7 клас. Геометрія. Вимірювання відрізків та кутів

Вимірювання відрізків та кутів — це перший крок до розв'язання справжніх геометричних задач. У цьому розділі ми навчимося оперувати довжинами та градусними мірами, розберемося у переведенні одиниць вимірювання (від міліметрів до кілометрів та від градусів до секунд) та дізнаємося, як працюють "золоті правила" геометрії: властивості цілого та його частин. Ви дізнаєтеся, що таке середина відрізка та бісектриса кута, і навчитеся уникати типових пасток у задачах, де положення точок не визначено заздалегідь. Почніть свій шлях у світ точних розрахунків прямо зараз!

Одиницями вимірювання довжини відрізка є мм, см, дм, м, км. Співвідношення між цими величинами:

  • 1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм
  • 1 м = 10 дм = 100 см = 1 000 мм
  • 1 дм = 10 см = 100 мм
  • 1 см = 10 мм
відрізок ACB

Основна властивість вимірювання відрізків:

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою. На малюнку довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин його частин АС і ВС: АВ = АС + ВС

Серединою відрізка називається точка, яка ділить відрізок на дві рівні частини.

Одиницями вимірювання кутів є градус, який позначається °. Градус можна розділити на мінути (позначаються '), мінути, в свою чергу, можна розділити на секунди (позначаються "). Співвідношення між цими величинами:

  • 1° = 60' = 3600"
  • 1' = 60"

Види кутів за градусною мірою:

  • розгорнутий кут (утворюється двома променями, які виходять з однієї точки і доповнюють один одного до прямої (називаються доповняльними променями) - 180°
  • прямий кут - кут, градусна міра якого дорівнює 90°
  • гострий кут - кут, градусна міра якого менше 90°
  • тупий кут - кут, градусна міра якого більше 90°
види кутів

Основна властивість вимірювання кутів:

бісектриса кута AOBC Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. На малюнку градусна міра кута АОВ дорівнює сумі градусних мір його частин АОС і ВОС: ∠АОВ = ∠АOС + ∠ВOС

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини.

Приклади

відрізок ACB Завдання 1. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см, ВС = 5 см.

Показати відповідь
Розв'язування
Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС = 12 + 5 = 17 см.
Завдання 2. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см, ВС = 5 дм.
Показати відповідь
Розв'язування
Переведемо дані величини в однакові одиниці виміру. Маємо ВС = 5 дм = 50 см. Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС = 12 + 50 = 62 см.
Завдання 3. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АС, якщо АB = 12 см, ВС = 5 см.
Показати відповідь
Розв'язування
Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС. Звідси АС = АВ - ВС = 12 - 5 = 7 см.
Завдання 4. Точки А, В та С лежать на одній прямій. Знайдіть АВ, якщо АС = 8 см, ВС = 11 см.
Показати відповідь
Розв'язування
За умови невідомо, яка точка лежить між двома іншими. Тому розглянемо всі можливі випадки:
  1. Точка A належить відрізку ВC. Тоді ВC = AB + AС. Звідси АB = BC - AС = 11 - 8 = 3 см.
  2. Точка B належить відрізку АC. Тоді АC = АB + ВС. Звідси АB = АC - ВС = 8 - 11 = -3 см. Довжина відрізка не може бути від'ємним числом, тому такого випадку не існує.
  3. Точка С належить відрізку АВ. Тоді АВ = АС + ВС = 8 + 11 = 19 см.
Завдання 5. Точка С є серединою відрізка АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як точка С є серединою відрізка АВ, то АВ = 2АС = 2 · 12 = 24 см.
Завдання 6. Точка С є серединою відрізка АВ. Знайдіть АC, якщо АB = 12 см.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як точка С є серединою відрізка АВ, то АC = АB : 2 = 12 : 2 = 6 см.
бісектриса кута AOBC Завдання 7. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть градусну міру кута AОB, якщо ∠АOC=40°, ∠BOC=30°.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як промінь ОС ділить кут АОВ на два кути, то ∠AОB = ∠АOC + ∠BOC = 40° + 30° = 70°.
Завдання 8. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть градусну міру кута AОС, якщо ∠АOВ=40°, ∠BOC=30°.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як промінь ОС ділить кут АОВ на два кути, то ∠AОB = ∠АOC + ∠BOC. Звідси ∠АOC = ∠AОB - ∠BOC = 40° - 30° = 10°.
Завдання 9. Промінь ОС є бісектрисою кута АОВ. Знайдіть градусну міру кута AОB, якщо ∠АOC=80°.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як промінь ОС є бісектрисою кута АОВ, то ∠AОB = 2∠АOC = 2 · 80° = 160°.
Завдання 10. Промінь ОС є бісектрисою кута АОВ. Знайдіть градусну міру кута AОС, якщо ∠АOВ=48°.
Показати відповідь
Розв'язування
Так як промінь ОС є бісектрисою кута АОВ, то ∠AОС = ∠АOВ : 2 = 48° : 2 = 24°.