7 клас. Геометрія. Кути, утворені при перетині прямих січною. Властивості паралельних прямих

Проведемо дві довільні прямі a і b і перетнемо їх третьою прямою c. Таку пряму c називають січною для прямих a і b.

При перетині двох прямих січною маємо наступні групи кутів:

• внутрішні односторонні кути, які лежать всередині даних прямих по один бік від січної
  • ∠3 і ∠5;
  • ∠4 і ∠6;
• внутрішні різносторонні кути, які лежать всередині даних прямих по різні боки від січної;
• ∠3 і ∠6;
• ∠4 і ∠5;
• відповідні кути, які лежать по один бік від січної або обидва над прямими, або обидва під прямими.
• ∠1 і ∠5;
• ∠2 і ∠6;
• ∠3 і ∠7;
• ∠4 і ∠8

Ознаки паралельності прямих:

• Якщо при перетині двох прямих січною відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
• Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.
• Якщо при перетині двох прямих січною сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.
• Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

Правильними є твердження і навпаки.

Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною:

• Відповідні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
• Внутрішні різносторонні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні між собою.
• Сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°.

Приклади

1. Чи є паралельними прямі a і b, якщо: 1) ∠1 = 60°, ∠5 = 50°; 2) ∠3 = 60°, ∠5 = 120°; 3) ∠5 = 110°, ∠4 = 110°.
   
   
   Розв'язування
   1) Так як відповідні кути ∠1 і ∠5 не однакові, то прямі a і b не паралельні;
   2) Так як сума внутрішніх односторонніх кутів ∠3 + ∠5 = 60° + 120° = 180°, то прямі a і b паралельні;
   3) Так як внутрішні різносторонні кути ∠5 і ∠4 рівні, то прямі a і b паралельні.
   Відповідь: Ні; так; так.
2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть інші кути.
   

   Дано: ∠3 = 70°
   Знайти: ∠1, ∠2, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
   Розв'язування
   ∠3 і ∠1 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
   ∠3 і ∠2 є вертикальними, тому вони рівні. Отже ∠2 = ∠3 = 70°.
   ∠3 і ∠4 є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
   ∠3 і ∠5 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Тому ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 70° = 110°.
   ∠3 і ∠6 є внутрішніми різносторонніми, тому вони рівні. Отже ∠6 = ∠3 = 70°.
   ∠3 і ∠7 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠7 = ∠3 = 70°.
   ∠4 і ∠8 є відповідними, тому вони рівні. Отже ∠8 = ∠4 = 110°.
   Відповідь: 110°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°.

3. Один з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, на 50° більше за внутрішній односторонній з ним. Знайдіть всі кути.
   

   Дано: ∠4 = ∠6 + 50°
   Знайти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8
   Розв'язування
   Нехай ∠6 = х, тоді ∠4 = ∠6 + 50° = х + 50°. Так як ∠4 і ∠6 є внутрішнімі односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Маємо рівняння:
   x + 50° + x = 180°
   x + x = 180° - 50°
   2x = 130°
   x = 130° : 2
   x = 65°
   Отже ∠6 = 65°, тоді ∠4 = 65° + 50° = 115°.
   Так як при перетині двох паралельних прямих січною утворюється дві групи рівних за значенням кутів, то маємо в перетині 4 кути 65° і 4 кути 115°.
   Відповідь: 65°, 65°, 65°, 65°, 115°, 115°, 115°, 115°.

4. На малюнку ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°. Знайдіть ∠3.
   

   Дано: ∠1 = 60°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°
   Знайти: ∠3
   Розв'язування
   Так як внутрішні різносторонні кути ∠1 і ∠6, утворені прямими a і b та січною c рівні, то прямі a і b паралельні. Тому сума внутрішніх односторонніх кутів ∠7 і ∠3, утворених паралельними прямими a і b та січною d дорівнює 180°.
   Звідси ∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 60° = 120°.
   Відповідь: 120°.

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем