Як математика допомагає в реальному житті? Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь — це спосіб знайти відповіді там, де забагато невідомих. У цьому уроці ми розберемо покроковий алгоритм: від вибору змінних до перевірки результату. Ви дізнаєтеся, як розраховувати ціни на товари, визначати швидкість катера за течією річки та навіть змішувати розчини солі правильної концентрації. Наші приклади покажуть, що будь-яку заплутану умову можна перетворити на просту і зрозумілу систему лінійних рівнянь.
Алгоритм розв’язування текстової задачі за допомогою систем рівнянь:
- Позначити дві невідомі величини змінними (зазвичай те, що треба знайти).
- Записати умову задачі за допомогою введених змінних, на основі цього отримати два рівняння.
- Розв’язати систему з отриманих рівнянь.
- Перевірити отримані відповіді на відповідність умовам.
- Записати відповідь.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай за першу годину автомобіль проїхав х км, а за другу - y км. Тоді за дві години він проїхав х + у км, що дорівнює 166 км за умовою. Так як за першу годину автомобіль проїхав на 10 км менше, ніж за другу, то х = у - 10. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x+y = 166,\\x=y-10\end{cases}. Підставимо вираз y-10 з другого рівняння замість х у перше рівняння.
у - 10 + у = 166
у + у = 166 + 10
2у = 176
у = 176 : 2
у = 88
Підставимо отримане значення у у вираз х=y-10
х = 88 - 10 = 78
Відповідь: Автомобіль проїхав за першу годину 78 км, за другу 88 км.
Завдання 2. За 2 кг огірків та 3 кг помідорів заплатили 144 грн, а за 4кг огірків і 2 кг помідорів - 160 грн. Скільки коштує 1 кг огірків і скільки - 1 кг помідорів?Нехай за першу годину автомобіль проїхав х км, а за другу - y км. Тоді за дві години він проїхав х + у км, що дорівнює 166 км за умовою. Так як за першу годину автомобіль проїхав на 10 км менше, ніж за другу, то х = у - 10. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x+y = 166,\\x=y-10\end{cases}. Підставимо вираз y-10 з другого рівняння замість х у перше рівняння.
у - 10 + у = 166
у + у = 166 + 10
2у = 176
у = 176 : 2
у = 88
Підставимо отримане значення у у вираз х=y-10
х = 88 - 10 = 78
Відповідь: Автомобіль проїхав за першу годину 78 км, за другу 88 км.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай 1 кг огірків коштує х грн, а 1 кг помідорів - y грн. Тоді за 2 кг огірків заплатили 2х грн, а за 3 кг помідорів заплатили 3y грн. Разом заплатили 2х + 3у грн, що дорівнює 144 грн за умовою. Аналогічно за 4 кг огірків заплатили 4х грн, а за 2 кг помідорів заплатили 2y грн. Разом заплатили 4х + 2у грн, що дорівнює 160 грн за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}2x + 3y = 144,\\4x+2y=160\end{cases}. Розв'яжемо цю систему способом додавання. Так як у другому рівнянні коефіцієнт 4 при змінній х вдвічі більше коефіцієнта 2 при змінній х в першому рівнянні, і всі числа в другому рівнянні діляться на 2, то достатньо поділити друге рівняння на -2, щоб коефіцієнти при змінній х стали протилежними числами.
\begin{cases}2x + 3y = 144,\\4x+2y=160\color{Blue}|:(-2)\end{cases}
\begin{cases}2x + 3y = 144,\\-2x-y=-80\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
2х - 2х + 3у - у = 144 - 80
2у = 64
у = 64 : 2
у = 32
Підставимо отримане значення у у друге рівняння останньої системи.
- 2х - 32 = - 80
- 2х = - 80 + 32
- 2х = - 48
х = - 48 : (- 2)
х = 24
Відповідь: 1 кг огірків коштує 24 грн, а 1 кг помідорів - 32 грн.
Завдання 3. Ширина прямокутника на 2 см менше його довжини, а периметр прямокутника становить 28 см. Знайдіть сторони прямокутника.Нехай 1 кг огірків коштує х грн, а 1 кг помідорів - y грн. Тоді за 2 кг огірків заплатили 2х грн, а за 3 кг помідорів заплатили 3y грн. Разом заплатили 2х + 3у грн, що дорівнює 144 грн за умовою. Аналогічно за 4 кг огірків заплатили 4х грн, а за 2 кг помідорів заплатили 2y грн. Разом заплатили 4х + 2у грн, що дорівнює 160 грн за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}2x + 3y = 144,\\4x+2y=160\end{cases}. Розв'яжемо цю систему способом додавання. Так як у другому рівнянні коефіцієнт 4 при змінній х вдвічі більше коефіцієнта 2 при змінній х в першому рівнянні, і всі числа в другому рівнянні діляться на 2, то достатньо поділити друге рівняння на -2, щоб коефіцієнти при змінній х стали протилежними числами.
\begin{cases}2x + 3y = 144,\\4x+2y=160\color{Blue}|:(-2)\end{cases}
\begin{cases}2x + 3y = 144,\\-2x-y=-80\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
2х - 2х + 3у - у = 144 - 80
2у = 64
у = 64 : 2
у = 32
Підставимо отримане значення у у друге рівняння останньої системи.
- 2х - 32 = - 80
- 2х = - 80 + 32
- 2х = - 48
х = - 48 : (- 2)
х = 24
Відповідь: 1 кг огірків коштує 24 грн, а 1 кг помідорів - 32 грн.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай ширина прямокутника складає х см, а довжина прямокутника - y см. Так як ширина на 2 см менше довжини, то х = у - 2. Периметр прямокутника дорівнює 2(х + у), що дорівнює 28 см за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x = y - 2,\\2(x+y)=28\end{cases}. Підставимо вираз y-2 з першого рівняння замість х у друге рівняння.
2 (у - 2 + у) = 28
у - 2 + у = 28 : 2
у - 2 + у = 14
у + у = 14 + 2
2у = 16
у = 16 : 2
у = 8
Підставимо отримане значення у у вираз х=y-2
х = 8 - 2 = 6
Відповідь: Сторони прямокутника дорівнюють 6 см та 8 см.
Завдання 4. Човен за 2 години руху за течією пропливає 34 км, а за 3 години руху проти течії долає 39 км. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії річки.Нехай ширина прямокутника складає х см, а довжина прямокутника - y см. Так як ширина на 2 см менше довжини, то х = у - 2. Периметр прямокутника дорівнює 2(х + у), що дорівнює 28 см за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x = y - 2,\\2(x+y)=28\end{cases}. Підставимо вираз y-2 з першого рівняння замість х у друге рівняння.
2 (у - 2 + у) = 28
у - 2 + у = 28 : 2
у - 2 + у = 14
у + у = 14 + 2
2у = 16
у = 16 : 2
у = 8
Підставимо отримане значення у у вираз х=y-2
х = 8 - 2 = 6
Відповідь: Сторони прямокутника дорівнюють 6 см та 8 см.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, а швидкість течії річки - y км/год. Так як vза теч=vчовна+vтеч, то за течією човен рухається зі швидкістю х + у км/год. Тоді за 2 години руху він пропливе 2(х + у) км, що дорівнює 34 км за умовою. Так як vпроти теч=vчовна-vтеч, то проти течії човен рухається зі швидкістю х - у км/год. Тоді за 3 години руху він пропливе 3(х - у) км, що дорівнює 39 км за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}2(x+y)=34,\\3(x-y)=39\end{cases}. Розв'яжемо цю систему способом додавання.
\begin{cases}2(x+y)=34\color{Blue}|:2,\\3(x-y)=39\color{Blue}|:3\end{cases}
\begin{cases}x + y = 17,\\x-y=13\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
х + х + у - у = 17 + 13
2х = 30
х = 30 : 2
х = 15
Підставимо отримане значення х у перше рівняння останньої системи.
15 + у = 17
у = 17 - 15
у = 2
Відповідь: власна швидкість човна дорівнює 15 км/год, а швидкість течії річки - 2 км/год.
Завдання 5. Човен за 4 години руху за течією пропливає 68 км, а за 2 години руху проти течії долає 38 км. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії річки.Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, а швидкість течії річки - y км/год. Так як vза теч=vчовна+vтеч, то за течією човен рухається зі швидкістю х + у км/год. Тоді за 2 години руху він пропливе 2(х + у) км, що дорівнює 34 км за умовою. Так як vпроти теч=vчовна-vтеч, то проти течії човен рухається зі швидкістю х - у км/год. Тоді за 3 години руху він пропливе 3(х - у) км, що дорівнює 39 км за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}2(x+y)=34,\\3(x-y)=39\end{cases}. Розв'яжемо цю систему способом додавання.
\begin{cases}2(x+y)=34\color{Blue}|:2,\\3(x-y)=39\color{Blue}|:3\end{cases}
\begin{cases}x + y = 17,\\x-y=13\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
х + х + у - у = 17 + 13
2х = 30
х = 30 : 2
х = 15
Підставимо отримане значення х у перше рівняння останньої системи.
15 + у = 17
у = 17 - 15
у = 2
Відповідь: власна швидкість човна дорівнює 15 км/год, а швидкість течії річки - 2 км/год.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, а швидкість течії річки - y км/год. Так як vза теч=vчовна+vтеч, то за течією човен рухається зі швидкістю х + у км/год. Тоді за 4 години руху він пропливе 4(х + у) км, що дорівнює 68 км за умовою. Так як vпроти теч=vчовна-vтеч, то проти течії човен рухається зі швидкістю х - у км/год. Тоді за 2 години руху він пропливе 2(х - у) км, що дорівнює 38 км за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}4(x+y)=68,\\2(x-y)=38\end{cases}. Розв'яжемо цю систему способом додавання.
\begin{cases}4(x+y)=68\color{Blue}|:4,\\2(x-y)=38\color{Blue}|:2\end{cases}
\begin{cases}x + y = 17,\\x-y=19\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
х + х + у - у = 17 + 19
2х = 36
х = 36 : 2
х = 18
Підставимо отримане значення х у перше рівняння останньої системи.
18 + у = 17
у = 17 - 18
у = -1
Так як швидкість течії не може бути від'ємною, то цей корінь не задовольняє умові задачі, відповідно задача не має розв'язків.
Відповідь: задача не має розв'язків.
Завдання 6. Для асорті взяли родзинки вартістю 64 грн за 100 г та цукати вартістю 85 грн за 100 г. Отримали суміш вагою 60 г вартістю 42 грн 60 коп. Скільки грамів родзинок та скільки грамів цукатів взяли для асорті?Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, а швидкість течії річки - y км/год. Так як vза теч=vчовна+vтеч, то за течією човен рухається зі швидкістю х + у км/год. Тоді за 4 години руху він пропливе 4(х + у) км, що дорівнює 68 км за умовою. Так як vпроти теч=vчовна-vтеч, то проти течії човен рухається зі швидкістю х - у км/год. Тоді за 2 години руху він пропливе 2(х - у) км, що дорівнює 38 км за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}4(x+y)=68,\\2(x-y)=38\end{cases}. Розв'яжемо цю систему способом додавання.
\begin{cases}4(x+y)=68\color{Blue}|:4,\\2(x-y)=38\color{Blue}|:2\end{cases}
\begin{cases}x + y = 17,\\x-y=19\end{cases}
Додамо отримані рівняння.
х + х + у - у = 17 + 19
2х = 36
х = 36 : 2
х = 18
Підставимо отримане значення х у перше рівняння останньої системи.
18 + у = 17
у = 17 - 18
у = -1
Так як швидкість течії не може бути від'ємною, то цей корінь не задовольняє умові задачі, відповідно задача не має розв'язків.
Відповідь: задача не має розв'язків.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай взяли х г родзинок та y г цукатів. Загальна вага асорті тоді становить х + у г, що дорівнює 60 г за умовою. 1 г родзинок коштує 64 : 100 = 0,64 грн, тому вартість родзинок в асорті становить 0,64х грн, 1 г цукатів коштує 85 : 100 = 0,85 грн, тому вартість цукатів в асорті становить 0,85у грн. Загальна вартість асорті тоді становить 0,64х + 0,85у грн, що дорівнює 42,6 грн за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x + y = 60,\\0,64x+0,85y=42,6\end{cases}. Розв'яжемо систему способом підстановки. Виразимо змінну х з першого рівняння системи.
х + у = 60
х = 60 - y
Підставимо вираз 60 - y замість змінної x у друге рівняння системи.
0,64 (60 - у) + 0,85у = 42,6
0,64 · 60 - 0,64 ·у + 0,85у = 42,6
38,4 - 0,64у + 0,85у = 42,6
- 0,64у + 0,85у = 42,6 - 38,4
0,21у = 4,2
у = 4,2 : 0,21
у = 20
Підставимо отримане значення у у вираз х=60-y
х = 60 - 20 = 40
Відповідь: взяли 40 г родзинок та 20 г цукатів.
Завдання 7. Скільки треба взяти грамів двох розчинів солі, що містять 3% та 12% солі, щоб отримати 300 г 9-відсоткового розчину?
Нехай взяли х г родзинок та y г цукатів. Загальна вага асорті тоді становить х + у г, що дорівнює 60 г за умовою. 1 г родзинок коштує 64 : 100 = 0,64 грн, тому вартість родзинок в асорті становить 0,64х грн, 1 г цукатів коштує 85 : 100 = 0,85 грн, тому вартість цукатів в асорті становить 0,85у грн. Загальна вартість асорті тоді становить 0,64х + 0,85у грн, що дорівнює 42,6 грн за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x + y = 60,\\0,64x+0,85y=42,6\end{cases}. Розв'яжемо систему способом підстановки. Виразимо змінну х з першого рівняння системи.
х + у = 60
х = 60 - y
Підставимо вираз 60 - y замість змінної x у друге рівняння системи.
0,64 (60 - у) + 0,85у = 42,6
0,64 · 60 - 0,64 ·у + 0,85у = 42,6
38,4 - 0,64у + 0,85у = 42,6
- 0,64у + 0,85у = 42,6 - 38,4
0,21у = 4,2
у = 4,2 : 0,21
у = 20
Підставимо отримане значення у у вираз х=60-y
х = 60 - 20 = 40
Відповідь: взяли 40 г родзинок та 20 г цукатів.
Розв'язування
Нехай взяли х г 3-відсоткового розчину та y г 12-відсоткового розчину. Загальна вага розчину тоді становить х + у г, що дорівнює 300 г за умовою. В першому розчині міститься 3% від х, тобто 0,03х г солі, а в другому розчині міститься 12% від у, тобто 0,12у г солі. В результаті отримали розчин, де солі 0,03х+0,12у г, що дорівнює 9% від 300 тобто 0,09 · 300 = 27 г за умовою. Маємо систему рівнянь \begin{cases}x + y = 300,\\0,03x+0,12y=27\end{cases}. Розв'яжемо систему способом підстановки. Виразимо змінну х з першого рівняння системи.
х + у = 300
х = 300 - y
Підставимо вираз 300 - y замість змінної x у друге рівняння системи.
0,03 (300 - у) + 0,12у = 27
0,03 · 300 - 0,03 ·у + 0,12у = 27
9 - 0,03у + 0,12у = 27
- 0,03у + 0,12у = 27 - 9
0,09у = 18
у = 18 : 0,09
у = 200
Підставимо отримане значення у у вираз х=300-y
х = 300 - 200 = 100
Відповідь: взяли 100 г 3-відсоткового розчину та 200 г 12-відсоткового розчину.
Коментарі