Перейти до основного вмісту

Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

Найпростіші фігури на площині — це алфавіт геометрії, без знання якого неможливо зрозуміти складніші теми. Вміння правильно оперувати поняттями відрізка, променя та кута є критично важливим для успішного виконання завдань НМТ. Розуміння того, як працюють властивості суміжних та вертикальних кутів, а також як поводяться кути при перетині паралельних прямих січною, дозволяє миттєво знаходити рішення в задачах, що здаються заплутаними.

На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО, зокрема найактуальніші приклади. Ви навчитеся розв’язувати прикладні задачі на орієнтування на місцевості, визначати градусні міри кутів у складних комбінаціях прямих та аналізувати логічні твердження, які часто зустрічаються в екзаменаційних тестах. Це повний практичний посібник: від аксіом вимірювання відрізків до ознак паралельності прямих.

    Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС=АВ+ВС
  1. НМТ 2024. Відомо, що вісь AO Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі BO на кут 4o (див. рисунок). Визначте градусну міру кута AOC, який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею OC.
    АБВГД
    176o 94o 104o 86o 96o
    Показати відповідь
    Г.
    ∠АОС + ∠АОВ =∠ВОС = 90o. Тоді ∠АОС = 90o - ∠АОВ = 90o - 4o = 86o.
  2. НМТ 2023. Із точки О, яка лежить на прямій АВ, проведено промені ОМ і ОК (див. рисунок). Відомо, що ∠ВОМ=30o, ∠МОК=80o. Визначте градусну міру кута АОК. Уважайте, що промені ОК, ОМ і пряма АВ лежать в одній площині.
    АБВГД
    60o 70o 80o 150o 170o
    Показати відповідь
    Б.
    ∠ВОК = ∠ВОМ + ∠МОК = 30o + 80o = 110o. Так як ∠ВОК і ∠АОК суміжні, то їх сума дорівнює 180o. Тоді ∠АОК = 180o - ∠ВОК = 180o - 110o = 70o.
  3. Точки A, B, C та D лежать в одній площині. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Якщо точка В належить відрізку CD, то СВ+ВD=CD.
    ІІ. Якщо точка А не належить відрізку CD, то СА+АD<CD.
    ІІІ. Якщо відрізок CD перетинає відрізок АВ в точці О під прямим кутом і АО=ОВ, то АС=СВ.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І лише І та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В.
    І. Твердження є правильним.
    ІІ. Твердження не є правильним
    ІІІ. Твердження є правильним.
  4. Точка В належить відрізку АС. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і ВС, якщо АВ=10 см, ВС=5,2 см.
    АБВГД
    2,4 см 2,6 см 5,0 см 7,6 см 10,2 см
    Показати відповідь
    Г.

    Нехай т. К - середина АВ. Тоді КВ=АВ:2=5 см. Нехай т. М - середина ВС. Тоді ВМ=ВС:2=5,2:2=2,6 см. КМ=КВ+ВМ=5+2,6=7,6 см.
  5. На відрізку АВ вибрано точку М так, що довжина відрізка АМ утричі більша за довжину МВ. Визначте довжину відрізка АВ, якщо МВ=12 см.
    АБВГД
    48 см 36 см 24 см 42 см 54 см
    Показати відповідь
    А.

    Оскільки АМ=3⋅МВ, то АМ=3⋅12=36 см. АВ=АМ+МВ=36+12=48 см.
  6. Відрізок, довжина якого дорівнює 60 см, розділений точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.
    АБВГД
    36 см 40 см 45 см 48 см 50 см
    Показати відповідь
    В.

    Оскільки відрізок розбитий на чотири рівні частини, то довжина кожної частини 60:4=15 см. Оскільки К - середина АС, то АК=АС:2=15:2=7,5 см. Аналогічно МВ=7,5 см. Оскільки відрізок АВ складається з відрізків АК, КМ та МВ, то КМ=АВ-АК-МВ=60-7,5-7,5=45 см.
    7. Види кутів:
    1. Гострий кут, градусна міра якого менше за 90o
    2. Прямий кут, градусна міра якого дорівнює 90o
    3. Тупий кут, градусна міра якого більше за 90o і менше за 180o
    4. Розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює 180o
    5. Суміжні кути, сума яких дорівнює 180o
    6. Вертикальні кути, які рівні між собою
    7. Внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180o
    8. Внутрішні різносторонні кути, які рівні між собою
  7. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Сума двох будь-яких вертикальних кутів дорівнює 180о.
    ІІ. Сума двох будь-яких суміжних кутів дорівнює 180о.
    ІІІ. Сума будь-якого гострого кута та будь-якого тупого кута дорівнює 180о.
    АБВГД
    лише І лише ІІ лише І і ІІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ, ІІІ
    Показати відповідь
    Б.
    І. Вертикальні кути рівні. Візьмемо, наприклад, два вертикальні кути по 40о. Сума їх буде 80о. Дане твердження не є правильним.
    ІI. Дане твердження правильне.
    ІІІ. Візьмемо, наприклад, гострий кут 20о та тупий кут 100о. Їх сума 120о. Дане твердження не є правильним.
  8. На рисунку зображено трапецію АВСD. Визначте градусну міру кута ВСD, якщо ∠ADB = 35о, ∠BDC = 20о.

    АБВГД
    125о 165о 155о 145о 140о
    Показати відповідь
    А.
    Кути ADB і CBD є рівними як внутрішні різносторонні при січній BD. Тоді ∠CBD = 35о. В трикутнику CBD сума кутів 180о. Отже ∠BCD=180о-∠CBD-∠BDC=180о-35о-20о=125о.
  9. Пряма l перетинає паралельні прямі m і n (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α, якщо β=1250.

    АБВГД
    35о 45о 55о 65о 75о
    Показати відповідь
    В.
    Кут β є суміжним з кутом, який є внутрішнім різностороннім з кутом α. Даний суміжний кут дорівнює 180о-125о=55о (як суміжний кут до кута 125о). Тоді і внутрішній різносторонній з ним кут дорівнює 55о.
  10. Прямі l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    110о 50о 60о 70о 80о
    Показати відповідь
    Г.

    Кут CAB дорівнює 180о-120о=60о (як суміжний кут до кута 120о). Тоді з трикутника АВС кут ∠ACB=180о-60о-50о=70о (сума кутів у трикутнику дорівнює 180о). Кути АСВ та α рівні як вертикальні, тому кут α дорівнює 70о.
  11. На рисунку зображено прямі m і n, що перетинаються. Визначте градусну міру кута γ, якщо α+β=50о.

    АБВГД
    310о 155о 145о 140о 130о
    Показати відповідь
    Б.
    Кути α і β вертикальні, тому вони рівні. Оскільки їх сума 50о, то α=β=50о:2=25о. Кути γ і α суміжні, тому їх сума 180о і γ=180о-α=180о-25о=155о.
  12. Пряма с перетинає паралельні прямі a і b (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними для кутів 1, 2, 3?
    І. ∠1 і ∠3 — суміжні.
    ІІ. ∠1=∠2.
    ІІІ. ∠2+∠3=180о.

    АБВГД
    лише І лише І і ІІІ лише ІІІ лише І і ІІ І, ІІ, ІІІ
    Показати відповідь
    Д.
    І. Твердження правильне.
    ІІ. Твердження правильне (відповідні кути рівні)
    ІІІ. Оскільки ∠1=∠2, то ∠2+∠3=∠1+∠3. Так як ∠1 і ∠3 суміжні кути , то їх сума дійсно 180о. Твердження правильне.
  13. Усі зображені на рисунку прямі лежать в одній площині, прямі m і n є паралельними. Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    20о 50о 60о 70о 110о
    Показати відповідь
    Б.

    Оскільки ∠ВАЕ=∠АВК як внутрішні різносторонні, то ∠ВАЕ=70о. Тоді ∠САВ=∠САЕ+∠ВАЕ=60о+70о=130о. ∠САВ і ∠ВАК - суміжні кути, тому α=∠ВАК=180о-∠САВ=180о-130о=50о.
  14. Три прямі, що розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    101о 99о 81о 79о 69о
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки вертикальні кути рівні, то маємо

    Тоді кути 49о,α, 52о утворюють розгорнутий кут, який дорівнює 180о. Отже α=180о-49о-52о=79о.
  15. Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    80о 50о 90о 100о 70о
    Показати відповідь
    А.
    Оскільки вертикальні кути рівні, то маємо

    Тоді кути 60о,α, 40о утворюють розгорнутий кут, який дорівнює 180о. Отже α=180о-60о-40о=80о.
  16. Прямі k, l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    15о 25о 35о 45о 55о
    Показати відповідь
    В.

    ∠DAC=180о-140о=40о. З трикутника DAC ∠DCA=180о-40о-85о=55о. Так як ∠ACB=90о, то α=90о-∠DCA=90о-55о=35о.
  17. Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені ОА та ОВ, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь ОА) утворює кут 40o з напрямком “схід”, а друга (промінь ОВ) - кут 20o з напрямом “південь”. Який кут утворюють ці дороги між собою?

    АБВГД
    90о 100о 110о 120о 130о
    Показати відповідь
    В.
    Кут ОВ утворює з напрямком "схід" кут 90о-20о=70о. Тоді кут між ОА та ОВ дорівнює 40о+70о=110о.
  18. Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута γ, якщо α=20о, β=50о.

    АБВГД
    330о 290о 250о 160о 110о
    Показати відповідь
    Б.
    Оскільки ці три кути утворюють кут 360о, то γ=360о-α-β=360о-20о-50о=290о.
  19. Прямі АВ і СК паралельні, СВ — бісектриса кута АСК. Визначте градусну міру кута АВС, якщо ∠ВАС=52о.

    АБВГД
    38о 52о 64о 69о 128о
    Показати відповідь
    В.
    Оскільки ∠ВАС і ∠АСК внутрішні односторонні, то ∠АСК=180о-∠ВАС=180о-52о=128о. Оскільки СВ- бісектриса, то ∠ВСК=∠АСК:2=128о:2=64о. Так як ∠ВСК і ∠АВС внутрішні різносторонні, то вони рівні. Отже ∠АВС=64о.
⇐ІV.3.
Вибіркові характеристики рядів даних		 До змісту ⇒V.2.
Трикутники та їх властивості

Коментарі

Анонім каже…
Дякую всім за цікаві завдання !
17 серпня 2024 р. о 09:10
Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Дописати коментар
Read more »

Площі фігур

Площі фігур — це одна з центральних тем планіметрії, яка вимагає не лише знання формул, а й уміння бачити приховані зв'язки між елементами фігур. Розуміння того, як площа залежить від висот, кутів та радіусів описаних і вписаних кіл, дозволяє розв'язувати найскладніші задачі НМТ, де декілька фігур комбінуються в одну систему. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся застосовувати формулу Герона, знаходити площі через діагоналі та використовувати властивості подібних фігур. Тут зібрано все: від базових трикутників до складних комбінацій прямокутників із секторами та колами. Площі фігур Площа трикутника : S=0,5absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними) S=0,5ah a (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони) S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , p=(a+b+c):2 (Формула Герона) S= \frac{abc}{4R} (R-радіус описаного кола) S=pr (r-радіус вписаного кола) Площа п...
Дописати коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар