К истории диофантовых уравнений

Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції «Динаміка наукових досліджень». Том 7. Математика. Фізика. – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2002. – 52 с.(с. 21-23)

Диофантовы уравнения представляют собою один из разделов теории чисел. Диофантовыми уравнениями называются неопределенные алгебраические уравнения, или их системы, с целыми коэффициентами, у которых разыскиваются целые или рациональные решения.

Причина их появления связана с решением уравнения x²+y²=z². В «Началах» Евклида было решено уравнение x²-ay²=1 для случая а=2, причем не в рациональных, а в целых числах. Решение его для произвольного неквадратного а знал Архимед.

Диофант нашел рациональные решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежащих более чем к 50 различным классам. В каждом случае он ограничивается нахождением одного корня. Общих методов решения неопределенных уравнений или классификации последних у Диофанта нет. Отметим также, что нет доказательств; справедливость полученного результата подтверждается только тем, что он при подстановке удовлетворяет условиям задачи [1].

Много внимания неопределенным уравнениям придавали и индийские ученые средних веков. При решении уравнения вида ax+by=c они прибегали к последовательному делению. Мы встречаем у них и решение уравнений вида xy=ax+by+c и y²=ax²+b. При решении первого из них использовалась геометрическая интерпретация, а второго – циклический метод Бхаскары [2].

Общая теория диофантовых уравнений 1-й степени была построена в XVI в. французским математиком Б. де Мезириаком.

Созданием общей теории диофантовых уравнений 2-й степени занимались многие ученые: П. Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Гаусс. В результате их усилий к началу XIX в. было в основном исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными и с целыми коэффициентами: ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0. Большой известностью пользуется большая теорема Ферма; Л. Эйлер доказал большую теорему Ферма для n=3 и n=4. С помощью непрерывных дробей Эйлер исследовал задачу о решении уравнения x²-dy²=1 (уравнение Пелля), где d – неквадратное число. Решение этого уравнения, кроме Эйлера и Ферма, занимался также Валлис. Вопрос о получении бесконечного числа решений уравнения 2-й степени, если известно одно решение, Эйлер свел к решению уравнения Пелля, данного выше. В этом вопросе исследования Эйлера были закончены Лагранжем.

В ХХ в. фундаментальные исследования по теории диофантовых уравнений были проведены А. Гельфондом, Б. Делоне, Д. Фаддеевым и В. Тартаковским. Наиболее общий результат здесь был получен А. Туэ, который показал (1909), что уравнение a₀xⁿ+a₁x^n-1y+...+a_nyⁿ=c, где n>2, все a_k, а также с – целые, и многочлен a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n неприводим в поле рациональных чисел, - может иметь только конечное число целых решений. Делоне исследовал уравнение ax³+y³=1, где a – целое некубическое число. Он доказал, что, помимо очевидного решения х=0, у=1, это уравнение может иметь не более одного целочисленного решения. Метод Делоне позволяет найти такие решения, если они существуют. Работы в этом направлении были продолжены как самим Делоне, так и другими учеными.

Литература:

1. Диофант. Арифметика / Пер. с древнегреч. И.Н. Веселковского; ред. и комментарии И.Г. Башмаковой. – М.: Наука, 1974.
2. Рыбников К.А. История математики. – М., 1974.
3. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М., 1968.
4. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М., 1972.