Поняття оборотності є ключовим для розуміння того, як математичні операції можуть «скасовувати» одна одну. Якщо функція кожному значенню аргументу ставить у відповідність унікальне значення результату, ми можемо здійснити зворотний процес: знайти, яке саме «х» привело нас до конкретного «у». Такі пари функцій називаються взаємно оберненими, і вони відіграють важливу роль у розв'язуванні рівнянь та дослідженні властивостей графіків.
На цій сторінці ми з'ясуємо умови, за яких функція вважається оборотною, та вивчимо три їхні фундаментальні властивості: взаємозв'язок областей визначення та значень, збереження монотонності та особливу геометричну симетрію. Ви навчитеся не лише аналітично виводити формулу оберненої залежності, а й миттєво впізнавати такі пари функцій за їхніми графіками завдяки візуальному тесту на симетрію відносно прямої y = x.
Розглянемо функцію y=x+4. Будь-яке значення функції y ми можемо отримати лише з одного значення змінної x. Такі функції, які набувають кожного свого значення в єдиній точці з її області визначення, називаються оборотними.
Для оборотних функцій y(x) можна знайти обернену залежність x(y), тобто знайти, яким значенням функції відповідають значення аргументу. Отримана залежність також є функцією, яка називається оберненою.
Отже, функції y=f(x) та y=g(x) називаються взаємно оберненими, якщо для кожного значення t з області визначення функції y=f(x) з рівності f(t)=m слідує, що g(m)=t.
Властивості обернених функцій:
- Область визначення функції співпадає з областю значень оберненої, область значень функції співпадає з областю визначення оберненої (D(f(x))=E(g(x)), E(f(x))=D(g(x))).
- Графіки взаємно обернених функції симетричні відносно прямої y=x (бісектриси І та ІІІ координатних чвертей).
- Монотонність взаємно обернених функцій співпадає (якщо функція зростає, то обернена до неї також зростає; якщо функція спадає, то і обернена до неї функція спадає).
Як же знайти обернену функцію. Для цього достатньо виразити аргумент функції через її значення (у через х) та поміняти місцями аргумент і значення.
Розв'язання. Перенесемо 2х в лівий бік, а у - в правий. Отримаємо рівність -2х=4-у. Поділимо ліву та праву частину на -2. Отримаємо x=\frac{1}{2}y-2 та поміняємо місцями у та х. Отримана функція y=\frac{1}{2}x-2 і є оберненою.
| А | Б | В | Г |
 |
 |
 |
 |
Розв'язання. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у=х, яка є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей. Із запропонованих малюнків пряма лише на 3 перших лінії симетричні відносно якоїсь прямої, але на першому малюнку вони симетричні відносно прямих у=0 та х=0, на другому відносно прямої х=2 і лише на третьому відносно прямої у=х. Тому правильна відповідь В.
Коментарі