Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Вимірювання відрізків та кутів

Вимірювання відрізків та кутів — це перший крок до розв'язання справжніх геометричних задач. У цьому розділі ми навчимося оперувати довжинами та градусними мірами, розберемося у переведенні одиниць вимірювання (від міліметрів до кілометрів та від градусів до секунд) та дізнаємося, як працюють "золоті правила" геометрії: властивості цілого та його частин. Ви дізнаєтеся, що таке середина відрізка та бісектриса кута, і навчитеся уникати типових пасток у задачах, де положення точок не визначено заздалегідь. Почніть свій шлях у світ точних розрахунків прямо зараз!

Одиницями вимірювання довжини відрізка є мм, см, дм, м, км. Співвідношення між цими величинами:

  • 1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм
  • 1 м = 10 дм = 100 см = 1 000 мм
  • 1 дм = 10 см = 100 мм
  • 1 см = 10 мм
відрізки, segments

Основна властивість вимірювання відрізків:

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою. На малюнку довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин його частин АС і ВС: АВ = АС + ВС

Серединою відрізка називається точка, яка ділить відрізок на дві рівні частини.

Одиницями вимірювання кутів є градус, який познається °. Градус можна розділити на мінути (позначаються '), мінути, в свою чергу, можна розділити на секунди (позначаються "). Співвідношення між цими величинами:

  • 1° = 60' = 3600"
  • 1' = 60"

Види кутів за градусною мірою:

  • розгорнутий кут (утворюється двома променями, які виходять з однієї точки і доповнюють один одного до прямої (називаються доповняльними променями) - 180°
  • прямий кут - кут, градусна міра якого дорівнює 90°
  • гострий кут - кут, градусна міра якого менше 90°
  • тупий кут - кут, градусна міра якого більше 90°
види кутів, types of angles

Основна властивість вимірювання кутів:

кути, angles
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. На малюнку градусна міра кута АОВ дорівнює сумі градусних мір його частин АОС і ВОС: ∠АОВ = ∠АOС + ∠ВOС

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини.

Приклади

    відрізки, segments
  1. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см, ВС = 5 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС = 12 + 5 = 17 см.
  2. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см, ВС = 5 дм.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Переведемо дані величини в однакові одиниці виміру. Маємо ВС = 5 дм = 50 см. Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС = 12 + 50 = 62 см.
  3. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АС, якщо АB = 12 см, ВС = 5 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС. Звідси АС = АВ - ВС = 12 - 5 = 7 см.
  4. Точки А, В та С лежать на одній прямій. Знайдіть АВ, якщо АС = 8 см, ВС = 11 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    За умови невідомо, яка точка лежить між двома іншими. Тому розглянемо всі можливі випадки:
    1. Точка A належить відрізку ВC. Тоді ВC = AB + AС. Звідси АB = BC - AС = 11 - 8 = 3 см.
    2. Точка B належить відрізку АC. Тоді АC = АB + ВС. Звідси АB = АC - ВС = 8 - 11 = -3 см. Довжина відрізка не може бути від'ємним числом, тому такого випадку не існує.
    3. Точка С належить відрізку АВ. Тоді АВ = АС + ВС = 8 + 11 = 19 см.
  5. Точка С є серединою відрізка АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як точка С є серединою відрізка АВ, то АВ = 2АС = 2 ⋅ 12 = 24 см.
  6. Точка С є серединою відрізка АВ. Знайдіть АC, якщо АB = 12 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як точка С є серединою відрізка АВ, то АC = АB : 2 = 12 : 2 = 6 см.
    7. кути, angles
  7. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть градусну міру кута AОB, якщо ∠АOC=40°, ∠BOC=30°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як промінь ОС ділить кут АОВ на два кути, то ∠AОB = ∠АOC + ∠BOC = 40° + 30° = 70°.
  8. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть градусну міру кута AОС, якщо ∠АOВ=40°, ∠BOC=30°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як промінь ОС ділить кут АОВ на два кути, то ∠AОB = ∠АOC + ∠BOC. Звідси ∠АOC = ∠AОB - ∠BOC = 40° - 30° = 10°.
  9. Промінь ОС є бісектрисою кута АОВ. Знайдіть градусну міру кута AОB, якщо ∠АOC=80°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як промінь ОС є бісектрисою кута АОВ, то ∠AОB = 2∠АOC = 2 ⋅ 80° = 160°.
  10. Промінь ОС є бісектрисою кута АОВ. Знайдіть градусну міру кута AОС, якщо ∠АOВ=48°.
    Розв'язування
    Так як промінь ОС є бісектрисою кута АОВ, то ∠AОС = ∠АOВ : 2 = 48° : 2 = 24°.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot{n} або S n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n} 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . ...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y=\sqrt{x} y = x + 2 y = −x 2 y=\frac{1}{x} Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3)...
13 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!} способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} способами. Примітка . Скорочення факторіалів \frac{7!}{4!}=\frac{4!\cdot5\cdot6\cdot7}{4!} =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скіль...
15 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар