Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Трикутник і його елементи. Види трикутників за кутами

Що спільного між єгипетськими пірамідами та стійкістю сучасних мостів? Усе тримається на властивостях трикутника — найпростішої, але найміцнішої фігури в геометрії. У цьому уроці ми розберемо "анатомію" трикутника: від вершин та сторін до його внутрішніх ліній — медіан, висот та бісектрис. Ви навчитеся розрізняти види трикутників за кутами, опануєте формулу периметра та дізнаєтеся, в яких унікальних точках перетинаються його основні лінії. Наші практичні приклади допоможуть вам з легкістю розв'язувати задачі на знаходження сторін та кутів.

Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці точки. Ці точки називають вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутника.

В запису трикутник позначається за допомогою символу ∆: ∆АВС. Кути трикутника можна позначати однією буквою, наприклад ∠А, за умови, що з цієї вершини виходять лише сторони трикутника. В іншому випадку треба позначати 3 буквами: замість ∠А треба писати ∠ВАС.

Периметром трикутника називають суму довжин усіх його сторін. P∆АВС = AB + BC + AC.

Види трикутників за кутами:

  • Гострокутний трикутник - трикутник, всі кути якого гострі.
    гострокутний трикутник, acute triangle
  • Прямокутний трикутник - трикутник, один з кутів якого прямий (90°).
    прямокутний трикутник, right triangle
  • Тупокутний трикутник - трикутник, один з кутів якого тупий (більше 90°).
    тупокутний трикутник, obtuse triangle

Основні лінії в трикутнику:

  • Медіана трикутника - відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
    медіана трикутника, median of a triangle
  • Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.
    бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle
  • Висота трикутника - перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
    висота трикутника, altitude of a triangle

Властивості основних ліній в трикутнику:

  • Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.
    медіана трикутника, median of a triangle
  • Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
    бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle
  • Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
    висота трикутника, altitude of a triangle

Приклади

  1. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо АВ = 4 см, ВС = 11 см, АС = 12 см.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, АВ = 4 см, ВС = 11 см, АС = 12 см.
    Знайти: P∆АВС
    Розв'язування
    Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то P∆АВС = 4 + 11 + 12 = 27 см.
    Відповідь: 27 см.
  2. Одна сторона трикутника на 1 см більше другої і вдвічі більше від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 14 см.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, АВ = ВС + 1, AB = 2АС, P∆АВС = 14 см.
    Знайти: AB, BC, AC
    Розв'язування
    Нехай ВС = х см, тоді за умовою АВ = х + 1 см, АС = АВ : 2 = 0,5(х + 1) см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
    х + 1 + х + 0,5(х + 1) = 14
    х + 1 + х + 0,5х + 0,5 = 14
    х + х + 0,5х = 14 - 1 - 0,5
    2,5х = 12,5
    х = 12,5 : 2,5
    х = 5
    Тоді ВС = 5 см, АВ = 5 + 1 = 6 см, АС = 6 : 2 = 3 см.
    Відповідь: 5 см, 6 см та 3 см.
  3. Сторони трикутника пропорційні числам 5, 7 і 8. Знайдіть ці сторони, якщо його периметр дорівнює 60 дм.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, АВ : ВС : АС = 5 : 7 : 8, P∆АВС = 60 дм.
    Знайти: AB, BC, AC
    Розв'язування
    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ = 5х см, ВС = 7х см, АС = 8х см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
    5х + 7х + 8х = 60
    20х = 60
    х = 60 : 20
    х = 3
    Тоді АВ = 5 ⋅ 3 = 15 дм, ВС = 7 ⋅ 3 = 21 дм, АС = 8 ⋅ 3 = 24 дм.
    Відповідь: 15 дм, 21 дм та 24 дм.
  4. У трикутнику АВС проведено медіану AD. Знайдіть BD, якщо BС = 15 см.
    Показати відповідь
    медіана трикутника, median of a triangle
    Дано: ∆АВС, AD - медіана, BС = 15 см.
    Знайти: AD
    Розв'язування
    Так як AD - медіана, то точка D ділить сторону BС навпіл. Тоді BD = BC : 2 = 15 : 2 = 7,5 см.
    Відповідь: 7,5 см.
  5. У трикутнику АВС проведено бісектрису CD. Знайдіть кут АCD, якщо кут АCВ = 84°.
    Показати відповідь
    бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle
    Дано: ∆АВС, CD - бісектриса, ∠АCВ = 84°.
    Знайти: ∠АCD
    Розв'язування
    Так як CD - бісектриса, то вона ділить кут АCВ навпіл. Тоді ∠АCD = ∠АCВ : 2 = 84° : 2 = 42°.
    Відповідь: 42°.
  6. У трикутнику АВС проведено висоту ВD. Знайдіть кут BDА.
    висота трикутника, altitude of a triangle
    Дано: ∆АВС, ВD - висота.
    Знайти: ∠BDА
    Розв'язування
    Так як BD - висота, то відрізок BD перпендикулярний до АС, тому ∠BDA = 90°.
    Відповідь: 42°.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар