Оборотні функції. Взаємно обернені функції

Поняття оборотності є ключовим для розуміння того, як математичні операції можуть «скасовувати» одна одну. Якщо функція кожному значенню аргументу ставить у відповідність унікальне значення результату, ми можемо здійснити зворотний процес: знайти, яке саме «х» привело нас до конкретного «у». Такі пари функцій називаються взаємно оберненими, і вони відіграють важливу роль у розв'язуванні рівнянь та дослідженні властивостей графіків.

На цій сторінці ми з'ясуємо умови, за яких функція вважається оборотною, та вивчимо три фундаментальні властивості взаємно обернених функцій: взаємозв'язок областей визначення та значень, збереження монотонності та особливу геометричну симетрію. Ви навчитеся не лише аналітично виводити формулу оберненої залежності, а й миттєво впізнавати такі пари функцій за їхніми графіками завдяки візуальному тесту на симетрію відносно прямої y = x.

Розглянемо функцію y = x + 4. Будь-яке значення функції y ми можемо отримати лише з одного значення змінної x. Такі функції, які набувають кожного свого значення в єдиній точці з її області визначення, називаються оборотними.

Для оборотних функцій y(x) можна знайти обернену залежність x(y), тобто виразити аргумент через значення функції . Отримана залежність також є функцією, яка називається оберненою.

Отже, функції y = f(x) та y = g(x) називаються взаємно оберненими, якщо для кожного значення t з області визначення функції y = f(x) з рівності f(t) = m слідує g(m) = t.

Властивості обернених функцій:

  • Область визначення функції збігається з областю значень оберненої, область значень функції збігається з областю визначення оберненої (D(f(x)) = E(g(x)), E(f(x)) = D(g(x))).
  • Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої y = x (бісектриси І та ІІІ координатних чвертей).
  • Монотонність взаємно обернених функцій збігається (якщо функція зростає, то обернена до неї також зростає; якщо функція спадає, то і обернена до неї функція спадає).

Як же знайти обернену функцію. Для цього достатньо виразити x через у та поміняти місцями аргумент і значення.

Завдання 1. Знайти функцію, обернену до функції y = 2x + 4.
Показати відповідь
Перенесемо 2х в лівий бік, а у - в правий. Отримаємо рівність - 2х = 4 - у. Поділимо ліву та праву частину на -2. Отримаємо x = 12y - 2 та поміняємо місцями у та х. Отримана функція y = 12x - 2 і є оберненою до даної.
Завдання 2. На якому малюнку зображено взаємно обернені функції. Графік лінійних функцій АБВГxy0xy0xy0xy0
Показати відповідь
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х, яка є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей. Із запропонованих малюнків на першому вони симетричні відносно прямих у = 0 та х = 0, на другому відносно прямої х = 1, на третьому відносно прямої у = х, на четвертому малюнку графіки не є симетричними відносно прямої y=x. Тому правильна відповідь В.