7 клас. Геометрія. Вертикальні кути, кут між прямими
Вертикальні кути — це "дзеркальні" пари кутів, що утворюються при перетині двох прямих. Головна їхня властивість надзвичайно проста: вони завжди рівні між собою. На цій сторінці ми розберемо, як за одним відомим кутом знайти решту три, та з'ясуємо, чому кут між прямими ніколи не буває тупим. Опануйте методи розв'язання задач на суму вертикальних кутів та дізнайтеся про особливі випадки - перпендикулярні та паралельні прямі. Наочні приклади та логічні пояснення допоможуть вам стати експертом у геометрії перетинів!
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного з них є доповняльними променями сторін іншого.
На малюнку кути AOC і BOD є вертикальними.
Властивість вертикальних кутів: Вертикальні кути рівні між собою.
Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих.
Оскільки при перетині двох прямих, які не є перпендикулярними, утворюються дві пари рівних гострих і тупих кутів, кутом між прямими вважають менший із них. Отже, кут між прямими не може бути тупим.
Якщо прямі перетинаються під прямим кутом, то такі прямі називаються перпендикулярними. Перпендикулярність прямих a і b позначається a⊥b.
Якщо прямі не перетинаються, то такі прямі називаються паралельними. Паралельність прямих a і b позначається a||b.
Приклади
Завдання 1. Знайдіть кут, вертикальний з кутом 60°.
Показати відповідь
Розв'язування Так як вертикальні кути рівні, то кут, вертикальний до кута 60°, також дорівнює 60°. Відповідь: 60°
Завдання 2. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих АВ і CD, дорівнює 25°. Знайдіть інші кути.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О і саме кут ∠АОС = 25°. Кут BOD є вертикальним до кута АОС, тому вони рівні. Отже ∠BOD = ∠АОС = 25°. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Звідси ∠ВОС = 180° - 25° = 155°. Кут AOD є вертикальним до кута BОС, тому вони рівні. Отже ∠AOD = ∠BОС = 155°.
Відповідь: 25°, 155°, 155°.
Завдання 3. Знайдіть кут між прямими АВ і CD, якщо один з кутів, що утворилися при їх перетині, дорівнює 125°.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О і саме кут ∠BОС = 125°. Так як ∠АОС і ∠ВОС суміжні, то ∠АОС + ∠ВОС = 180°. Звідси ∠AОС = 180° - 125° = 55°. Отже при перетині прямих АВ і CD утворюються дві пари вертикальних кутів 55° і 125°. Кутом між прямими є менший з утворених кутів, тому шуканий кут дорівнює 55°.
Відповідь: 55°
Завдання 4. Знайдіть кут між прямими АВ і CD, якщо сума двох кутів, що утворилися при їх перетині, дорівнює 160°.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О. Так як сума суміжних кутів завжди дорівнює 180°, то дано суму не суміжних кутів, а вертикальних. Нехай саме ∠AОС + ∠BОD = 160°. Так як ∠АОС і ∠ВОD вертикальні, то вони рівні. Отже ∠АОС = ∠ВОD = (∠AОС + ∠BОD) : 2 = 160° : 2 = 80°. Так як отримана пара кутів є гострими, то друга пара кутів є тупими, отже більше за знайдені. Тому знайдений кут є меншим з утворених і шуканий кут дорівнює 80°. Відповідь: 80°
Завдання 5. Знайдіть кут між прямими АВ і CD, якщо сума трьох кутів, що утворилися при їх перетині, дорівнює 300°.
Показати відповідь
Розв'язування
Нехай прямі АВ і CD перетинаються в точці О. Серед будь-яких трьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, обов'язково є два суміжні кути, сума яких дорівнює 180°. Тоді так як сума двох суміжних кутів і третього за умовою дорівнює 300°, то третій кут дорівнює 300° - 180° = 120°. Суміжний із знайденим кутом дорівнює 180° - 120° = 60°. Обираємо менший з утворених кутів і шуканий кут дорівнює 60°. Відповідь: 60°
Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів.
Призма та її види — це центральна тема розділу многогранників, яка вимагає розуміння властивостей паралельності та перпендикулярності у просторі. Вивчення призм починається з базових понять: вершин, ребер та граней, і веде до складніших об’єктів, таких як прямокутні паралелепіпеди та куби. На цій сторінці представлено повний тренажер для підготовки до НМТ. Ми розберемося, як відрізнити розгортку трикутної призми від піраміди, як знаходити кути між мимобіжними діагоналями куба та як обчислювати висоту призми за площею її перерізу.
Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті.
Формули скороченого множення — це математичні "трафарети", які дозволяють миттєво підносити вирази до степеня або розкладати їх на множники без довгих обчислень у стовпчик. На цій сторінці ми розберемо п'ять магічних формул: від квадрата суми до різниці кубів. Ви дізнаєтеся, як швидко обчислювати квадрати великих чисел (наприклад, 59²), навчитеся розпізнавати формули у громіздких многочленах та зрозумієте різницю між повним та неповним квадратом. Опануйте ці інструменти, і алгебра стане для вас значно простішою!
Коментарі