7 клас. Алгебра. Рівняння з двома змінними. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Чи може пара чисел стати точкою, а рівняння — малюнком? Лінійне рівняння з двома змінними відкриває світ, де алгебра зустрічається з геометрією. У цьому уроці ми з’ясуємо, як за допомогою формули ax + by = c будувати прямі лінії, і чому деякі з них проходять через початок координат, а інші — паралельні осям. Ви навчитеся швидко знаходити розв’язки рівняння та зрозумієте, як коефіцієнти a, b та c впливають на те, куди «дивиться» графік. Це перший крок до розв’язування складних систем, з якими ми зустрінемося далі.

---

Рівняннями з двома змінними називають рівності, які містять дві змінні.

Розв’язком рівняння з двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює рівняння в правильну числову рівність.

Щоб знайти довільний розв’язок рівняння з двома змінними, треба підставити в рівняння замість однієї змінної довільне число і знайти значення другої змінної, розв’язавши отримане рівняння.

Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння виду ах + by = c, де x і у - змінні. Числа a, b і с називають коефіцієнтами рівняння.

Графіком рівняння з двома змінними х і у називають фігуру, що складається з усіх точок координатної площини, координати яких є розв’язками цього рівняння.

Графік рівняння ax + by = c в залежності від коефіцієнтів:

a	b	c	Опис	Графік
≠ 0	≠ 0	≠ 0	Графіком є пряма, розміщена з нахилом до осі абсцис
≠ 0	≠ 0	= 0	Графіком є пряма, що проходить через початок координат і розміщена з нахилом до осі абсцис
= 0	≠ 0	≠ 0	Графіком є пряма, що проходить через точку (0;k) паралельно до осі абсцис
= 0	≠ 0	= 0	Графіком є пряма, що співпадає з віссю абсцис
≠ 0	= 0	≠ 0	Графіком є пряма, що проходить через точку (k;0) паралельно до осі ординат
≠ 0	= 0	= 0	Графіком є пряма, що співпадає з віссю ординат
= 0	= 0	≠ 0	Графік не існує	-
= 0	= 0	= 0	Графіком є всі точки площини

Приклади

1. Чи є пари чисел (1;2) та (-1;4) розв'язком рівняння 2х + 3у = 8.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   (1;2)
   Підставимо в рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
   2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 = 8.
   2 + 6 = 8
   Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;2) є розв'язком рівняння 2х + 3у = 8.
   (-1;4)
   2 ⋅ (-1) + 3 ⋅ 4 = 8.
   -2 + 12 = 8
   Отримали неправильну числову рівність (-2 + 12 = 10 ≠ 8), тому пара чисел (-1;4) не є розв'язком рівняння 2х + 3у = 8.
2. Знайдіть два будь-які розв'язки рівняння 3х - 4у = 6.
   Показати відповідь

   Розв'язування
   Візьмемо, наприклад, х = 1, підставимо і розв'яжемо отримане рівняння.
   3 ⋅ 1 - 4у = 6
   3 - 4у = 6
   - 4у = 6 - 3
   - 4у = 3
   у = 3 : (- 4)
   у = - 0,75
   Маємо першу пару розв'язків (1;-0,75)
   Візьмемо, наприклад, х = 2, підставимо і розв'яжемо отримане рівняння.
   3 ⋅ 2 - 4у = 6
   6 - 4у = 6
   - 4у = 6 - 6
   - 4у = 0
   у = 0 : (- 4)
   у = 0
   Маємо другу пару розв'язків (2;0).
3. Побудувати графік рівняння 4х - 2у = 8.
   Розв'язування
   Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
   Візьмемо х = 0.
   4 ⋅ 0 - 2у = 8
   - 2у = 8
   у = 8 : (-2)
   у = - 4
   Візьмемо у = 0.
   4х - 2 ⋅ 0 = 8
   4х = 8
   х = 8 : 4
   х = 2
   

   x	0	2
   y	-4	0

   Графік функції:
   

⇐Попередня тема

Повернутись до переліку тем

⇒Наступна тема