Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Кути, утворені при перетині прямих січною. Властивості паралельних прямих

Паралельні прямі та січна — це ключ до розуміння властивостей більшості геометричних фігур. У цьому уроці ми розберемо всі вісім кутів, що утворюються при перетині двох прямих січною: від відповідних до різносторонніх. Ви дізнаєтеся, як за допомогою кутів довести паралельність ліній, і навпаки — які властивості мають кути, якщо прямі вже є паралельними. Наші покрокові розв'язки задач та наочні схеми допоможуть вам легко розібратися в цій темі та підготуватися до контрольної роботи!

Проведемо дві довільні прямі a і b і перетнемо їх третьою прямою c. Таку пряму c називають січною для прямих a і b.

кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

При перетині двох прямих січною маємо наступні групи кутів:

  • внутрішні односторонні кути, які лежать всередині даних прямих по один бік від січної
    • ∠3 і ∠5;
    • ∠4 і ∠6;
  • внутрішні різносторонні кути, які лежать всередині даних прямих по різні боки від січної;
    • ∠3 і ∠6;
    • ∠4 і ∠5;
  • відповідні кути, які лежать по один бік від січної або обидва над прямими, або обидва під прямими.
    • ∠1 і ∠5;
    • ∠2 і ∠6;
    • ∠3 і ∠7;
    • ∠4 і ∠8

Ознаки паралельності прямих:

  • Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
  • Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.
  • Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
  • Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
Правильними є твердження і навпаки.

Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною:

  • Відповідні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
  • Внутрішні різносторонні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
  • Сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

Приклади

  1. Чи є паралельними прямі a і b, якщо: 1) ∠1 = 60°, ∠5 = 50°; 2) ∠3 = 60°, ∠5 = 120°; 3) ∠5 = 110°, ∠4 = 110°.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

    Розв'язування
    1) Так як відповідні кути ∠1 і ∠5 не однакові, то прямі a і b не паралельні;
    2) Так як сума внутрішніх односторонніх кутів ∠3 + ∠5 = 60° + 120° = 180°, то прямі a і b паралельні;
    3) Так як внутрішні різносторонні кути ∠5 і ∠4 рівні, то прямі a і b паралельні.
    Відповідь: Ні; так; так.
  2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть інші кути.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

    Дано: ∠3 = 70°
    Знайти: ∠1, ∠2, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
    Розв'язування
    ∠3 і ∠1 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
    ∠3 і ∠2 є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠2 = ∠3 = 70°.
    ∠3 і ∠4 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
    ∠3 і ∠5 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
    ∠3 і ∠6 є внутрішніми різносторонніми, тому вони рівні. Отже ∠6 = ∠3 = 70°.
    ∠3 і ∠7 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠7 = ∠3 = 70°.
    ∠4 і ∠8 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠8 = ∠4 = 110°.
    Відповідь: 110°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°.

  3. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, на 50° більше за внутрішній односторонній з ним. Знайдіть всі кути.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

    Дано: ∠4 = ∠6 + 50°
    Знайти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
    Розв'язування
    Нехай ∠6 = х, тоді ∠4 = ∠6 + 50° = х + 50°. Так як ∠4 і ∠6 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Маємо рівняння:
    x + 50° + x = 180°
    x + x = 180° - 50°
    2x = 130°
    x = 130° : 2
    x = 65°
    Отже ∠6 = 65°, тоді ∠4 = 65° + 50° = 115°.
    Так як при перетині двох паралельних прямих січною утворюється дві групи рівних за значенням кутів, то маємо в перетині 4 кути 65° і 4 кути 115°.
    Відповідь: 65°, 65°, 65°, 65°, 115°, 115°, 115°, 115°.

  4. На малюнку ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°. Знайдіть ∠3.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині паралельних прямих січною; angles when parallel lines are intersected by a secant

    Дано: ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°
    Знайти: ∠3
    Розв'язування
    Так як внутрішні різносторонні кути ∠1 і ∠6, утворені прямими a і b та січною c рівні, то прямі a і b паралельні. Тому сума внутрішніх односторонніх кутів ∠7 і ∠3, утворених паралельними прямими a і b та січною d дорівнює 180°.
    Звідси ∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 60° = 120°.
    Відповідь: 120°.

⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Дописати коментар
Read more »

Дослідження функції та побудова її графіка

Дослідження функції та побудова її графіка — це комплексний процес, який дозволяє візуалізувати математичні закономірності та зрозуміти поведінку складних систем. Використання похідної для знаходження точок екстремуму та проміжків монотонності є однією з найскладніших, але водночас найцікавіших тем курсу алгебри. Навички побудови ескізів графіків допомагають учням не лише розв'язувати стандартні рівняння, а й аналізувати динаміку процесів у фізиці, економіці та програмуванні. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , що охоплюють повний цикл аналізу функції: від знаходження області визначення та точок перетину з осями до обчислення похідної та побудови графіків. Ви навчитеся розрізняти локальні максимуми й мінімуми, працювати з первісними для знаходження площ криволінійних трапецій та порівнювати поведінку різних типів функцій (лінійних, квадратичних, тригонометричних та логарифмічних). Тут зібрано детальні розв'язання, таблиці поведінки функцій та готові гр...
4 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар