Шлях до математики: кроки успіху: Основна тригонометрична тотожність та наслідки з неї

Розглянемо одиничне коло. Враховуючи означення синуса та косинуса, маємо, що в прямокутному трикутнику катети дорівнюють sinx та cosx, а гіпотенуза 1. Якщо записати теорему Піфагора для даного трикутника, ми отримаємо співвідношення

sin²x+cos²x=1

Дане співвідношення називається основною тригонометричною тотожністю.

Якщо поділити обидві частини основної тригонометричної тотожності на cos²x та на sin²x ми отримаємо нові залежності між тригонометричними функціями одного аргументу:

$1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}$

та

$1+ctg^2x=\frac{1}{sin^2x}$

Враховуючи, що $tgx=\frac{sinx}{cosx}$ і $ctgx=\frac{cosx}{sinx}$ , ми отримаємо нову формулу

tgx⋅ctgx=1

Дані формули дозволяють знаходити значення тригонометричних функцій за відомою одною.

Приклад 1.

sinx= $\frac{3}{5}$ , $\frac{\pi}{2}$ <x<π. Знайти cosx, tgx, ctgx.

Розв'язання. Якщо підставити значення sinx в основну тригонометричну тотожність, то маємо $(\frac{3}{5})^2$ +cos²x=1. Якщо розв'язати це рівняння, маємо cosx= $\pm\frac{4}{5}$ . Оскільки за умовою кут х належить другій чверті, де знак косинуса від'ємний, то залишаємо значення cosx= $-\frac{4}{5}$ .

Знаючи значення синуса та косинуса кута дуже легко знайти тангенс кута. tgx= $\frac{sinx}{cosx}$ = $\frac{3}{5}:\frac{-4}{5}$ = $\frac{3}{5}\cdot\frac{-5}{4}$ = $-\frac{3}{4}$ .

Оскільки з формули tgxctgx=1 слідує, що ctgx= $\frac{1}{tgx}$ , то для знаходження котангенса кута достатньо перевернути значення тангенса і ми отримаємо ctgx= $\frac{-4}{3}$ .