Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Кути, утворені при перетині прямих січною. Властивості паралельних прямих

Проведемо дві довільні прямі a і b і перетнемо їх третьою прямою c. Таку пряму c називають січною для прямих a і b.

кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

При перетині двох прямих січною маємо наступні групи кутів:

  • внутрішні односторонні кути, які лежать всередині даних прямих по один бік від січної
    • ∠3 і ∠5;
    • ∠4 і ∠6;
  • внутрішні різносторонні кути, які лежать всередині даних прямих по різні боки від січної;
    • ∠3 і ∠6;
    • ∠4 і ∠5;
  • відповідні кути, які лежать по один бік від січної або обидва над прямими, або обидва під прямими.
    • ∠1 і ∠5;
    • ∠2 і ∠6;
    • ∠3 і ∠7;
    • ∠4 і ∠8

Ознаки паралельності прямих:

  • Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
  • Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.
  • Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
  • Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
Правильними є твердження і навпаки.

Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною:

  • Відповідні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
  • Внутрішні різносторонні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
  • Сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

Приклади

  1. Чи є паралельними прямі a і b, якщо: 1) ∠1 = 60°, ∠5 = 50°; 2) ∠3 = 60°, ∠5 = 120°; 3) ∠5 = 110°, ∠4 = 110°.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

    Розв'язування
    1) Так як відповідні кути ∠1 і ∠5 не однакові, то прямі a і b не паралельні;
    2) Так як сума внутрішніх односторонніх кутів ∠3 + ∠5 = 60° + 120° = 180°, то прямі a і b паралельні;
    3) Так як внутрішні різносторонні кути ∠5 і ∠4 рівні, то прямі a і b паралельні.
    Відповідь: Ні; так; так.
  2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть інші кути.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

    Дано: ∠3 = 70°
    Знайти: ∠1, ∠2, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
    Розв'язування
    ∠3 і ∠1 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
    ∠3 і ∠2 є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠2 = ∠3 = 70°.
    ∠3 і ∠4 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
    ∠3 і ∠5 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
    ∠3 і ∠6 є внутрішніми різносторонніми, тому вони рівні. Отже ∠6 = ∠3 = 70°.
    ∠3 і ∠7 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠7 = ∠3 = 70°.
    ∠4 і ∠8 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠8 = ∠4 = 110°.
    Відповідь: 110°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°.

  3. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, на 50° більше за внутрішній односторонній з ним. Знайдіть всі кути.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині двох прямих січною; angles when intersecting lines with a secant

    Дано: ∠4 = ∠6 + 50°
    Знайти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
    Розв'язування
    Нехай ∠6 = х, тоді ∠4 = ∠6 + 50° = х + 50°. Так як ∠4 і ∠6 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Маємо рівняння:
    x + 50° + x = 180°
    x + x = 180° - 50°
    2x = 130°
    x = 130° : 2
    x = 65°
    Отже ∠6 = 65°, тоді ∠4 = 65° + 50° = 115°.
    Так як при перетині двох паралельних прямих січною утворюється дві групи рівних за значенням кутів, то маємо в перетині 4 кути 65° і 4 кути 115°.
    Відповідь: 65°, 65°, 65°, 65°, 115°, 115°, 115°, 115°.

  4. На малюнку ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°. Знайдіть ∠3.
    Показати відповідь
    кути, утворені при перетині паралельних прямих січною; angles when parallel lines are intersected by a secant

    Дано: ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°
    Знайти: ∠3
    Розв'язування
    Так як внутрішні різносторонні кути ∠1 і ∠6, утворені прямими a і b та січною c рівні, то прямі a і b паралельні. Тому сума внутрішніх односторонніх кутів ∠7 і ∠3, утворених паралельними прямими a і b та січною d дорівнює 180°.
    Звідси ∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 60° = 120°.
    Відповідь: 120°.

⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар