Оборотні функції. Взаємно обернені функції

Поняття оборотності є ключовим для розуміння того, як математичні операції можуть «скасовувати» одна одну. Якщо функція кожному значенню аргументу ставить у відповідність унікальне значення результату, ми можемо здійснити зворотний процес: знайти, яке саме «х» привело нас до конкретного «у». Такі пари функцій називаються взаємно оберненими, і вони відіграють важливу роль у розв'язуванні рівнянь та дослідженні властивостей графіків.

На цій сторінці ми з'ясуємо умови, за яких функція вважається оборотною, та вивчимо три їхні фундаментальні властивості: взаємозв'язок областей визначення та значень, збереження монотонності та особливу геометричну симетрію. Ви навчитеся не лише аналітично виводити формулу оберненої залежності, а й миттєво впізнавати такі пари функцій за їхніми графіками завдяки візуальному тесту на симетрію відносно прямої y = x.

---

Розглянемо функцію y = x + 4. Будь-яке значення функції y ми можемо отримати лише з одного значення змінної x. Такі функції, які набувають кожного свого значення в єдиній точці з її області визначення, називаються оборотними.

Для оборотних функцій y(x) можна знайти обернену залежність x(y), тобто знайти, яким значенням функції відповідають значення аргументу. Отримана залежність також є функцією, яка називається оберненою.

Отже, функції y = f(x) та y = g(x) називаються взаємно оберненими, якщо для кожного значення t з області визначення функції y = f(x) з рівності f(t) = m слідує, що g(m) = t.

Властивості обернених функцій:

• Область визначення функції співпадає з областю значень оберненої, область значень функції співпадає з областю визначення оберненої (D(f(x)) = E(g(x)), E(f(x)) = D(g(x))).
• Графіки взаємно обернених функції симетричні відносно прямої y = x (бісектриси І та ІІІ координатних чвертей).
• Монотонність взаємно обернених функцій співпадає (якщо функція зростає, то обернена до неї також зростає; якщо функція спадає, то і обернена до неї функція спадає).

Як же знайти обернену функцію. Для цього достатньо виразити аргумент функції через її значення (у через х) та поміняти місцями аргумент і значення.

Завдання 1. Знайти функцію, обернену до функції y = 2x + 4.

Показати відповідь

Перенесемо 2х в лівий бік, а у - в правий. Отримаємо рівність - 2х = 4 - у. Поділимо ліву та праву частину на -2. Отримаємо x = \frac{1}{2}y-2 та поміняємо місцями у та х. Отримана функція y =\frac{1}{2}x-2 і є оберненою до даної.

Завдання 2. На якому малюнку зображено взаємно обернені функції.

Показати відповідь

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у=х, яка є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей. Із запропонованих малюнків лише на 3 перших лінії симетричні відносно якоїсь прямої, але на першому малюнку вони симетричні відносно прямих у = 0 та х = 0, на другому відносно прямої х = 2 і лише на третьому відносно прямої у = х. Тому правильна відповідь В.

⇐ Властивості і графіки основних видів функцій

До змісту (10 клас, Алгебра)

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій ⇒