Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

Найпростіші фігури на площині — це алфавіт геометрії, без знання якого неможливо зрозуміти складніші теми. Вміння правильно оперувати поняттями відрізка, променя та кута є критично важливим для успішного виконання завдань НМТ. Розуміння того, як працюють властивості суміжних та вертикальних кутів, а також як поводяться кути при перетині паралельних прямих січною, дозволяє миттєво знаходити рішення в задачах, що здаються заплутаними.

На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО, зокрема найактуальніші приклади. Ви навчитеся розв’язувати прикладні задачі на орієнтування на місцевості, визначати градусні міри кутів у складних комбінаціях прямих та аналізувати логічні твердження, які часто зустрічаються в екзаменаційних тестах. Це повний практичний посібник: від аксіом вимірювання відрізків до ознак паралельності прямих.

Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС = АВ + ВС
Завдання 1. Відомо, що вісь AO Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі BO на кут 4° (див. рисунок). Визначте градусну міру кута AOC, який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею OC. Пізанська вежа: кут нахилу 4 градуси OC BA4°
176°
94°
104°
86°
96°
Показати відповідь
Г.
∠АОС + ∠АОВ = ∠ВОС = 90°. Тоді ∠АОС = 90° - ∠АОВ = 90° - 4° = 86°.
Завдання 2. Із точки О, яка лежить на прямій АВ, проведено промені ОМ і ОК (див. рисунок). Відомо, що ∠ВОМ = 30°, ∠МОК = 80°. Визначте градусну міру кута АОК. Уважайте, що промені ОК, ОМ і пряма АВ лежать в одній площині. Суміжні кути та промені OABKM
60°
70°
80°
150°
170°
Показати відповідь
Б.
∠ВОК = ∠ВОМ + ∠МОК = 30° + 80° = 110°. Так як ∠ВОК і ∠АОК суміжні, то їх сума дорівнює 180°. Тоді ∠АОК = 180° - ∠ВОК = 180° - 110° = 70°.
Завдання 3. Точки A, B, C та D лежать в одній площині. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Якщо точка В належить відрізку CD, то СВ + ВD = CD.
ІІ. Якщо точка А не належить відрізку CD, то СА + АD<CD.
ІІІ. Якщо відрізок CD перетинає відрізок АВ в точці О під прямим кутом і АО = ОВ, то АС = СВ.
лише І та ІІ
лише І
лише І та ІІІ
лише ІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
В.
І. Твердження є правильним.
ІІ. Твердження не є правильним
ІІІ. Твердження є правильним.
Завдання 4. Точка В належить відрізку АС. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і ВС, якщо АВ = 10 см, ВС = 5,2 см.
2,4 см
2,6 см
5,0 см
7,6 см
10,2 см
Показати відповідь
Г. відрізок з точками AKBMC Нехай т. К - середина АВ. Тоді КВ = АВ : 2 = 5 см. Нехай т. М - середина ВС. Тоді ВМ = ВС : 2 = 5,2:2 = 2,6 см. КМ = КВ + ВМ = 5 + 2,6 = 7,6 см.
Завдання 5. На відрізку АВ вибрано точку М так, що довжина відрізка АМ утричі більша за довжину МВ. Визначте довжину відрізка АВ, якщо МВ = 12 см.
48 см
36 см
24 см
42 см
54 см
Показати відповідь
А. відрізок з точками AMB Оскільки АМ = 3 · МВ, то АМ = 3 · 12 = 36 см. АВ = АМ + МВ = 36 + 12 = 48 см.
Завдання 6. Відрізок, довжина якого дорівнює 60 см, розділений точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.
36 см
40 см
45 см
48 см
50 см
Показати відповідь
В. відрізок з точками AKCDEMB Оскільки відрізок розбитий на чотири рівні частини, то довжина кожної частини 60:4 = 15 см. Оскільки К - середина АС, то АК = АС:2 = 15:2 = 7,5 см. Аналогічно МВ = 7,5 см. Оскільки відрізок АВ складається з відрізків АК, КМ та МВ, то КМ = АВ-АК-МВ = 60-7,5-7,5 = 45 см.
Види кутів:
  1. Гострий кут, градусна міра якого менше за 90°
  2. Прямий кут, градусна міра якого дорівнює 90°
  3. Тупий кут, градусна міра якого більше за 90° і менше за 180°
  4. Розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює 180°
  5. Суміжні кути, сума яких дорівнює 180°
  6. Вертикальні кути, які рівні між собою
  7. Внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180°
  8. Внутрішні різносторонні кути, які рівні між собою
Завдання 7. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Сума двох будь-яких вертикальних кутів дорівнює 180°.
ІІ. Сума двох будь-яких суміжних кутів дорівнює 180°.
ІІІ. Сума будь-якого гострого кута та будь-якого тупого кута дорівнює 180°.
лише І
лише ІІ
лише І і ІІІ
лише ІІ і ІІІ
І, ІІ, ІІІ
Показати відповідь
Б.
І. Вертикальні кути рівні. Візьмемо, наприклад, два вертикальні кути по 40°. Сума їх буде 80°. Дане твердження не є правильним.
ІI. Дане твердження правильне.
ІІІ. Візьмемо, наприклад, гострий кут 20° та тупий кут 100°. Їх сума 120°. Дане твердження не є правильним.
Завдання 8. На рисунку зображено трапецію АВСD. Визначте градусну міру кута ВСD, якщо ∠ADB = 35°, ∠BDC = 20°. трапеція АВСD ABCD? 35°20°
125°
165°
155°
145°
140°
Показати відповідь
А.
Кути ADB і CBD є рівними як внутрішні різносторонні при січній BD. Тоді ∠CBD = 35°. В трикутнику CBD сума кутів 180°. Отже ∠BCD = 180°-∠CBD-∠BDC = 180°-35°-20° = 125°.
Завдання 9. Пряма l перетинає паралельні прямі m і n (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α, якщо β = 125°. паралельні прямі та січна lmnαβ
35°
45°
55°
65°
75°
Показати відповідь
В.
Кут β є суміжним з кутом, який є внутрішнім різностороннім з кутом α. Даний суміжний кут дорівнює 180°-125° = 55° (як суміжний кут до кута 125°). Тоді і внутрішній різносторонній з ним кут дорівнює 55°.
Завдання 10. Прямі l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α. 3 прямі, що перетинаються nlmα 120°50°
110°
50°
60°
70°
80°
Показати відповідь
Г. 3 прямі, що перетинаються ABC Кут CAB дорівнює 180°-120° = 60° (як суміжний кут до кута 120°). Тоді з трикутника АВС кут ∠ACB = 180°-60°-50° = 70° (сума кутів у трикутнику дорівнює 180°). Кути АСВ та α рівні як вертикальні, тому кут α дорівнює 70°.
Завдання 11. На рисунку зображено прямі m і n, що перетинаються. Визначте градусну міру кута γ, якщо α + β = 50°. прямі, що перетинаються nmαβγ
310°
155°
145°
140°
130°
Показати відповідь
Б.
Кути α і β вертикальні, тому вони рівні. Оскільки їх сума 50°, то α = β = 50°:2 = 25°. Кути γ і α суміжні, тому їх сума 180° і γ = 180°-α = 180°-25° = 155°.
Завдання 12. Пряма с перетинає паралельні прямі a і b (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними для кутів 1, 2, 3?
І. ∠1 і ∠3 — суміжні.
ІІ. ∠1 = ∠2.
ІІІ. ∠2 + ∠3 = 180°. 3 прямі, що перетинаються abc123
лише І
лише І і ІІІ
лише ІІІ
лише І і ІІ
І, ІІ, ІІІ
Показати відповідь
Д.
І. Твердження правильне.
ІІ. Твердження правильне (відповідні кути рівні)
ІІІ. Оскільки ∠1 = ∠2, то ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠3. Так як ∠1 і ∠3 суміжні кути, то їх сума дійсно 180°. Твердження правильне.
Завдання 13. Усі зображені на рисунку прямі лежать в одній площині, прямі m і n є паралельними. Визначте градусну міру кута α. прямі, що перетинаються αmn 60°70°
20°
50°
60°
70°
110°
Показати відповідь
Б. прямі, що перетинаються CAEKB Оскільки ∠ВАЕ = ∠АВК як внутрішні різносторонні, то ∠ВАЕ = 70°. Тоді ∠САВ = ∠САЕ + ∠ВАЕ = 60° + 70° = 130°. ∠САВ і ∠ВАК - суміжні кути, тому α = ∠ВАК = 180°-∠САВ = 180°-130° = 50°.
Завдання 14. Три прямі, що розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α. прямі, що перетинаються α 52°49°
101°
99°
81°
79°
69°
Показати відповідь
Г.
Оскільки вертикальні кути рівні, то маємо прямі, що перетинаються 52°49°52°49° Тоді кути 49°,α, 52° утворюють розгорнутий кут, який дорівнює 180°. Отже α = 180°-49°-52° = 79°.
Завдання 15. Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α. прямі, що перетинаються 40°60°
80°
50°
90°
100°
70°
Показати відповідь
А.
Оскільки вертикальні кути рівні, то маємо прямі, що перетинаються 40°60°40°60° Тоді кути 60°,α, 40° утворюють розгорнутий кут, який дорівнює 180°. Отже α = 180°-60°-40° = 80°.
Завдання 16. Прямі k, l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α. прямі, що перетинаються αklmn 140°85°
15°
25°
35°
45°
55°
Показати відповідь
В. прямі, що перетинаються ABCD ∠DAC = 180°-140° = 40°. З трикутника DAC ∠DCA = 180°-40°-85° = 55°. Так як ∠ACB = 90°, то α = 90°-∠DCA = 90°-55° = 35°.
Завдання 17. Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені ОА та ОВ, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь ОА) утворює кут 40° з напрямком “схід”, а друга (промінь ОВ) - кут 20° з напрямом “південь”. Який кут утворюють ці дороги між собою? напрямки сторін AOB? 20°40° північпівденьзахідсхід
90°
100°
110°
120°
130°
Показати відповідь
В.
Кут ОВ утворює з напрямком "схід" кут 90°-20° = 70°. Тоді кут між ОА та ОВ дорівнює 40° + 70° = 110°.
Завдання 18. Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута γ, якщо α = 20°, β = 50°. промені з однієї точки αβγ
330°
290°
250°
160°
110°
Показати відповідь
Б.
Оскільки ці три кути утворюють кут 360°, то γ = 360°-α-β = 360°-20°-50° = 290°.
Завдання 19. Прямі АВ і СК паралельні, СВ — бісектриса кута АСК. Визначте градусну міру кута АВС, якщо ∠ВАС = 52°. прямі, що перетинаються ABCK? 52°
38°
52°
64°
69°
128°
Показати відповідь
В.
Оскільки ∠ВАС і ∠АСК внутрішні односторонні, то ∠АСК = 180°-∠ВАС = 180°-52° = 128°. Оскільки СВ- бісектриса, то ∠ВСК = ∠АСК:2 = 128°:2 = 64°. Так як ∠ВСК і ∠АВС внутрішні різносторонні, то вони рівні. Отже ∠АВС = 64°.