdot3y=3\cdot1
   2(5 - 2у) - 9у = 3
   2 ⋅ 5 - 2 ⋅ 2y - 9y = 3
   10 - 4у - 9у = 3
   - 4у - 9у = 3 - 10
   - 13у = - 7
   y=\frac{7}{13}
   Підставимо значення y=\frac{7}{13} у вираз для підстановки х = \frac{5-2y}{3}
   х = \frac{5-2\cdot\frac{7}{13}}{3} = \frac{5-\frac{14}{13}}{3} = \frac{\frac{5\cdot13}{13}-\frac{14}{13}}{3} = \frac{\frac{65}{13}-\frac{14}{13}}{3} = \frac{\frac{51}{13}}{3} = \frac{51}{39} = \frac{17}{13} = 1\frac{4}{13}
   Відповідь: (1\frac{4}{13}; \frac{7}{13}).
6. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}x+2y= 7,\\2x + 4y = 8\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Оскільки в першому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з першого рівняння.
   х + 2у = 7
   х = 7 - 2у
   Підставимо отриманий вираз 7 - 2у замість змінної х у друге рівняння системи.
   2 (7 - 2у) + 4у = 8
   2 ⋅ 7 - 2 ⋅ 2у + 4у = 8
   14 - 4у + 4у = 8
   - 4у + 4у = 8 - 14
   0у = - 6
   Так як при жодному значенні у 0у не може дорівнювати -6, то система рівнянь не має розв'язків
   Відповідь: Система рівнянь не має розв'язків.
7. Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}x+2y= 7,\\2x + 4y = 14\end{cases} способом підстановки.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Оскільки в першому рівнянні системи змінна x має коефіцієнт 1, то виразимо змінну x з першого рівняння.
   х + 2у = 7
   х = 7 - 2у
   Підставимо отриманий вираз 7 - 2у замість змінної х у друге рівняння системи.
   2 (7 - 2у) + 4у = 14
   2 ⋅ 7 - 2 ⋅ 2у + 4у = 14
   14 - 4у + 4у = 14
   - 4у + 4у = 14 - 14
   0у = 0
   Так як при будь-якому значенні у 0у буде дорівнювати 0, то система рівнянь має безліч розв'язків виду (7-2у; у).
   Відповідь: Система рівнянь має безліч розв'язків виду (7-2у; у).

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема