Як спростити розв’язування систем рівнянь і уникнути громіздких дробів? Спосіб додавання — це справжня «магічна паличка» в алгебрі. Його головна ідея полягає в тому, щоб тимчасово позбутися однієї змінної, просто додавши рівняння одне до одного. У цьому уроці ми розберемо чіткий алгоритм дій: від пошуку найменшого спільного кратного для коефіцієнтів до фінальної перевірки результату. Ви побачите, як легко розв’язувати системи, де змінні вже готові до «знищення», і що робити, коли рівняння містять звичайні дроби.
Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання:
- Перевірити, чи є коефіцієнти при одній із змінних протилежними числами. Якщо ні - зробити такими (якщо коефіцієнти - цілі числа, то знайти найменше спільне кратне коефіцієнтів і звести їх до нього).
- Після цього додати рівняння системи.
- Після отримання рівняння з однією змінною розв'язати його.
- Далі аналогічно способу підстановки підставити отримане значення однієї змінної в одне з рівнянь системи (краще в те, де менші коефіцієнти), обчислити відповідне значення іншої змінної.
- Записати відповідь.
Приклади
- Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}3x-2y = 8,\\5x+2y=24\end{cases} способом додавання.Показати відповідьРозв'язування
Так як коефіцієнти при змінній y є протилежними числами (-2 та 2), то додамо ці рівняння.
3х + 5х - 2у + 2у = 8 + 24
8х = 32
х = 32 : 8
х = 4
Підставимо отримане значення х у перше рівняння системи.
3 ⋅ 4 - 2у = 8
12 - 2у = 8
- 2у = 8 - 12
- 2у = - 4
у = -4 : (- 2)
у = 2
Відповідь: (4;2). - Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}4x + 7y = - 5,\\2x-3y=-9\end{cases} способом додавання.Показати відповідьРозв'язування
Так як у другому рівняння коефіцієнт 2 при змінній х є дільником коефіціента 4 при змінній х в першому рівняння, то достатньо помножити друге рівняння на -2, щоб коефіцієнти при змінній х стали протилежними числами.
\begin{cases}4x + 7y = - 5,\\2x-3y=-9\color{Blue}|\cdot(-2)\end{cases}
\begin{cases}4x + 7y = - 5,\\-4x+6y=18\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
4х - 4х + 7у + 6у = - 5 + 18
13у = 13
у = 13 : 13
у = 1
Підставимо отримане значення у у друге рівняння початкової системи.
2х - 3 ⋅ 1 = - 9
2х - 3 = - 9
2х = - 9 + 3
2х = - 6
х = -6 : 2
х = - 3
Відповідь: (-3;1). - Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}5x + 6y = 20,\\7x-8y=-54\end{cases} способом додавання.Показати відповідьРозв'язування
Так як найменшим спільним кратним коефіцієнтів 6 та 8 при змінній y є число 24, то домножимо перше рівняння на 4 (24:6=4), а друге на 3 (24:8=3).
\begin{cases}5x + 6y = 20,\color{Blue}|\cdot4 \\7x-8y=-54 \color{Blue}|\cdot3\end{cases}
\begin{cases}20x + 24y = 80,\\21x-24y=-162\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
20x + 21x + 24y - 24y = 80 - 162
41x = -82
x = - 82 : 41
x = - 2
Підставимо отримане значення x у перше рівняння початкової системи.
5 ⋅ (-2) + 6у = 20
- 10 + 6у = 20
6у = 20 + 10
6у = 30
у = 30 : 6
у = 5
Відповідь: (-2;5). - Розв'яжіть систему рівнянь \begin{cases}\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y=2,\\\frac{8}{3}x+\frac{3}{4}y=19\end{cases} способом додавання.
Розв'язування
\begin{cases}\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y=2,\color{Blue}|\cdot(-4) \\\frac{8}{3}x+\frac{3}{4}y=19\end{cases}
\begin{cases}-\frac{8}{3}x + \frac{4}{2}y=-8, \\\frac{8}{3}x+\frac{3}{4}y=19\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
-\frac{8}{3}x+\frac{8}{3}x + \frac{4}{2}y+\frac{3}{4}y=-8+19
\frac{8}{4}y+\frac{3}{4}y=11
\frac{8+3}{4}y=11
\frac{11}{4}y=11
y=11:\frac{11}{4}
y=11\cdot\frac{4}{11}
y = 4
Підставимо отримане значення y у перше рівняння початкової системи.
\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}\cdot4=2
\frac{2}{3}x - 2=2
\frac{2}{3}x=2+2
\frac{2}{3}x=4
x=4:\frac{2}{3}
x=4\cdot\frac{3}{2}
x = 6
Відповідь: (6;4).
Коментарі