Перейти до основного вмісту

7 клас. Геометрія. Вимірювання відрізків та кутів

Вимірювання відрізків та кутів — це перший крок до розв'язання справжніх геометричних задач. У цьому розділі ми навчимося оперувати довжинами та градусними мірами, розберемося у переведенні одиниць вимірювання (від міліметрів до кілометрів та від градусів до секунд) та дізнаємося, як працюють "золоті правила" геометрії: властивості цілого та його частин. Ви дізнаєтеся, що таке середина відрізка та бісектриса кута, і навчитеся уникати типових пасток у задачах, де положення точок не визначено заздалегідь. Почніть свій шлях у світ точних розрахунків прямо зараз!

Одиницями вимірювання довжини відрізка є мм, см, дм, м, км. Співвідношення між цими величинами:

  • 1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм
  • 1 м = 10 дм = 100 см = 1 000 мм
  • 1 дм = 10 см = 100 мм
  • 1 см = 10 мм
відрізки, segments

Основна властивість вимірювання відрізків:

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою. На малюнку довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин його частин АС і ВС: АВ = АС + ВС

Серединою відрізка називається точка, яка ділить відрізок на дві рівні частини.

Одиницями вимірювання кутів є градус, який познається °. Градус можна розділити на мінути (позначаються '), мінути, в свою чергу, можна розділити на секунди (позначаються "). Співвідношення між цими величинами:

  • 1° = 60' = 3600"
  • 1' = 60"

Види кутів за градусною мірою:

  • розгорнутий кут (утворюється двома променями, які виходять з однієї точки і доповнюють один одного до прямої (називаються доповняльними променями) - 180°
  • прямий кут - кут, градусна міра якого дорівнює 90°
  • гострий кут - кут, градусна міра якого менше 90°
  • тупий кут - кут, градусна міра якого більше 90°
види кутів, types of angles

Основна властивість вимірювання кутів:

кути, angles
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. На малюнку градусна міра кута АОВ дорівнює сумі градусних мір його частин АОС і ВОС: ∠АОВ = ∠АOС + ∠ВOС

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини.

Приклади

    відрізки, segments
  1. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см, ВС = 5 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС = 12 + 5 = 17 см.
  2. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см, ВС = 5 дм.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Переведемо дані величини в однакові одиниці виміру. Маємо ВС = 5 дм = 50 см. Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС = 12 + 50 = 62 см.
  3. Точка С належить відрізку АВ. Знайдіть АС, якщо АB = 12 см, ВС = 5 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Точка С належить відрізку АВ, тому АВ = АС + ВС. Звідси АС = АВ - ВС = 12 - 5 = 7 см.
  4. Точки А, В та С лежать на одній прямій. Знайдіть АВ, якщо АС = 8 см, ВС = 11 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    За умови невідомо, яка точка лежить між двома іншими. Тому розглянемо всі можливі випадки:
    1. Точка A належить відрізку ВC. Тоді ВC = AB + AС. Звідси АB = BC - AС = 11 - 8 = 3 см.
    2. Точка B належить відрізку АC. Тоді АC = АB + ВС. Звідси АB = АC - ВС = 8 - 11 = -3 см. Довжина відрізка не може бути від'ємним числом, тому такого випадку не існує.
    3. Точка С належить відрізку АВ. Тоді АВ = АС + ВС = 8 + 11 = 19 см.
  5. Точка С є серединою відрізка АВ. Знайдіть АВ, якщо АС = 12 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як точка С є серединою відрізка АВ, то АВ = 2АС = 2 ⋅ 12 = 24 см.
  6. Точка С є серединою відрізка АВ. Знайдіть АC, якщо АB = 12 см.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як точка С є серединою відрізка АВ, то АC = АB : 2 = 12 : 2 = 6 см.
    7. кути, angles
  7. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть градусну міру кута AОB, якщо ∠АOC=40°, ∠BOC=30°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як промінь ОС ділить кут АОВ на два кути, то ∠AОB = ∠АOC + ∠BOC = 40° + 30° = 70°.
  8. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть градусну міру кута AОС, якщо ∠АOВ=40°, ∠BOC=30°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як промінь ОС ділить кут АОВ на два кути, то ∠AОB = ∠АOC + ∠BOC. Звідси ∠АOC = ∠AОB - ∠BOC = 40° - 30° = 10°.
  9. Промінь ОС є бісектрисою кута АОВ. Знайдіть градусну міру кута AОB, якщо ∠АOC=80°.
    Показати відповідь
    Розв'язування
    Так як промінь ОС є бісектрисою кута АОВ, то ∠AОB = 2∠АOC = 2 ⋅ 80° = 160°.
  10. Промінь ОС є бісектрисою кута АОВ. Знайдіть градусну міру кута AОС, якщо ∠АOВ=48°.
    Розв'язування
    Так як промінь ОС є бісектрисою кута АОВ, то ∠AОС = ∠АOВ : 2 = 48° : 2 = 24°.
⇐Попередня тема Повернутись до переліку тем ⇒Наступна тема

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Відсотки

Відсотки (проценти) — одна з найважливіших тем шкільного курсу математики, яка має величезне практичне значення у повсякденному житті: від розрахунків банківських кредитів до аналізу знижок у магазинах. Розуміння того, що 1% — це сота частина цілого, дозволяє легко оперувати пропорціями та швидко знаходити частки від чисел. У завданнях НМТ відсотки зустрічаються як у вигляді окремих задач, так і в складі комплексних завдань на аналіз діаграм чи роботу з текстовими даними. На цій сторінці ви знайдете основні методи обчислення відсотків: від класичних правил до використання універсального методу пропорції. Ми підготували для вас розгорнутий практикум , що включає актуальні приклади з НМТ та реальних тестів минулих років. Кожне завдання супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання, що допоможе вам опанувати навіть найскладніші типи задач на зміну ціни, акційні пропозиції та суміші. Обчислення відсотків % І спосіб. Використати правила: Щоб знайти a відсотків від числа b по...
1 коментар
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифметичн...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Рівняння — це математична мова, якою описують більшість процесів у навколишньому світі. Вміння розв’язувати їх є базовою навичкою, необхідною як для успішного складання НМТ, так і для опанування вищої математики, програмування чи економіки. На цій сторінці ми зібрали всі типи алгебраїчних рівнянь, що зустрічаються в тестах : Лінійні рівняння : прості рівності, де головне — правильно перенести доданки та звести подібні. Квадратні рівняння : класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної. Дробово - раціональні рівняння : задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ). Особливу увагу приділено завданням на вираження однієї змінної з формули (фізичні та геометричні формули), що є традиційно складним моментом для багатьох абітурієнтів. К...
Дописати коментар
Read more »

Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

Найпростіші фігури на площині — це алфавіт геометрії, без знання якого неможливо зрозуміти складніші теми. Вміння правильно оперувати поняттями відрізка, променя та кута є критично важливим для успішного виконання завдань НМТ. Розуміння того, як працюють властивості суміжних та вертикальних кутів, а також як поводяться кути при перетині паралельних прямих січною, дозволяє миттєво знаходити рішення в задачах, що здаються заплутаними. На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО , зокрема найактуальніші приклади. Ви навчитеся розв’язувати прикладні задачі на орієнтування на місцевості, визначати градусні міри кутів у складних комбінаціях прямих та аналізувати логічні твердження, які часто зустрічаються в екзаменаційних тестах. Це повний практичний посібник: від аксіом вимірювання відрізків до ознак паралельності прямих. Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС = АВ + ВС Завдання 1 . Відомо, що вісь AO Пізанської вежі нате...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар