Чи може пара чисел стати точкою, а рівняння — малюнком? Лінійне рівняння з двома змінними відкриває світ, де алгебра зустрічається з геометрією. У цьому уроці ми з’ясуємо, як за допомогою формули ax + by = c будувати прямі лінії, і чому деякі з них проходять через початок координат, а інші — паралельні осям. Ви навчитеся швидко знаходити розв’язки рівняння та зрозумієте, як коефіцієнти a, b та c впливають на те, куди «дивиться» графік. Це перший крок до розв’язування складних систем, з якими ми зустрінемося далі.
Рівняннями з двома змінними називають рівності, які містять дві змінні.
Розв’язком рівняння з двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює рівняння в правильну числову рівність.
Щоб знайти довільний розв’язок рівняння з двома змінними, треба підставити в рівняння замість однієї змінної довільне число і знайти значення другої змінної, розв’язавши отримане рівняння.
Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння виду ах + by = c, де x і у - змінні. Числа a, b і с називають коефіцієнтами рівняння.
Графіком рівняння з двома змінними х і у називають фігуру, що складається з усіх точок координатної площини, координати яких є розв’язками цього рівняння.
Графік рівняння ax + by = c в залежності від коефіцієнтів:
| № | Опис | Графік |
|---|---|---|
| 1 | a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 Графіком є пряма, розміщена з нахилом до осі абсцис |
|
| 2 | a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 Графіком є пряма, що проходить через початок координат і розміщена з нахилом до осі абсцис |
|
| 3 | a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 Графіком є пряма, що проходить через точку (0;c/b) паралельно до осі абсцис |
|
| 4 | a = 0, b ≠ 0, c = 0 Графіком є пряма, що співпадає з віссю абсцис |
|
| 5 | a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0 Графіком є пряма, що проходить через точку (c/a;0) паралельно до осі ординат |
|
| 6 | a ≠ 0, b = 0, c = 0 Графіком є пряма, що співпадає з віссю ординат |
|
| 7 | a = 0, b = 0, c ≠ 0 Графік не існує | - |
| 8 | a = 0, b = 0, c = 0 Графіком є всі точки площини |
|
(1;2)
Підставимо в рівняння першу пару чисел замість змінних (перше число в парі - х, друге число в парі - у).
2 · 1 + 3 · 2 = 8.
2 + 6 = 8
Отримали правильну числову рівність, тому пара чисел (1;2) є розв'язком рівняння 2х + 3у = 8.
(-1;4)
2 · (-1) + 3 · 4 = 8.
-2 + 12 = 8
Отримали неправильну числову рівність (-2 + 12 = 10 ≠ 8), тому пара чисел (-1;4) не є розв'язком рівняння 2х + 3у = 8.
Візьмемо, наприклад, х = 1, підставимо і розв'яжемо отримане рівняння.
3 · 1 - 4у = 6
3 - 4у = 6
- 4у = 6 - 3
- 4у = 3
у = 3 : (- 4)
у = - 0,75
Маємо першу пару розв'язків (1;-0,75)
Візьмемо, наприклад, х = 2, підставимо і розв'яжемо отримане рівняння.
3 · 2 - 4у = 6
6 - 4у = 6
- 4у = 6 - 6
- 4у = 0
у = 0 : (- 4)
у = 0
Маємо другу пару розв'язків (2;0).
Знайдемо два довільні розв'язки рівняння.
Візьмемо х = 0.
4 · 0 - 2у = 8
- 2у = 8
у = 8 : (-2)
у = - 4
Візьмемо у = 0.
4х - 2 · 0 = 8
4х = 8
х = 8 : 4
х = 2
| x | 0 | 2 |
| y | -4 | 0 |
Коментарі