Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Вертикальні кути, кут між прямими

Вертикальні кути — це "дзеркальні" пари кутів, що утворюються при перетині двох прямих. Головна їхня властивість надзвичайно проста: вони завжди рівні між собою. На цій сторінці ми розберемо, як за одним відомим кутом знайти решту три, та з'ясуємо, чому кут між прямими ніколи не буває тупим. Опануйте методи розв'язання задач на суму вертикальних кутів та дізнайтеся про особливі випадки - перпендикулярні та паралельні прямі. Наочні приклади та логічні пояснення допоможуть вам стати експертом у геометрії перетинів!

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного з них є доповняльними променями сторін іншого.

вертикальні кути, кут між прямими, vertical angles, angles beetwen lines
На малюнку кути AOC і BOD є вертикальними.

Властивість вертикальних кутів: Вертикальні кути рівні між собою.

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих. Так як при перетині не під прямим кутом двох прямих утворюється пара рівних гострих вертикальних кутів і пара рівних тупих кутів, а гострий кут менше чим тупий, то кут між прямими не може бути тупим.

Якщо прямі перетинаються під прямим кутом, то такі прямі називаються перпендикулярними. Перпендикулярність прямих a і b позначається a⊥b.

Якщо прямі не перетинаються, то такі прямі називаються паралельними. Паралельність прямих a і b позначається a||b.

Приклади

  1. Знайдіть кут, вертикальний з кутом 60°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як вертикальні кути рівні, то кут, вертикальний до кута 60°, також дорівнює 60°.
    Відповідь: 60°
  2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих АВ і CD, дорівнює 25°. Знайдіть інші кути.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О і саме кут ∠АОС = 25°. Кут BOD є вертикальним до кута АОС, тому вони рівні. Отже ∠BOD = ∠АОС = 25°. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Звідси ∠ВОС = 180° - 25° = 155°. Кут AOD є вертикальним до кута BОС, тому вони рівні. Отже ∠AOD = ∠BОС = 155°.
    Відповідь: 25°, 155°, 155°.
    3. вертикальні кути, кут між прямими, vertical angles, angles beetwen lines
  3. Знайдіть кут між прямими АВ і CD, якщо один з кутів, що утворилися при їх перетині, дорівнює 125°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О і саме кут ∠BОС = 125°. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Звідси ∠AОС = 180° - 125° = 55°. Отже при перетині прямих АВ і CD утворюються дві пари вертикальних кутів 55° і 125°. Кутом між прямими є менший з утворених кутів, тому шуканий кут дорівнює 55°.
    Відповідь: 55°
  4. Знайдіть кут між прямими АВ і CD, якщо сума двох кутів, що утворилися при їх перетині, дорівнює 160°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О. Так як сума суміжних кутів завжди дорівнює 180°, то дано суму не суміжних кутів, а вертикальних. Нехай саме ∠AОС + ∠BОD = 160°. Так як ∠АОС і ∠ВОD вертикальні, то вони рівні. Отже ∠АОС = ∠ВОD = (∠AОС + ∠BОD) : 2 = 160° : 2 = 80°. Так як отримана пара кутів є гострими, то друга пара кутів є тупими, отже більше за знайдені. Тому знайдений кут є меншим з утворених і шуканий кут дорівнює 80°.
    Відповідь: 80°
  5. Знайдіть кут між прямими АВ і CD, якщо сума трьох кутів, що утворилися при їх перетині, дорівнює 300°.
    Розв'язування
    Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О. Серед довільно взятих трьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, обов'язково два суміжних, сума яких дорівнює 180°. Тоді так як сума двох суміжниї кутів і третього за умовою дорівнює 300°, то третій кут дорівнює 300° - 180° = 120°. Суміжний з знайденим кутом дорівнює 180° - 120° = 60. Обираємо менший з утворених кутів і шуканий кут дорівнює 60°.
    Відповідь: 60°
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Цей розділ в розробці, з часом буде...
Дописати коментар