Первісна функції

Правила інтегрування

1. C⋅f(x)dx=C⋅f(x)dx
2. (f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx

---

Таблиця первісних

1. xⁿdx=+C
2. dx=ln|x|+C
3. sinxdx=-cosx+C
4. cosxdx=sinx+C
5. dx=tgx+C
6. dx= -ctgx+C
7. a^xdx=+C
8. e^xdx=e^x+C

Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2^𝑥, 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок).

S=\int_{0}^{2}2^x{dx}

S=\int_{0}^{1}2^x{dx}

S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx}

S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx}

S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx}

Показати відповідь

Г.
Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2^𝑥. Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx}.

1. НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу .
   
   Відповідь

   31. Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла.
2. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл .
   Відповідь

   10. Скористатись формулою скороченого множення.
3. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x³+4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)=

   А	Б	В	Г	Д
   3x2+4	3x2	3x	2x2

   Відповідь

   Б.

---

4. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х^-4?

   А	Б	В	Г	Д
   F(x)=	F(x)=	F(x)=	F(x)=	F(x)=

   Відповідь

   Д.
5. Функція F(x)=10x⁵-4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   G(x)= 10x5+7	G(x)= 2x6-4x	G(x)=50x6	G(x)=50x4	G(x)= x5-4

   Відповідь

   А.
   Якщо дві функції є первісними для однієї функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою.
6. Функція F(x)=5x⁴-1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   G(x)=x5-x	G(x)= 5x4-x	G(x)= 20x3	G(x)= 5x4+1	G(x)= x4-5

   Відповідь

   Г.
   Якщо дві функції є первісними для однієї функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою.
7. Функція F(x)=2x³-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   f(x)=6x2-1	f(x)= 6x-1	f(x)= 4x2	f(x)= -x	f(x)= 6x2

   Відповідь

   Д.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x).
8. Функція F(x)=6sin(2x)-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   f(x)= -12cos(2x)	f(x)= 6cos(2x)	f(x)=12cos(2x)	f(x)= -3cos(2x)-x+C	f(x)= -6cos(2x)-x+C

   Відповідь

   В.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x).
9. Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=

   А	Б	В	Г	Д
   -sinx	sinx	2x-sinx	2x+sinx	2-sinx

   Відповідь

   А.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x).
10. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=2+sin2x?

    А	Б	В	Г	Д
    F(x)=2x-	F(x)=2x+	F(x)=2x+2cos2x	F(x)=2cos2x	F(x)=2x-cos2x

    Відповідь

    А.
11. Укажіть первісну F(x) для функції f(x)=

    А	Б	В	Г	Д
    F(x)=	F(x)=ln|x|	F(x)=-	F(x)=2ln|x|	F(x)=ln|2x|

    Відповідь

    Б.
12. Визначте для функції f(x)=2х+2 первісну, графік якої проходить через точку (1;4).

    А	Б	В	Г	Д
    F(x)=2x2+2х	F(x)=x2+2х+1	F(x)=x2+2х+2	F(x)=x2+2х-4	F(x)=2x2+х+1

    Відповідь

    Б. Знайти загальний вигляд первісних і підставити координати точки.
Формула Ньютона-Лейбніца
f(x)dx=F(b)-F(a), де F(x) - первісна функції f(x)
13. Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчисліть 6x²dx.

    А	Б	В	Г	Д
    12	14	18	22	42

    Відповідь

    Б.
14. Обчисліть інтеграл (f(x)+6)dx, якщо f(x)dx=8.

    А	Б	В	Г	Д
    20	14	2	28	48

    Відповідь

    А. Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів.
Обчислення площі криволінійної трапеції
S=(f(x)-g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).
15. На рисунку зображено графік непарної функції y=f(x), визначеної на проміжку [-5;5]. Яке з наведених співвідношень є справедливим для f(x)?

    

    А	Б	В	Г	Д
    f(x)dx<0	f(x)dx>0	f(x)dx<0	f(x)dx>0	f(x)dx=0

    Відповідь

    Д.
    Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком "+" (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох).
16. У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій y=f(x) і y=3 (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі S цієї фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    S=(f(x)-3)dx	S=(3-f(x))dx	S=(f(x)+3)dx	S=(f(x)-3)dx	S=(3-f(x))dx

    Відповідь

    Д.
17. На рисунку зображено графіки функції y=f(x) і y=g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    S=(f(x)-g(x))dx	S=(g(x)-f(x))dx	S=(f(x)+g(x))dx	S=(f(x)-g(x))dx	S=(g(x)-f(x))dx

    Відповідь

    Г.
18. На рисунку зображено графік функції y=f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    f(x)dx	f(x)dx-f(x)dx	f(x)dx-f(x)dx	2f(x)dx	2f(x)dx

    Відповідь

    Б.
    Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком "+" (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох).
19. На рисунку зображено графіки функцій y= та y=. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    dx	dx	dx	dx	dx

    Відповідь

    В.
20. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

    

    А	Б	В	Г	Д
    		1

    Відповідь

    Д.
21. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

    

    А	Б	В	Г	Д
    		1

    Відповідь

    В.
22. Визначте додатнє значення параметра а, за якого площа фігури, обмеженої лініями y= (див. рисунок), у=0 та х=а, дорівнює 192 кв.од.

    

    Відповідь

    64.
    Обчислити площу за допомогою інтеграла і прирівняти до 192.
23. Обчисліть f(x)dx, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у=f(x).

    

    Відповідь

    38,5. f(x)dx=s, де s- площа зафарбованої фігури.
24. Обчисліть , використовуючи рівняння кола х²+у²=25, зображеного на рисунку.

    

    Відповідь

    6,25., де s- площа чверті кола радіуса 5.
25. На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції f(x)=ax²+2x+5. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), x=0, x=1, дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму a+b.

    

    Відповідь

    48. Знайти площу за допомогою інтеграла і прирівняти результат до 21.
26. Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у=3х-х². Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.

    

    Відповідь

    4,5.
27. На рисунку зображено графік функції F(x)=x²+bx+c, яка є первісною для функції f(x). Визначте параметри b і c, знайдіть функцію f(x). У відповіді запишіть значення f(-8).

    

    Відповідь

    -22.
28. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у=-(x+1)² і прямими у=, х= -1 та х=1.
    Відповідь

    12.
29. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у=x³ , у=8, х=0.
    Відповідь

    12.
30. Обчисліть інтеграл (x²-4x)dx
    Відповідь

    9.

⇐ІІІ.6. Похідна функції

До змісту

⇒ІІІ.8 Дослідження функції та побудова її графіка