Перейти до основного вмісту

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій


Розглянемо, як можна побудувати графік функції, використовуючи ті функції, які ми знаємо. Для цього використовують геометричні перетворення.

Перетворення f(x)+a

При даному перетворенні графік функції f(x) переміщується вгору, якщо a>0 та графік функції f(x) переміщується вниз, якщо a<0 .

Перетворення f(x)+a

Перетворення f(x+a)

При даному перетворенні графік функції f(x) переміщується вліво, якщо a>0 та графік функції f(x) переміщується вправо, якщо a<0 .

Перетворення f(x+a)

Перетворення kf(x)

При даному перетворенні графік функції f(x) розтягується від осі ОХ в k раз, якщо k>1 та графік функції f(x) стискається до осі ОХ в 1/k раз, якщо 0<k<1. Точки перетину графіка f(x) з віссю ОХ залишаються на місці, а всі відстані від інших точок графіка змінюються в k раз.

Перетворення kf(x)

Якщо число k від'ємне, то спочатку виконуємо перетворення, як для додатнього числа, а потім обертаємо графік навколо осі ОХ.

Перетворення kf(x), де к від'ємне

Перетворення f(kx)

При даному перетворенні графік функції f(x) розтягується від осі ОУ в 1/k раз, якщо 0<k<1 та графік функції f(x) стискається до осі ОY в k раз, якщо k>1. Точки перетину графіка f(x) з віссю ОУ залишаються на місці, а всі відстані від інших точок графіка змінюються в k раз.

Перетворення f(kx)

Якщо число k від'ємне, то спочатку виконуємо перетворення, як для додатнього числа, а потім обертаємо графік навколо осі ОY.

Перетворення f(kx), де к від'ємне

Перетворення |f(x)|

При даному перетворенні частина графіка функції f(x), яка знаходиться над віссю ОХ залишається без змін, а друга частина (знаходиться нижче осі ОХ) перевертається вгору.

Перетворення |f(x)|

Перетворення f(|x|)

При даному перетворенні частина графіка функції f(x), яка знаходиться справа від осі ОУ залишається без змін та симетрично перевертається в ліву частину, а друга частина (знаходиться зліва від осі ОУ) зникає.

Перетворення f(|x|)
Приклад 1.

Побудувати графік функції y=|3(x/2-4)2-4|

Розв'язання.

1. Спочатку будуємо графік y=x2 (парабола)

2. Будуємо графік y=(x/2)2 (графік розтягується від осі ОУ в 2 рази).
3. Перед наступним перетворенням винесемо множник 1/2 за дужки. Маємо функцію y=|3(1/2(x-8)2-4|. Отже наступний графік y=(1/2(x-8))2 (переміщення на 8 одиниць праворуч). Якщо не виконувати попередньо винесення множники за дужки, можна помилково перенести графік на 4 одиниці, що буде невірно.
4. Наступний графік y=3(x/2-4)2 (розтягнення від осі ОХ в 3 рази).
5. Наступний графік y=3(x/2-4)2-4 (переміщення на 4 одиниці униз.
6. І, остаточно, графік y=|3(x/2-4)2-4| (все, що нижче осі ОХ, підіймаємо вгору).

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »