Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках.

На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ.

---

Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме (Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).

Наносимо отримане число на числову пряму. При цьому якщо нерівність строга (<,>), то точка виколота, якщо не строга (≤,≥), то точка зафарбована. Штрихуємо в напрямку, куди вказує знак нерівності і записуємо отриману відповідь (якщо точка виколота, то дужка у відповіді кругла; якщо зафарбована, то дужка квадратна).

Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Розв’яжіть систему нерівностей {\footnotesize\begin{cases}x^2 + 4 \ge 0,\\[-0.4em]2(3x - 5) - 6 \lt x + 8\end{cases}}

∅

[−4; 4,8)

[2; 4,8)

(−∞; 4,8)

(−∞; −2] ∪ [2; 4,8)

Показати відповідь

Г.
{\footnotesize\begin{cases}x^2 + 4 \ge 0,\\[-0.4em]2(3x - 5) - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]2\cdot3x - 2\cdot5 - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]6x - 10 - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]6x - x \lt 8 + 10 + 6 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]5x \lt 24 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]x \lt 24:5 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]x \lt 4,8 \end{cases}}
Так як квадрат числа завжди є додатнім, тому розв'язком першої нерівності системи є будь-яке число. Тому розв'язком системи буде розв'язок другої нерівності. Тоді х∈ (−∞; 4,8).

Завдання 2. Розв'яжіть нерівність х + 3 ≤ 0.

[0; 3]

(-∞; 3]

(-∞; -3]

(3; +∞)

(-3; +∞)

Показати відповідь

В.
х + 3 ≤0
х ≤ -3
х ∈(-∞; -3]

---

Завдання 3. Відомо, що a<b. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.

-2a<-2b

\sqrt{2}a\gt\sqrt{b}

\frac{a}{3}\gt\frac{b}{3}

a-4>b-4

0,5-a>0,5-b

Показати відповідь

Д.
А) При множенні обох частин нерівності на від'ємне значення (-2) знак нерівності повинен змінитися, а у нас залишився, тому не підходить.
Б) При множенні обох частин нерівності на додатне значення (\sqrt{2}) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
В) При діленні обох частин нерівності на додатну значення (3) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
Г) При відніманні від обох частин нерівності числа (4) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
Д) При множенні нерівності на від'ємне значення (-1) знак нерівності повинен змінитися, а потім після додавання додатного числа (0,5) змінений знак повинен залишитися. Отже, остаточно знак повинен помінятися, отже ця нерівність правильна.

Завдання 4. Розв’яжіть нерівність 0,2х-54<0.

(-∞;27)

(270;+∞)

(-∞;2,7)

(-∞;270)

(10,8;+∞)

Показати відповідь

Г.
0,2х-54<0
0,2х<54 (домножимо обидві частини нерівності на 5)
х<270 Отже, х∈(-∞;270).

Завдання 5. Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix}4x-7\ge2x+1,\\x\ge-3\end{matrix}\right..

[-1;+∞)

[-3;4]

⊘

[-3;+∞)

[4;+∞)

Показати відповідь

Д.
Розв'яжемо першу нерівність:
4x - 7 ≥ 2x + 1
4x - 2x ≥ 1 + 7
2x ≥ 8
x ≥ 4
Друга нерівність: x≥-3 Маємо подвійне штрихування на проміжку [4;+∞).

Завдання 6. Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix}6>2x,\\7x-28\le0\end{matrix}\right..

(-∞;3)

(3;4]

(-∞;-3)

(-3;4]

(-∞;4]

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо першу нерівність:
6 > 2x
x < 3
Розв'яжемо другу нерівність:
7x - 28 ≤ 0
7x ≤ 28
x ≤ 28 : 7
x ≤ 4
Маємо подвійне штрихування на проміжку (-∞;3).

Завдання 7. Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix}-x>-3,\\2x+5>0\end{matrix}\right..

(-2,5;+∞)

(-3;+∞)

(3;+∞)

(2,5;3)

(-2,5;3)

Показати відповідь

Д.
Розв'яжемо першу нерівність:
-x > -3
x < 3
Розв'яжемо другу нерівність:
2x + 5 > 0
2x > -5
x > -2,5
Маємо подвійне штрихування на проміжку (-2,5;3).

Завдання 8. Розв’яжіть нерівність х³-2x<(x+2)(x²-2x+4).

(-4;+∞)

(-∞;-4)

(-0,25;+∞)

(-∞;-0,25)

(4;+∞)

Показати відповідь

А.
х³-2x<(x+2)(x²-2x+4)
х³-2x<х³+8
-2x<8
x> -4. Отже, х∈(-4;+∞).

Для розв'язування квадратичних нерівностей, нерівностей з раціональними виразами, застосовують метод інтервалів. Для розв'язування цим методом потрібно виконати наступні дії:
І. Перенести всі частини нерівності в ліву частину (отримати в правій частині лише 0), якщо маємо декілька дробів, звести їх до одного.
ІІ. Знайти ОДЗ нерівності. Тут можливі випадки:

1. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0
2. Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
3. Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0

ІІІ. Знайти нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності. Для цього прирівняти до 0 і розв'язати відповідне рівняння
IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму (зафарбовані лише точки, які знайдені в п. ІІІ за умови, що нерівність нестрога) і розбити ними числову пряму на інтервали.
V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності - ≥0 або ≤0)
VII. Записати відповідь

Завдання 9. Розв’яжіть нерівність \frac{1}{x}\le\frac{1}{3}.

(-∞;0)

(0;3]

[3;+∞)

(-∞;0)∪[3;+∞)

(-∞;3]

Показати відповідь

Г.
\frac{1}{x}\le\frac{1}{3}
\frac{1}{x}-\frac{1}{3}≤0
\frac{3-x}{3x}≤0
Розв'яжемо отриману нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠0.
2. Нулі функції: х = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -1 маємо \frac{3-(-1)}{3\cdot(-1)}=\frac{3+1)}{-3}=\frac{4}{-3}\lt0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
При х = 1 маємо \frac{3-1}{3\cdot1}=\frac{2}{3}\gt0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
При х = 4 маємо \frac{3-4}{3\cdot4}=\frac{-1}{12}\lt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Так як маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, х∈(-∞;0)∪[3;+∞).

Завдання 10. Укажіть число, що є розв'язком нерівності \frac{5}{x-3}≥1.

-2

0

2

9

4

Показати відповідь

Д.
І спосіб
\frac{5}{x-3}≥1
\frac{5}{x-3}-1≥0
\frac{5}{x-3}-\frac{x-3}{x-3}≥0
\frac{5-(x-3)}{x-3}≥0
\frac{5-x+3}{x-3}≥0
\frac{8-x}{x-3}≥0.
Розв'яжемо отриману нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠3.
2. Нулі функції: х = 8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = 0 маємо \frac{8-0}{0-3}=\frac{8}{-3}\lt0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
При х = 5 маємо \frac{8-5}{5-3}=\frac{3}{2}\gt0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
При х = 10 маємо \frac{8-10}{10-3}=\frac{-2}{7}\lt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Так як маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, х∈(3;8]. Даному проміжку належить лише число 4.
ІI спосіб
Підставимо дані числа у нерівність. Маємо:
А) \frac{5}{-2-3} = \frac{5}{-5} = -1≤1
Б) \frac{5}{0-3} = \frac{5}{-3}≤1
В) \frac{5}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5≤1
Г) \frac{5}{9-3} = \frac{5}{6}≤1
Д) \frac{5}{4-3} = \frac{5}{1} = 5≥1. Задовільняє.

Завдання 11. Розв’яжіть нерівність \frac{1}{x-5}<0.

(-∞;5)

(-∞;-5)

(-∞;5)∪(5;+∞)

(-5;+∞)

(5;+∞)

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠5.
2. Нулі функції: немає.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = 0 маємо \frac{1}{0-5}=\frac{1}{-5}\lt0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
При х = 10 маємо \frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}\gt0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, х∈(-∞;5).

Завдання 12. Розв’яжіть нерівність \frac{3x}{x+1}<\frac{7}{x+1}.

(-1;\frac{7}{3})

(-∞;-1)

(-∞;-1)∪(\frac{7}{3};+∞)

(-∞;-1)∪(-1;\frac{7}{3})

(-∞;\frac{7}{3})

Показати відповідь

А.
\frac{3x}{x+1}<\frac{7}{x+1}
\frac{3x}{x+1}-\frac{7}{x+1}<0
\frac{3x-7}{x+1}<0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠-1.
2. Нулі функції: x = \frac{7}{3}.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -2 маємо \frac{3\cdot(-2)-7}{-2+1}=\frac{-13}{-1}=13\gt0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 1 маємо \frac{3\cdot1-7}{1+1}=\frac{-4}{2}\lt0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 3 маємо \frac{3\cdot3-7}{3+1}=\frac{2}{4}\gt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-1;\frac{7}{3}).

Завдання 13. Розв’яжіть нерівність \frac{x-4}{x}≤0.

(-∞;0)∪(0;4]

(0;4]

[-4;0)

(-∞;-4]

(-∞;0)∪[4;+ ∞)

Показати відповідь

Б.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠0.
2. Нулі функції: x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -1 маємо \frac{-1-4}{-1}=\frac{-5}{-1}=5\gt0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 1 маємо \frac{1-4}{1}=\frac{-3}{1}=-3\lt0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 5 маємо \frac{5-4}{5}=\frac{1}{5}\gt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(0;4].

Завдання 14. Розв’яжіть нерівність \frac{x+1}{x}≤\frac{4}{3}.

(-∞;0)∪[3; + ∞)

(0;3]

[3; + ∞)

(-∞;0)

(-∞;3]

Показати відповідь

А.
\frac{x+1}{x}≤\frac{4}{3}
\frac{x+1}{x}-\frac{4}{3}≤0
\frac{3(x+1)-4x}{3x}≤0
\frac{3x+3-4x}{3x}≤0
\frac{3-x}{3x}≤0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠0.
2. Нулі функції: x = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -1 маємо \frac{3-(-1)}{3\cdot(-1)}=\frac{3+1)}{-3}=\frac{4}{-3}\lt0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
При х = 1 маємо \frac{3-1}{3\cdot1}=\frac{2}{3}\gt0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
При х = 4 маємо \frac{3-4}{3\cdot4}=\frac{-1}{12}\lt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Так як маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-∞;0)∪[3; + ∞).

Завдання 15. Розв’яжіть нерівність \frac{2x-4}{x+1}<0.

(-∞;2)

(-∞;-1)∪(-1;2)

(-1;2)

(-∞;-1)∪(2;+ ∞)

(-∞;-1)

Показати відповідь

В.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠ -1.
2. Нулі функції: 2x-4 = 0, звідси x = 2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -2 маємо \frac{2\cdot(-2)-4}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\gt0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 1 маємо \frac{2\cdot1-4}{1+1}=\frac{-2}{2}\lt0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 3 маємо \frac{2\cdot3-4}{3+1}=\frac{2}{4}\gt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-1;2).

Завдання 16. Розв’яжіть нерівність (x²+64)(x-5)>0.

(5;+∞)

(-∞;5)∪(5;+∞)

(5;8)

(-∞;5)∪(8;+ ∞)

(-∞;5)

Показати відповідь

А.
Оскільки x²+64 завжди більше 0, то на нього можна поділити обидві частини нерівності, при цьому знак нерівності не змінюється. Маємо
x-5>0
x>5 Отже, x∈(5;+∞).

Завдання 17. Укажіть число, що є розв’язком нерівності x²<9.

-8

-4,5

-2

3

8

Показати відповідь

В.
Потрібно знайти число, яке піднесене до квадрату буде менше 9. Це число -2, так як (-2)² = 4<9.

Завдання 18. Розв’яжіть нерівність (x+4)²≤16.

(-∞;8]

(-∞;0]

(-∞;4]

[-8;8]

[-8;0]

Показати відповідь

Д.
(x + 4)² ≤ 16
x² + 8x + 16 ≤ 16
x² + 8x + 16 - 16 ≤ 0
x² +8x ≤ 0
x(x + 8) ≤ 0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
Нулі функції: x = 0, x = -8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -9 маємо -9(-9 + 8) = -9 · (-1) = 9. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = -2 маємо -2(-2 + 8) = -2 · 6 = -12. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 2 маємо 2(2 + 8) = 2 · 10 = 20. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈[-8;0].

Завдання 19. Розв’яжіть нерівність \frac{x^2+64}{x-5}>0.

(-∞;5)∪(8;+∞)

(-∞;5)∪(5;+∞)

(5;8)

(5;+∞)

(-∞;5)

Показати відповідь

Г.
Оскільки чисельник дробу завжди більше нуля, то для того, щоб дріб був більше нуля, його знаменник також повинен бути більше нуля, отже маємо x-5>0, звідси x>5. Отже, x∈(5;+∞).

Завдання 20. Розв’яжіть нерівність \frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}≥0.

(-∞;-3)∪(2;5]

(-3;-2)∪[5;+∞)

(-∞;-3)∪(2; +∞)

(-∞;-2)∪(3; +∞)

(-3;2)∪{5}

Показати відповідь

В.
Оскільки чисельник дробу завжди більше або дорівнює 0, то сам дріб більше або дорівнює нулю або коли чисельник дорівнює 0 (отже, х = 5), або коли знаменник більше нуля. Розв'яжемо нерівність x²+x-6>0 за методом інтервалів. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x²+x-6 = 0.
D = 1²-4 · 1 · (-6) = 1+24 = 25.
x₁ = \frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -4 маємо (-4)² + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 0 маємо 0² + 0 - 6 = -6 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 4 маємо 4² + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)>0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞;-3)∪(2; +∞). Оскільки число 5 входить у другий проміжок, то відповідь така і залишається.

Завдання 21. Розв’яжіть нерівність \frac{(x-6)(x+2)^2}{x-3}≤0.

{-2}∪(3;6]

(-∞;-2]∪(3;6]

[-2; 6]

(-∞;6]

(-∞;3)∪(3;6]

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠ 3.
2. Нулі функції: x = 6, x = -2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму. Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -3 маємо \frac{(-3-6)(-3+2)^2}{-3-3}=\frac{-9(-1)^2}{-6}\gt0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 0 маємо \frac{(0-6)(0+2)^2}{0-3}=\frac{-6(0)^2}{-3}\gt0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
При х = 4 маємо \frac{(4-6)(4+2)^2}{4-3}=\frac{-2(6)^2}{1}\lt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
При х = 7 маємо \frac{(7-6)(7+2)^2}{7-3}=\frac{1(9)^2}{4}\gt0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈{-2}∪(3;6] (точку -2 включили, оскільки вона замальована).

Завдання 22. Розв’яжіть нерівність x³≥x².

(-∞;0]U[1;+∞)

[0;1]

[1;+∞)

{0}U[1; +∞)

[-1;+∞)

Показати відповідь

Г.
x³≥x²
x³-x²≥0
x²(x-1)≥0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈ R.
2. Нулі функції: x = 0, x = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -1 маємо (-1)²(-1-1) = - 2 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
При х = 0,5 маємо 0,5²(0,5-1) = 0,25 · (-0,5) < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 2 маємо 2²(2-1) = 4 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈{0}U[1; +∞) (якщо до інтервалів під'єднуємо точку, то пишемо її у фігурних дужках).

Завдання 23. Розв’яжіть нерівність a²>a.

(1;+∞)

(0;1)

(-∞;0)

(-∞;0)∪(1; +∞)

(-∞;1)

Показати відповідь

Г.
a²>a
a²-a>0
a(a-1)>0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈ R.
2. Нулі функції: x = 0, x = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -1 маємо -1 · (-1 - 1) = 2 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 0,5 маємо 0,5 · (0,5 - 1) = -0,25 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 2 маємо 2 · (2 - 1) = 2 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)>0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞;0)∪(1; +∞).

Завдання 24. Розв’яжіть нерівність \frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}≥1. У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Показати відповідь

34.
\frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}≥1
\frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}-1≥0
\frac{3x+4(x-2)-(x-2)x}{(x-2)x}≥0
\frac{3x+4x-8-x^2+2x}{(x-2)x}≥0
\frac{9x-8-x^2}{(x-2)x}≥0.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠2, x≠0.
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння 9x-8-x² = 0.
D = 9²-4 · (-1) · (-8) = 81-32 = 49.
x₁ = \frac{-9+\sqrt{49}}{2\cdot(-1)} = \frac{-9+7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1.
x₂ = \frac{-9-\sqrt{49}}{2\cdot(-1)} = \frac{-9-7}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -1 маємо \frac{9\cdot(-1)-8-(-1)^2}{(-1-2)\cdot(-1)}=\frac{-9-8-1}{-3\cdot(-1)}=\frac{-18}{-3\cdot(-1)}\lt0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
При х = 0,5 маємо \frac{9\cdot0,5-8-0,5^2}{(0,5-2)\cdot0,5}=\frac{4,5-8-0,25}{-1,5\cdot0,5}=\frac{-3,75}{-1,5\cdot0,5}\gt0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
При х = 1,5 маємо \frac{9\cdot1,5-8-1,5^2}{(1,5-2)\cdot1,5}=\frac{13,5-8-2,25}{-0,5\cdot1,5}=\frac{3,25}{-0,5\cdot1,5}\lt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
При х = 3 маємо \frac{9\cdot3-8-3^2}{(3-2)\cdot3}=\frac{27-8-9}{1\cdot3}=\frac{10}{1\cdot3}\gt0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
При х = 9 маємо \frac{9\cdot9-8-9^2}{(9-2)\cdot9}=\frac{81-8-81}{7\cdot9}=\frac{-8}{7\cdot9}\lt0. Ставимо в п'ятому інтервалі знак "-".
Так як маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". До цілих розв'язків належать числа 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Їх сума 1+3+4+5+6+7+8 = 34.

Завдання 25. Розв’яжіть нерівність \frac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}<0. У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа не має, то у відповідь запишіть число 100.

Показати відповідь

-4.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: знайдемо, коли знаменник обертається в 0. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x²+3x-10 = 0.
D = 3²-4 · 1 · (-10) = 9+40 = 49.
x₁ = \frac{-3+\sqrt{49}}{2\cdot1} = \frac{-3+7}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-3-\sqrt{49}}{2\cdot1} = \frac{-3-7}{2} = \frac{-10}{2} = -5.
Отже, х≠ -5, x≠2.
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x²+11x+30 = 0.
D = 11²-4 · 1 · 30 = 121-120 = 1.
x₁ = \frac{-11+\sqrt{1}}{2\cdot1} = \frac{-11+1}{2} = \frac{-10}{2} = -5
x₂ = \frac{-11-\sqrt{1}}{2\cdot1} = \frac{-11-1}{2} = \frac{-12}{2} = -6.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Для спрощення обчислень розкладемо квадратні тричлени на множники і виконаємо спрощення. \frac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}=\frac{(x-2)(x+5)}{(x+5)(x+6)}=\frac{x-2}{x+6}
При х = -7 маємо \frac{-7-2}{-7+6}=\frac{-9}{-1}\gt0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = -5,5 маємо \frac{-5,5-2}{-5,5+6}=\frac{-7,5}{0,5}\lt0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 0 маємо \frac{0-2}{0+6}=\frac{-2}{6}\lt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
При х = 3 маємо \frac{3-2}{3+6}=\frac{1}{9}\gt0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Найменшим цілим із отриманої відповіді є число -4.

Завдання 26. На рисунку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку (-∞;+ ∞) і має лише три нулі. Розв'яжіть систему \left\{\begin{matrix}f(x)\ge0,\\x^2+x-6>0\end{matrix}\right. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.

Показати відповідь

27.
Розв'яжемо другу нерівність в системі за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈R.
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x²+x-6 = 0.
D = 1²-4 · 1 · (-6) = 1+24 = 25.
x₁ = \frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -4 маємо (-4)²+(-4)-6 = 16 - 4 - 6 = 6 >0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 0 маємо 0²+0-6 = -6 <0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 3 маємо 3²+3-6 = 9 + 3 - 6 = 6 >0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)>0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Тоді маємо розв'язком другої нерівності проміжок (-∞;-3)∪(2; +∞). Розв'язком першої нерівності за малюнком маємо проміжок [-1;6]∪{9}. Перетином цих проміжків є проміжок (2;6]∪{9}. Цілими розв'язками будуть числа 3,4,5,6,9 і відповіддю є число 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27.

Завдання 27. Розв’яжіть нерівність x²+2^log₂(-2x)-15<0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності.

Показати відповідь

-3.
Знайдемо ОДЗ нерівності. Так як у підлогарифмічному виразі повинен бути додатний вираз, то
-2х>0
x<0.
Використаємо формулу a^log_ab = b. Отримаємо нерівність x²-2x-15<0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈R
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x²-2x-15 = 0.
D = 2²-4 · 1 · (-15) = 4+60 = 64.
x₁ = \frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot1} = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5
x₂ = \frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot1} = \frac{2-8}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму і врахуємо ОДЗ початкової нерівності.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -4 маємо (-4)²-2 · (-4)-15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 0 маємо 0²-2 · 0-15 = 0 + 0 - 15 = -15 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 6 маємо 6²-2 · 6-15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-".
Також заштриховуємо інтервал з ОДЗ. Маємо подвійне штрихування на проміжку (-3;0). Цілими розв'язками будуть числа -2, -1. Сума цих чисел -3.

⇐ ІІ.5.
Логарифмічні рівняння До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.7.
Показникові нерівності ⇒