Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій

Розглянемо, як можна побудувати графік функції, використовуючи ті функції, які ми знаємо. Для цього використовують геометричні перетворення.

Перетворення f(x)+a

При даному перетворенні графік функції f(x) переміщується вгору, якщо a>0 та графік функції f(x) переміщується вниз, якщо a<0 .

Перетворення f(x+a)

При даному перетворенні графік функції f(x) переміщується вліво, якщо a>0 та графік функції f(x) переміщується вправо, якщо a<0 .

Перетворення kf(x)

При даному перетворенні графік функції f(x) розтягується від осі ОХ в k раз, якщо k>1 та графік функції f(x) стискається до осі ОХ в 1/k раз, якщо 0<k<1. Точки перетину графіка f(x) з віссю ОХ залишаються на місці, а всі відстані від інших точок графіка змінюються в k раз.

Якщо число k від'ємне, то спочатку виконуємо перетворення, як для додатнього числа, а потім обертаємо графік навколо осі ОХ.

Перетворення f(kx)

При даному перетворенні графік функції f(x) розтягується від осі ОУ в 1/k раз, якщо 0<k<1 та графік функції f(x) стискається до осі ОY в k раз, якщо k>1. Точки перетину графіка f(x) з віссю ОУ залишаються на місці, а всі відстані від інших точок графіка змінюються в k раз.

Якщо число k від'ємне, то спочатку виконуємо перетворення, як для додатнього числа, а потім обертаємо графік навколо осі ОY.

Перетворення |f(x)|

При даному перетворенні частина графіка функції f(x), яка знаходиться над віссю ОХ залишається без змін, а друга частина (знаходиться нижче осі ОХ) перевертається вгору.

Перетворення f(|x|)

При даному перетворенні частина графіка функції f(x), яка знаходиться справа від осі ОУ залишається без змін та симетрично перевертається в ліву частину, а друга частина (знаходиться зліва від осі ОУ) зникає.

Приклад 1.

Побудувати графік функції y=|3(x/2-4)²-4|

Розв'язання.

1. Спочатку будуємо графік y=x² (парабола)

2. Будуємо графік y=(x/2)² (графік розтягується від осі ОУ в 2 рази).

3. Перед наступним перетворенням винесемо множник 1/2 за дужки. Маємо функцію y=|3(1/2(x-8)²-4|. Отже наступний графік y=(1/2(x-8))² (переміщення на 8 одиниць праворуч). Якщо не виконувати попередньо винесення множники за дужки, можна помилково перенести графік на 4 одиниці, що буде невірно.

4. Наступний графік y=3(x/2-4)² (розтягнення від осі ОХ в 3 рази).

5. Наступний графік y=3(x/2-4)²-4 (переміщення на 4 одиниці униз.

6. І, остаточно, графік y=|3(x/2-4)²-4| (все, що нижче осі ОХ, підіймаємо вгору).