Основна тригонометрична тотожність — це фундамент тригонометрії, який легко отримати, застосувавши теорему Піфагора до прямокутного трикутника в одиничному колі. Вона встановлює нерозривний зв'язок між синусом і косинусом одного й того самого кута, дозволяючи легко переходити від однієї функції до іншої. Розуміння цієї формули є ключем до спрощення складних виразів та розв'язування тригонометричних рівнянь.
На цій сторінці ми розберемо не лише базову рівність sin²x+cos²x=1, а й важливі наслідки, що пов'язують тангенс та котангенс із основними функціями. Ви дізнаєтеся, як за одним відомим значенням знайти всі інші тригонометричні функції, враховуючи чверть, у якій лежить кут. Практичний приклад допоможе опанувати алгоритм вибору знака (плюс чи мінус) перед результатом, що є одним із найскладніших моментів для учнів.
Розглянемо одиничне коло. Враховуючи означення синуса та косинуса, маємо, що в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють sinx та cosx, а гіпотенуза 1. Якщо записати теорему Піфагора для даного трикутника, ми отримаємо співвідношення
Дане співвідношення називається основною тригонометричною тотожністю.
Якщо поділити обидві частини основної тригонометричної тотожності відповідно на cos²x і на sin²x, то ми отримаємо нові залежності між тригонометричними функціями одного аргументу:
Враховуючи, що tgx = sinxcosx і ctgx = cosxsinx, ми отримаємо ще одну тотожність
Дані формули дозволяють знаходити значення тригонометричних функцій за значенням однієї з них.
Завдання 1. sinx = 35, π2 < x < π. Знайти cosx, tgx, ctgx.(35)² + cos²x = 1
925 + cos²x = 1
cos²x = 1 - 925
cos²x = 2525 - 925
cos²x = 25 - 925
cos²x = 1625
cosx = ±45.
Оскільки за умовою кут х належить другій чверті, де знак косинуса від'ємний, то залишаємо значення cosx = -45.
Знайдемо тангенс кута. tgx = sinxcosx = 35 : -45 = 35 · 5-4 = - 34.
Оскільки з формули tgx · ctgx = 1 слідує, що ctgx = 1tgx, то для знаходження котангенса кута достатньо взяти число, обернене до тангенса і ми отримаємо ctgx = - 43.
Коментарі