7 клас. Алгебра. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання

Як спростити розв’язування систем рівнянь і уникнути громіздких дробів? Спосіб додавання — це справжня «магічна паличка» в алгебрі. Його головна ідея полягає в тому, щоб тимчасово позбутися однієї змінної, просто додавши рівняння одне до одного. У цьому уроці ми розберемо чіткий алгоритм дій. Ви побачите, як легко розв’язувати системи, де коефіцієнти при одній зі змінних уже є протилежними числами, і що робити, коли рівняння містять звичайні дроби.

Алгоритм розв’язування системи лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання:

  1. Перевірити, чи є коефіцієнти при одній із змінних протилежними числами. Якщо коефіцієнти не є протилежними числами, помножити рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. Якщо коефіцієнти — цілі числа, можна використати їхнє найменше спільне кратне.
  2. Після цього додати рівняння системи.
  3. Після отримання рівняння з однією змінною розв'язати його.
  4. Далі аналогічно способу підстановки підставити отримане значення однієї змінної в одне з рівнянь системи (краще в те, де менші коефіцієнти), обчислити відповідне значення іншої змінної.
  5. Записати відповідь.
Завдання 1. Розв'яжіть систему рівнянь {3x - 2y = 8,5x + 2y = 24 способом додавання.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як коефіцієнти при змінній y є протилежними числами (-2 та 2), то додамо ці рівняння.
3х + 5х - 2у + 2у = 8 + 24
8х = 32
х = 32 : 8
х = 4
Підставимо отримане значення х у перше рівняння системи.
3 · 4 - 2у = 8
12 - 2у = 8
- 2у = 8 - 12
- 2у = - 4
у = -4 : (- 2)
у = 2
Відповідь: (4; 2).
Завдання 2. Розв'яжіть систему рівнянь {4x + 7y = -5,2x - 3y = -9 способом додавання.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як у другому рівнянні коефіцієнт 2 при змінній х є дільником коефіцієнта 4 при змінній х в першому рівнянні, то достатньо помножити друге рівняння на -2, щоб коефіцієнти при змінній х стали протилежними числами.
{4x + 7y = -5,2x - 3y = -9 |·(-2)⇔{4x + 7y = -5,-4x + 6y = 18
Додамо отримані рівняння.
4х - 4х + 7у + 6у = - 5 + 18
13у = 13
у = 13 : 13
у = 1
Підставимо отримане значення у у друге рівняння початкової системи.
2х - 3 · 1 = - 9
2х - 3 = - 9
2х = - 9 + 3
2х = - 6
х = -6 : 2
х = - 3
Відповідь: (-3; 1).
Завдання 3. Розв'яжіть систему рівнянь {5x + 6y = 20,7x - 8y = -54 способом додавання.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як найменшим спільним кратним коефіцієнтів 6 та 8 при змінній y є число 24, то домножимо перше рівняння на 4 (24 : 6 = 4), а друге на 3 (24 : 8 = 3).
{5x + 6y = 20 |·4,7x - 8y = -54 |·3⇔{20x + 24y = 80,21x - 24y = -162
Додамо отримані рівняння.
20x + 21x + 24y - 24y = 80 - 162
41x = -82
x = - 82 : 41
x = - 2
Підставимо отримане значення x у перше рівняння початкової системи.
5 · (-2) + 6у = 20
- 10 + 6у = 20
6у = 20 + 10
6у = 30
у = 30 : 6
у = 5
Відповідь: (-2; 5).
Завдання 4. Розв'яжіть систему рівнянь {23x - 12y = 2,83x + 34y = 19 способом додавання.
Показати відповідь
Розв'язування
{23x - 12y = 2 |·(-4),83x + 34y = 19⇔{-83x + 42y = -8,83x + 34y = 19
Додамо отримані рівняння.
-83x + 83x + 42y + 34y = -8 + 19
2y + 34y = 11 |·4
8y + 3y = 44
11y = 44
y = 44 : 11
y = 4
Підставимо отримане значення y у перше рівняння початкової системи.
23x - 12 · 4 = 2
23x - 2 = 2 |·3
2x - 6 = 6
2x = 6 + 6
2x = 12
x = 12 : 2
x = 6
Відповідь: (6; 4).