Основна тригонометрична тотожність та наслідки з неї

Розглянемо одиничне коло. Враховуючи означення синуса та косинуса, маємо, що в прямокутному трикутнику катети дорівнюють sinx та cosx, а гіпотенуза 1. Якщо записати теорему Піфагора для даного трикутника, ми отримаємо співвідношення

sin²x+cos²x=1

.

Дане співвідношення називається основною тригонометричною тотожністю.

Якщо поділити обидві частини основної тригонометричної тотожності на cos²x та на sin²x ми отримаємо нові залежності між тригонометричними функціями одного аргументу:

та

.

Враховуючи, що і , ми отримаємо нову формулу

tgx⋅ctgx=1

.

Дані формули дозволяють знаходити значення тригонометричних функцій за відомою одною.

Приклад 1.

sinx=, <x<π. Знайти cosx, tgx, ctgx.

Розв'язання. Якщо підставити значення sinx в основну тригонометричну тотожність, то маємо +cos²x=1. Якщо розв'язати це рівняння, маємо cosx=. Оскільки за умовою кут х належить другій чверті, де знак косинуса від'ємний, то залишаємо значення cosx=.

Знаючи значення синуса та косинуса кута дуже легко знайти тангенс кута. tgx====.

Оскільки з формули tgxctgx=1 слідує, що ctgx=, то для знаходження котангенса кута достатньо перевернути значення тангенса і ми отримаємо ctgx=.