Геометричні перетворення — це потужний інструмент, який дозволяє будувати графіки складних функцій, не вдаючись до виснажливого обчислення координат кожної точки. Замість побудови «з нуля», ми беремо за основу вже відомий графік елементарної функції (параболу, гіперболу або пряму) і поступово змінюємо його форму та положення за чіткими математичними правилами.
На цій сторінці ми детально розглянемо вісім основних видів перетворень: від простого паралельного перенесення вздовж осей до складніших випадків деформації (стиску та розтягу) та симетричного відображення графіка з модулем. Особливу увагу приділено алгоритму дій: ви дізнаєтеся, чому черговість кроків критично важлива для отримання правильного результату та як уникнути типових помилок при роботі з аргументами у дужках.
Розглянемо, як можна побудувати графік функції, використовуючи ті функції, які ми знаємо. Для цього використовують геометричні перетворення.
Перетворення f(x) + a
При даному перетворенні графік функції f(x) переміщується вгору, якщо a > 0 та графік функції f(x) переміщується вниз, якщо a < 0 .
Перетворення f(x + a)
При даному перетворенні графік функції f(x) переміщується ліворуч, якщо a > 0 та графік функції f(x) переміщується праворуч, якщо a < 0.
Перетворення kf(x)
При даному перетворенні графік функції f(x) розтягується від осі ОХ в k раз, якщо k > 1 та графік функції f(x) стискається до осі ОХ в 1/k раз, якщо 0 < k < 1. Точки перетину графіка f(x) з віссю ОХ залишаються на місці, а всі відстані від інших точок графіка змінюються в k раз.
Якщо число k від'ємне, то спочатку виконуємо перетворення, як для додатнього числа, а потім обертаємо графік навколо осі ОХ.
Перетворення f(kx)
При даному перетворенні графік функції f(x) розтягується від осі ОУ в 1/k раз, якщо 0 < k < 1 та графік функції f(x) стискається до осі ОY в k раз, якщо k > 1. Точки перетину графіка f(x) з віссю ОУ залишаються на місці, а всі відстані від інших точок графіка змінюються в k раз.
Якщо число k від'ємне, то спочатку виконуємо перетворення, як для додатнього числа, а потім обертаємо графік навколо осі ОY.
Перетворення |f(x)|
При даному перетворенні частина графіка функції f(x), яка знаходиться над віссю ОХ залишається без змін, а друга частина (знаходиться нижче осі ОХ) перевертається вгору.
Перетворення f(|x|)
При даному перетворенні частина графіка функції f(x), яка знаходиться справа від осі ОУ залишається без змін та симетрично перевертається в ліву частину, а друга частина (знаходиться зліва від осі ОУ) зникає.
Завдання. Побудувати графік функції y = |3(\frac{x}{2}-4)^2-4|1. Спочатку будуємо графік y=x2 (парабола) 2. Будуємо графік y = (\frac{x}{2})^2 (графік розтягується вздовж осі Ох в 2 рази). 3. Перед наступним перетворенням винесемо множник 1/2 за дужки. Маємо функцію y = |3(\frac{1}{2}(х-8))^2-4|. Отже наступний графік y = (\frac{1}{2}(х-8))^2 (переміщення на 8 одиниць праворуч). Якщо не виконувати попередньо винесення множники за дужки, можна помилково перенести графік на 4 одиниці, що не буде правильно. 4. Наступний графік y = 3(\frac{1}{2}(х-8))^2 (розтягнення вздовж осі ОУ в 3 рази). 5. Наступний графік y = 3(\frac{1}{2}(х-8))^2-4 (переміщення на 4 одиниці униз). 6. І, остаточно, графік y = |3(\frac{1}{2}(х-8))^2-4| (все, що нижче осі ОХ, підіймаємо вгору).
Коментарі