Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Трикутник і його елементи. Види трикутників за кутами

Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці точки. Ці точки називають вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутника.

В запису трикутник позначається за допомогою символу ∆: ∆АВС. Кути трикутника можна позначати однією буквою, наприклад ∠А, за умови, що з цієї вершини виходять лише сторони трикутника. В іншому випадку треба позначати 3 буквами: замість ∠А треба писати ∠ВАС.

Периметром трикутника називають суму довжин усіх його сторін. P∆АВС = AB + BC + AC.

Види трикутників за кутами:

  • Гострокутний трикутник - трикутник, всі кути якого гострі.
    гострокутний трикутник, acute triangle
  • Прямокутний трикутник - трикутник, один з кутів якого прямий (90°).
    прямокутний трикутник, right triangle
  • Тупокутний трикутник - трикутник, один з кутів якого тупий (більше 90°).
    тупокутний трикутник, obtuse triangle

Основні лінії в трикутнику:

  • Медіана трикутника - відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
    медіана трикутника, median of a triangle
  • Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.
    бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle
  • Висота трикутника - перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
    висота трикутника, altitude of a triangle

Властивості основних ліній в трикутнику:

  • Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.
    медіана трикутника, median of a triangle
  • Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
    бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle
  • Висоти трикутника перетинаються в одній точці.
    висота трикутника, altitude of a triangle

Приклади

  1. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо АВ = 4 см, ВС = 11 см, АС = 12 см.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, АВ = 4 см, ВС = 11 см, АС = 12 см.
    Знайти: P∆АВС
    Розв'язування
    Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то P∆АВС = 4 + 11 + 12 = 27 см.
    Відповідь: 27 см.
  2. Одна сторона трикутника на 1 см більше другої і вдвічі більше від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 14 см.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, АВ = ВС + 1, AB = 2АС, P∆АВС = 14 см.
    Знайти: AB, BC, AC
    Розв'язування
    Нехай ВС = х см, тоді за умовою АВ = х + 1 см, АС = АВ : 2 = 0,5(х + 1) см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
    х + 1 + х + 0,5(х + 1) = 14
    х + 1 + х + 0,5х + 0,5 = 14
    х + х + 0,5х = 14 - 1 - 0,5
    2,5х = 12,5
    х = 12,5 : 2,5
    х = 5
    Тоді ВС = 5 см, АВ = 5 + 1 = 6 см, АС = 6 : 2 = 3 см.
    Відповідь: 5 см, 6 см та 3 см.
  3. Сторони трикутника пропорційні числам 5, 7 і 8. Знайдіть ці сторони, якщо його периметр дорівнює 60 дм.
    Показати відповідь
    трикутник АВС, triangle ABC
    Дано: ∆АВС, АВ : ВС : АС = 5 : 7 : 8, P∆АВС = 60 дм.
    Знайти: AB, BC, AC
    Розв'язування
    Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АВ = 5х см, ВС = 7х см, АС = 8х см. Так як P∆АВС = AB + BC + AC, то маємо рівняння:
    5х + 7х + 8х = 60
    20х = 60
    х = 60 : 20
    х = 3
    Тоді АВ = 5 ⋅ 3 = 15 дм, ВС = 7 ⋅ 3 = 21 дм, АС = 8 ⋅ 3 = 24 дм.
    Відповідь: 15 дм, 21 дм та 24 дм.
  4. У трикутнику АВС проведено медіану AD. Знайдіть BD, якщо BС = 15 см.
    Показати відповідь
    медіана трикутника, median of a triangle
    Дано: ∆АВС, AD - медіана, BС = 15 см.
    Знайти: AD
    Розв'язування
    Так як AD - медіана, то точка D ділить сторону BС навпіл. Тоді BD = BC : 2 = 15 : 2 = 7,5 см.
    Відповідь: 7,5 см.
  5. У трикутнику АВС проведено бісектрису CD. Знайдіть кут АCD, якщо кут АCВ = 84°.
    Показати відповідь
    бісектриса трикутника, angle bisector of a triangle
    Дано: ∆АВС, CD - бісектриса, ∠АCВ = 84°.
    Знайти: ∠АCD
    Розв'язування
    Так як CD - бісектриса, то вона ділить кут АCВ навпіл. Тоді ∠АCD = ∠АCВ : 2 = 84° : 2 = 42°.
    Відповідь: 42°.
  6. У трикутнику АВС проведено висоту ВD. Знайдіть кут BDА.
    висота трикутника, altitude of a triangle
    Дано: ∆АВС, ВD - висота.
    Знайти: ∠BDА
    Розв'язування
    Так як BD - висота, то відрізок BD перпендикулярний до АС, тому ∠BDA = 90°.
    Відповідь: 42°.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар