Основна тригонометрична тотожність та наслідки з неї

Основна тригонометрична тотожність — це фундамент тригонометрії, який випливає безпосередньо з теореми Піфагора для одиничного кола. Вона встановлює нерозривний зв'язок між синусом і косинусом одного й того самого кута, дозволяючи легко переходити від однієї функції до іншої. Розуміння цієї формули є ключем до спрощення складних виразів та розв'язування тригонометричних рівнянь.

На цій сторінці ми розберемо не лише базову рівність sin²x+cos²x=1, а й важливі наслідки, що пов'язують тангенс та котангенс із основними функціями. Ви дізнаєтеся, як за одним відомим значенням знайти всі інші тригонометричні функції, враховуючи чверть, у якій лежить кут. Практичний приклад допоможе опанувати алгоритм вибору знака (плюс чи мінус) перед результатом, що є одним із найскладніших моментів для учнів.

---

Розглянемо одиничне коло. Враховуючи означення синуса та косинуса, маємо, що в прямокутному трикутнику катети дорівнюють sinx та cosx, а гіпотенуза 1. Якщо записати теорему Піфагора для даного трикутника, ми отримаємо співвідношення

sin²x + cos²x = 1

Дане співвідношення називається основною тригонометричною тотожністю.

Якщо поділити обидві частини основної тригонометричної тотожності на cos²x та на sin²x ми отримаємо нові залежності між тригонометричними функціями одного аргументу:

1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}

та

1+ctg^2x=\frac{1}{sin^2x}

Враховуючи, що tgx=\frac{sinx}{cosx} і ctgx=\frac{cosx}{sinx}, ми отримаємо нову формулу

tgx · ctgx = 1

Дані формули дозволяють знаходити значення тригонометричних функцій за відомою одною.

Завдання 1. sinx = \frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < x < π. Знайти cosx, tgx, ctgx.

Показати відповідь

Якщо підставити значення sinx в основну тригонометричну тотожність, то маємо рівняння:
(\frac{3}{5})^2 + cos^2x = 1
\frac{9}{25} + cos^2x = 1
cos^2x = 1-\frac{9}{25}
cos^2x = \frac{25}{25}-\frac{9}{25}
cos^2x = \frac{25-9}{25}
cos^2x = \frac{16}{25}
cosx = \pm\frac{4}{5}.
Оскільки за умовою кут х належить другій чверті, де знак косинуса від'ємний, то залишаємо значення cosx = -\frac{4}{5}.

Знаючи значення синуса та косинуса кута дуже легко знайти тангенс кута. tgx = \frac{sinx}{cosx}=\frac{3}{5}:\frac{-4}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{-5}{4}=-\frac{3}{4}.

Оскільки з формули tgx · ctgx = 1 слідує, що ctgx = \frac{1}{tgx}, то для знаходження котангенса кута достатньо перевернути значення тангенса і ми отримаємо ctgx = -\frac{4}{3}.

⇐ Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій До змісту (10 клас, Алгебра)