Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Кути, утворені при перетині прямих січною. Властивості паралельних прямих

Паралельні прямі та січна — це ключ до розуміння властивостей більшості геометричних фігур. У цьому уроці ми розберемо всі вісім кутів, що утворюються при перетині двох прямих січною: від відповідних до різносторонніх. Ви дізнаєтеся, як за допомогою кутів довести паралельність ліній, і навпаки — які властивості мають кути, якщо прямі вже є паралельними. Наші покрокові розв'язки задач та наочні схеми допоможуть вам легко розібратися в цій темі та підготуватися до контрольної роботи!

Проведемо дві довільні прямі a і b і перетнемо їх третьою прямою c. Таку пряму c називають січною для прямих a і b. кути при перетині прямих січною cab12345678

При перетині двох прямих січною маємо наступні групи кутів:

  • внутрішні односторонні кути, які лежать всередині даних прямих по один бік від січної
    • ∠3 і ∠5;
    • ∠4 і ∠6;
  • внутрішні різносторонні кути, які лежать всередині даних прямих по різні боки від січної;
    • ∠3 і ∠6;
    • ∠4 і ∠5;
  • відповідні кути, які лежать по один бік від січної або обидва над прямими, або обидва під прямими.
    • ∠1 і ∠5;
    • ∠2 і ∠6;
    • ∠3 і ∠7;
    • ∠4 і ∠8

Ознаки паралельності прямих:

  • Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
  • Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.
  • Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
  • Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
Правильними є твердження і навпаки.

Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною:

  • Відповідні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
  • Внутрішні різносторонні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
  • Сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°.
Завдання 1. Чи є паралельними прямі a і b, якщо: 1) ∠1 = 60°, ∠5 = 50°; 2) ∠3 = 60°, ∠5 = 120°; 3) ∠5 = 110°, ∠4 = 110°.
Показати відповідь
кути при перетині прямих січною cab12345678 Розв'язування
1) Так як відповідні кути ∠1 і ∠5 не однакові, то прямі a і b не паралельні;
2) Так як сума внутрішніх односторонніх кутів ∠3 + ∠5 = 60° + 120° = 180°, то прямі a і b паралельні;
3) Так як внутрішні різносторонні кути ∠5 і ∠4 рівні, то прямі a і b паралельні.
Відповідь: Ні; так; так.
Завдання 2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть інші кути.
Показати відповідь
кути при перетині прямих січною cab12345678 Дано: ∠3 = 70°
Знайти: ∠1, ∠2, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
Розв'язування
∠3 і ∠1 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
∠3 і ∠2 є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠2 = ∠3 = 70°.
∠3 і ∠4 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
∠3 і ∠5 є внутрішніми односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
∠3 і ∠6 є внутрішніми різносторонніми, тому вони рівні. Отже ∠6 = ∠3 = 70°.
∠3 і ∠7 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠7 = ∠3 = 70°.
∠4 і ∠8 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠8 = ∠4 = 110°.
Відповідь: 110°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°.
Завдання 3. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, на 50° більше за внутрішній односторонній з ним. Знайдіть всі кути.
Показати відповідь
кути при перетині прямих січною cab12345678 Дано: ∠4 = ∠6 + 50°
Знайти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
Розв'язування
Нехай ∠6 = х, тоді ∠4 = ∠6 + 50° = х + 50°. Так як ∠4 і ∠6 є внутрішніми односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Маємо рівняння:
x + 50° + x = 180°
x + x = 180° - 50°
2x = 130°
x = 130° : 2
x = 65°
Отже ∠6 = 65°, тоді ∠4 = 65° + 50° = 115°.
Так як при перетині двох паралельних прямих січною утворюється дві групи рівних за значенням кутів, то маємо в перетині 4 кути 65° і 4 кути 115°.
Відповідь: 65°, 65°, 65°, 65°, 115°, 115°, 115°, 115°.
Завдання 4. На малюнку ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°. Знайдіть ∠3.
Показати відповідь
кути при перетині прямих січною cdab12345678 Дано: ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°
Знайти: ∠3
Розв'язування
Так як внутрішні різносторонні кути ∠1 і ∠6, утворені прямими a і b та січною c рівні, то прямі a і b паралельні. Тому сума внутрішніх односторонніх кутів ∠7 і ∠3, утворених паралельними прямими a і b та січною d дорівнює 180°.
Звідси ∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 60° = 120°.
Відповідь: 120°.

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Рівняння — це математична мова, якою описують більшість процесів у навколишньому світі. Вміння розв’язувати їх є базовою навичкою, необхідною як для успішного складання НМТ, так і для опанування вищої математики, програмування чи економіки. На цій сторінці ми зібрали всі типи алгебраїчних рівнянь, що зустрічаються в тестах : Лінійні рівняння : прості рівності, де головне — правильно перенести доданки та звести подібні. Квадратні рівняння : класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної. Дробово - раціональні рівняння : задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ). Особливу увагу приділено завданням на вираження однієї змінної з формули (фізичні та геометричні формули), що є традиційно складним моментом для багатьох абітурієнтів. К...
Дописати коментар
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифметичн...
5 коментарів
Read more »

Відсотки

Відсотки (проценти) — одна з найважливіших тем шкільного курсу математики, яка має величезне практичне значення у повсякденному житті: від розрахунків банківських кредитів до аналізу знижок у магазинах. Розуміння того, що 1% — це сота частина цілого, дозволяє легко оперувати пропорціями та швидко знаходити частки від чисел. У завданнях НМТ відсотки зустрічаються як у вигляді окремих задач, так і в складі комплексних завдань на аналіз діаграм чи роботу з текстовими даними. На цій сторінці ви знайдете основні методи обчислення відсотків: від класичних правил до використання універсального методу пропорції. Ми підготували для вас розгорнутий практикум , що включає актуальні приклади з НМТ та реальних тестів минулих років. Кожне завдання супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання, що допоможе вам опанувати навіть найскладніші типи задач на зміну ціни, акційні пропозиції та суміші. Обчислення відсотків % І спосіб. Використати правила: Щоб знайти a відсотків від числа b по...
1 коментар
Read more »

Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

Найпростіші фігури на площині — це алфавіт геометрії, без знання якого неможливо зрозуміти складніші теми. Вміння правильно оперувати поняттями відрізка, променя та кута є критично важливим для успішного виконання завдань НМТ. Розуміння того, як працюють властивості суміжних та вертикальних кутів, а також як поводяться кути при перетині паралельних прямих січною, дозволяє миттєво знаходити рішення в задачах, що здаються заплутаними. На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО , зокрема найактуальніші приклади. Ви навчитеся розв’язувати прикладні задачі на орієнтування на місцевості, визначати градусні міри кутів у складних комбінаціях прямих та аналізувати логічні твердження, які часто зустрічаються в екзаменаційних тестах. Це повний практичний посібник: від аксіом вимірювання відрізків до ознак паралельності прямих. Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС = АВ + ВС Завдання 1 . Відомо, що вісь AO Пізанської вежі нате...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар