7 клас. Геометрія. Трикутник і його елементи. Види трикутників за кутами

Що спільного між єгипетськими пірамідами та стійкістю сучасних мостів? Усе тримається на властивостях трикутника — найпростішої, але найміцнішої фігури в геометрії. У цьому уроці ми розберемо "анатомію" трикутника: від вершин та сторін до його внутрішніх ліній — медіан, висот та бісектрис. Ви навчитеся розрізняти види трикутників за кутами, опануєте формулу периметра та дізнаєтеся, в яких унікальних точках перетинаються його основні лінії. Наші практичні приклади допоможуть вам з легкістю розв'язувати задачі на знаходження сторін та кутів.

Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці точки. Ці точки називають вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутника.

В запису трикутник позначається за допомогою символу ∆: ∆АВС. Кути трикутника можна позначати однією буквою, наприклад ∠А, за умови, що з цієї вершини виходять лише сторони трикутника. В іншому випадку треба позначати 3 буквами: замість ∠А треба писати ∠ВАС.

Периметром трикутника називають суму довжин усіх його сторін. P∆АВС = AB + BC + AC.

Види трикутників за кутами:

  • Гострокутний трикутник - трикутник, всі кути якого гострі. гострокутний трикутник, acute triangle
  • Прямокутний трикутник - трикутник, один з кутів якого прямий (90°).прямокутний трикутник, right triangle
  • Тупокутний трикутник - трикутник, один з кутів якого тупий (більше 90°).тупокутний трикутник, obtuse triangle

Основні лінії в трикутнику:

  • Медіана трикутника - відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. медіана трикутника, median of a triangle ABC D
  • Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони. бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle D
  • Висота трикутника - перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону. висота трикутника, altitude of a triangle D

Властивості основних ліній в трикутнику:

  • Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.медіани трикутника, medians of a triangle DEFGx2x
  • Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle DHIJ
  • Висоти трикутника перетинаються в одній точці. висота трикутника, altitude of a triangle DHEI
Завдання 1. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо АВ = 4 см, ВС = 11 см, АС = 12 см.
Показати відповідь
трикутник, triangle Дано: ∆АВС, АВ = 4 см, ВС = 11 см, АС = 12 см.
Знайти: P∆АВС.
Розв'язування
Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то P∆АВС = 4 + 11 + 12 = 27 см.
Відповідь: 27 см.
Завдання 2. Одна сторона трикутника на 1 см більше другої і вдвічі більше від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 14 см.
Показати відповідь
трикутник, triangle Дано: ∆АВС, АВ = ВС + 1, AB = 2АС, P∆АВС = 14 см.
Знайти: AB, BC, AC
Розв'язування
Нехай ВС = х см, тоді за умовою АВ = х + 1 см, АС = АВ : 2 = 0,5(х + 1) см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
х + 1 + х + 0,5(х + 1) = 14
х + 1 + х + 0,5х + 0,5 = 14
х + х + 0,5х = 14 - 1 - 0,5
2,5х = 12,5
х = 12,5 : 2,5
х = 5
Тоді ВС = 5 см, АВ = 5 + 1 = 6 см, АС = 6 : 2 = 3 см.
Відповідь: 5 см, 6 см та 3 см.
Завдання 3. Сторони трикутника пропорційні числам 5, 7 і 8. Знайдіть ці сторони, якщо його периметр дорівнює 60 дм.
Показати відповідь
трикутник, triangle Дано: ∆АВС, АВ : ВС : АС = 5 : 7 : 8, P∆АВС = 60 дм.
Знайти: AB, BC, AC
Розв'язування
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ = 5х см, ВС = 7х см, АС = 8х см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
5х + 7х + 8х = 60
20х = 60
х = 60 : 20
х = 3
Тоді АВ = 5 · 3 = 15 дм, ВС = 7 · 3 = 21 дм, АС = 8 · 3 = 24 дм.
Відповідь: 15 дм, 21 дм та 24 дм.
Завдання 4. У трикутнику АВС проведено медіану AD. Знайдіть BD, якщо BС = 15 см.
Показати відповідь
медіана трикутника, median of a triangle D Дано: ∆АВС, AD - медіана, BС = 15 см.
Знайти: AD
Розв'язування
Так як AD - медіана, то точка D ділить сторону BС навпіл. Тоді BD = BC : 2 = 15 : 2 = 7,5 см.
Відповідь: 7,5 см.
Завдання 5. У трикутнику АВС проведено бісектрису CD. Знайдіть кут АCD, якщо кут АCВ = 84°.
Показати відповідь
бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle D Дано: ∆АВС, CD - бісектриса, ∠АCВ = 84°.
Знайти: ∠АCD
Розв'язування
Так як CD - бісектриса, то вона ділить кут АCВ навпіл. Тоді ∠АCD = ∠АCВ : 2 = 84° : 2 = 42°.
Відповідь: 42°.
Завдання 6. У трикутнику АВС проведено висоту ВD. Знайдіть кут BDА.
Показати відповідь
висота трикутника, altitude of a triangle D Дано: ∆АВС, ВD - висота.
Знайти: ∠BDА
Розв'язування
Так як BD - висота, то відрізок BD перпендикулярний до АС, тому ∠BDA = 90°.
Відповідь: 42°.