Поняття оборотності є ключовим для розуміння того, як математичні операції можуть «скасовувати» одна одну. Якщо функція кожному значенню аргументу ставить у відповідність унікальне значення результату, ми можемо здійснити зворотний процес: знайти, яке саме «х» привело нас до конкретного «у». Такі пари функцій називаються взаємно оберненими, і вони відіграють важливу роль у розв'язуванні рівнянь та дослідженні властивостей графіків.
На цій сторінці ми з'ясуємо умови, за яких функція вважається оборотною, та вивчимо три їхні фундаментальні властивості: взаємозв'язок областей визначення та значень, збереження монотонності та особливу геометричну симетрію. Ви навчитеся не лише аналітично виводити формулу оберненої залежності, а й миттєво впізнавати такі пари функцій за їхніми графіками завдяки візуальному тесту на симетрію відносно прямої y = x.
Розглянемо функцію y = x + 4. Будь-яке значення функції y ми можемо отримати лише з одного значення змінної x. Такі функції, які набувають кожного свого значення в єдиній точці з її області визначення, називаються оборотними.
Для оборотних функцій y(x) можна знайти обернену залежність x(y), тобто знайти, яким значенням функції відповідають значення аргументу. Отримана залежність також є функцією, яка називається оберненою.
Отже, функції y = f(x) та y = g(x) називаються взаємно оберненими, якщо для кожного значення t з області визначення функції y = f(x) з рівності f(t) = m слідує, що g(m) = t.
Властивості обернених функцій:
- Область визначення функції співпадає з областю значень оберненої, область значень функції співпадає з областю визначення оберненої (D(f(x)) = E(g(x)), E(f(x)) = D(g(x))).
- Графіки взаємно обернених функції симетричні відносно прямої y = x (бісектриси І та ІІІ координатних чвертей).
- Монотонність взаємно обернених функцій співпадає (якщо функція зростає, то обернена до неї також зростає; якщо функція спадає, то і обернена до неї функція спадає).
Як же знайти обернену функцію. Для цього достатньо виразити аргумент функції через її значення (у через х) та поміняти місцями аргумент і значення.
Коментарі