Оборотні функції. Взаємно обернені функції

Розглянемо функцію y=x+4. Будь-яке значення функції y ми можемо отримати лише з одного значення змінної x. Такі функції, які набувають кожного свого значення в єдиній точці з її області визначення, називаються оборотними.

Для оборотних функцій y(x) можна знайти обернену залежність x(y), тобто знайти, яким значенням функції відповідають значення аргументу. Отримана залежність також є функцією, яка називається оберненою.

Отже, функції y=f(x) та y=g(x) називаються взаємно оберненими, якщо для кожного значення t з області визначення функції y=f(x) з рівності f(t)=m слідує, що g(m)=t.

Властивості обернених функцій:

• Область визначення функції співпадає з областю значень оберненої, область значень функції співпадає з областю визначення оберненої (D(f(x))=E(g(x)), E(f(x))=D(g(x))).
• Графіки взаємно обернених функції симетричні відносно прямої y=x (бісектриси І та ІІІ координатних чвертей).
• Монотонність взаємно обернених функцій співпадає (якщо функція зростає, то обернена до неї також зростає; якщо функція спадає, то і обернена до неї функція спадає).

Як же знайти обернену функцію. Для цього достатньо виразити аргумент функції через її значення (у через х) та поміняти місцями аргумент і значення.

Приклад 1.

Знайти функцію, обернену до функції y=2x+4.

Розв'язання. Перенесемо 2х в лівий бік, а у - в правий. Отримаємо рівність -2х=4-у. Поділимо ліву та праву частину на -2. Отримаємо x= та поміняємо місцями у та х. Отримана функція y= і є оберненою.

Приклад 2.

На якому малюнку зображено взаємно обернені функції.

А	Б	В	Г

Розв'язання. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у=х, яка є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей. Із запропонованих малюнків пряма лише на 3 перших лінії симетричні відносно якоїсь прямої, але на першому малюнку вони симетричні відносно прямих у=0 та х=0, на другому відносно прямої х=2 і лише на третьому відносно прямої у=х. Тому правильна відповідь В.