Вектори — це не просто стрілки на площині, а потужний інструмент, який об'єднує геометрію та алгебру. Вони дозволяють описувати фізичні величини, такі як сила чи швидкість, за допомогою чисел і координат. На цій сторінці ми розберемо все, що необхідно для успішного складання НМТ: від знаходження координат вектора до складних задач на скалярний добуток.
Ви опануєте ключові навички:
- Розрахунок довжини (модуля) вектора за його координатами.
- Виконання лінійних операцій: додавання за правилами трикутника та паралелограма.
- Перевірку умов перпендикулярності та колінеарності — найчастіші питання в тестах минулих років.
Нижче представлено детальний конспект із формулами та інтерактивні завдання з розв'язаннями для самоперевірки.
Дії над векторами на площині:
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
Завдання 1. Знайдіть координати вектора \vec{AB}, якщо А (-2;3), В (-8;-5).
- Координати вектора \vec{AB} знаходяться за формулою:
\vec{AB} = (xB-xA;yB-yA) - Довжина вектора \vec{a} знаходиться за формулою:
|\vec{a}| = \sqrt{x_{\vec{a}}^2+y_{\vec{a}}^2} - Додавання (віднімання) векторів:
\vec{a}\pm\vec{b} = (x\vec{a}±x\vec{b};y\vec{a}±y\vec{b}) - Множення вектора на скаляр (число):
k · \vec{a} = (kx\vec{a};ky\vec{a}) - Скалярний добуток векторів:
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|cosα, де α - кут між векторами - Скалярний добуток векторів:
\vec{a}\cdot\vec{b} = x\vec{a} · x\vec{b} + y\vec{a} · y\vec{b} - Косинус кута між векторами:cosα = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
\vec{AB} (6;8)
\vec{AB} (-10;-8)
\vec{AB} (-10;-2)
\vec{AB} (-6;-2)
\vec{AB} (-6;-8)
Показати відповідь
Д.
\vec{AB} (xB-xA;yB-yA) = (-8-(-2);-5-3) = (-8 + 2);-5-3) = (-6;-8).
Завдання 2. При якому значенні х вектори \vec{a}(2;х) і \vec{b}(-4;10) перпендикулярні?
\vec{AB} (xB-xA;yB-yA) = (-8-(-2);-5-3) = (-8 + 2);-5-3) = (-6;-8).
-5
-0,8
0,8
5
20
Показати відповідь
В.
Знайдемо скалярний добуток векторів. \vec{a}\cdot\vec{b} = 2 · (-4) + x · 10 = -8 + 10x. Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -8 + 10х = 0, звідки 10х = 8 і х = 8:10 = 0,8.
Завдання 3. На рисунку зображено квадрат ABCD. Укажіть правильну векторну рівність.
Знайдемо скалярний добуток векторів. \vec{a}\cdot\vec{b} = 2 · (-4) + x · 10 = -8 + 10x. Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -8 + 10х = 0, звідки 10х = 8 і х = 8:10 = 0,8.
\vec{AC} = \vec{AB}-\vec{AD}
\vec{AC} = \vec{AD}-\vec{AB}
\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}
\vec{AC} = -\vec{AD}-\vec{AB}
\vec{AC} = \sqrt{2}(\vec{AB} + \vec{AD})
Показати відповідь
В.
За правилом паралелограма додавання векторів \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}.
Завдання 4. Довжини перпендикулярних векторів \vec{a} і \vec{b}(див. рисунок) дорівнюють 6 і 8 відповідно. Знайдіть довжину вектора \vec{a} + \vec{b}
За правилом паралелограма додавання векторів \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}.
2
6
8
10
14
Показати відповідь
Г.
Оскільки |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}, то |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{6^2 + 0 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 (так як добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю, а квадрат вектора дорівнює квадрату його довжину).
Завдання 5. У прямокутній системі координат на площині дано вектори \vec{a}(3;4) і \vec{b}(-2;2). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Оскільки |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}, то |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{6^2 + 0 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 (так як добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю, а квадрат вектора дорівнює квадрату його довжину).
1 Довжина вектора \vec{a}
2 Сумою векторів\vec{a} і \vec{c}(-3;k) є нульовий вектор, якщо k
3 Вектори\vec{b} і \vec{d}(-4;m) колінеарні, якщо m
4 Скалярний добуток векторів \vec{a}і\vec{b}
2 Сумою векторів\vec{a} і \vec{c}(-3;k) є нульовий вектор, якщо k
3 Вектори\vec{b} і \vec{d}(-4;m) колінеарні, якщо m
4 Скалярний добуток векторів \vec{a}і\vec{b}
А дорівнює 7.
Б дорівнює 2.
В дорівнює -4.
Г дорівнює 5.
Д дорівнює 4.
Б дорівнює 2.
В дорівнює -4.
Г дорівнює 5.
Д дорівнює 4.
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-Д, 4-Б.
1) |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
2) \vec{a} + \vec{c} = (3 + (-3);4 + k) = (0;4 + k). Даний вектор дорівнює вектору (0;0) при 4 + k = 0, тобто k = -4.
3) Дані вектори колінеарні, якщо відношення їх відповідних координат рівні. Маємо -2:(-4) = 2:m. Звідси m = -4 · 2:(-2) = 4.
4) Скалярний добуток цих векторів дорівнює 3 · (-2) + 4 · 2 = -6 + 8 = 2.
Завдання 6. На рисунку зображено вектори \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} у прямокутній системі координат. Установіть відповідність між парою векторів (1-4) і твердженням (А-Д), що є правильним для цієї пари.
1) |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
2) \vec{a} + \vec{c} = (3 + (-3);4 + k) = (0;4 + k). Даний вектор дорівнює вектору (0;0) при 4 + k = 0, тобто k = -4.
3) Дані вектори колінеарні, якщо відношення їх відповідних координат рівні. Маємо -2:(-4) = 2:m. Звідси m = -4 · 2:(-2) = 4.
4) Скалярний добуток цих векторів дорівнює 3 · (-2) + 4 · 2 = -6 + 8 = 2.
1 \vec{a}і\vec{b}
2 \vec{a}і\vec{c}
3 \vec{c}і\vec{d}
4 \vec{b}і\vec{c}
2 \vec{a}і\vec{c}
3 \vec{c}і\vec{d}
4 \vec{b}і\vec{c}
А вектори перпендикулярні
Б вектори колінеарні, але не рівні
В скалярний добуток векторів більший за 0
Г вектори рівні
Д кут між векторами тупий
Б вектори колінеарні, але не рівні
В скалярний добуток векторів більший за 0
Г вектори рівні
Д кут між векторами тупий
Показати відповідь
1-В, 2-Д, 3-А, 4-Б.
1) Кут між даними векторами гострий, тому їх скалярний добуток більше за 0.
2) Кут між даними векторами тупий
3) Дані вектори перпендикулярні.
4) Дані вектори колінеарні, але оскільки вони протилежно напрямлені, то вони не рівні.
Завдання 7. У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм ABCD, cosA = 0,44. Визначте довжину діагоналі ВD, якщо скалярний добуток векторів \vec{AB}(6; -8) і \vec{AD}дорівнює 88.
1) Кут між даними векторами гострий, тому їх скалярний добуток більше за 0.
2) Кут між даними векторами тупий
3) Дані вектори перпендикулярні.
4) Дані вектори колінеарні, але оскільки вони протилежно напрямлені, то вони не рівні.
Показати відповідь
18.
Знайдемо довжину вектора \vec{AB}. |\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10. Скалярний добуток векторів \vec{AB} і \vec{AD} можна знайти за формулою \vec{AB}\cdot\vec{AD} = |\vec{AB}|\cdot|\vec{AD}|cosA. Підставимо у цю рівність відомі значення і отримаємо:88 = 10\vec{AD} · 0,44, звідки |\vec{AD}| = 88:(10 · 0,44) = 88:4,4 = 20. Тоді довжину діагоналі BD можна знайти за теоремою косинусів:
BD² = AB² + AD²-2AB · ADcosA
BD² = 10² + 20²-2 · 10 · 20 · 0,44
BD² = 100 + 400-400 · 0,44
BD² = 500-176
BD² = 324
Звідси BD = 18.
Завдання 8. У прямокутній системі координат ху на площині коло задано рівнянням х²-4х + у² + 12у = 9. Центр О цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма АВСD. Визначте координати вершини С(хC;уC), якщо вектор \vec{OA}(-1;2). У відповідь запишіть добуток хC·уC.
Знайдемо довжину вектора \vec{AB}. |\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10. Скалярний добуток векторів \vec{AB} і \vec{AD} можна знайти за формулою \vec{AB}\cdot\vec{AD} = |\vec{AB}|\cdot|\vec{AD}|cosA. Підставимо у цю рівність відомі значення і отримаємо:88 = 10\vec{AD} · 0,44, звідки |\vec{AD}| = 88:(10 · 0,44) = 88:4,4 = 20. Тоді довжину діагоналі BD можна знайти за теоремою косинусів:
BD² = AB² + AD²-2AB · ADcosA
BD² = 10² + 20²-2 · 10 · 20 · 0,44
BD² = 100 + 400-400 · 0,44
BD² = 500-176
BD² = 324
Звідси BD = 18.
Показати відповідь
-24.
Приведемо рівняння кола до канонічного:
х²-4х + у² + 12у = 9
х²-4х + 4 + у² + 12у + 36 = 9 + 4 + 36
(х-2)² + (у + 6)² = 49
Отже, координати центра кола точки О (2;-6)
Знайдемо координати точки А з формули \vec{OA}(хА-хО;уА-уО)
хА-2 = -1, звідки хА = 1
уА + 6 = 2, звідки уА = -4
Так як О - точка перетину діагоналей паралелограма, то вона ділить діагональ АС навпіл і є серединою відрізка. За формулами середини відрізка маємо:
хО = (хА + хС):2
2 = (1 + хС):2
4 = 1 + хС
хС = 3
уО = (уА + уС):2
-6 = (-4 + уС):2
-12 = -4 + уС
уС = -8
хC·уC = 3·(-8) = -24.
Завдання 9. На колі із центром О, яке задано рівнянням х² + у² = 80, вибрано точку М(х₀,у₀) так, що вектор \vec{OM} перпендикулярний до вектора \vec{a} (-2;1). Визначте абсцису х₀ точки М, якщо х₀<0.
Приведемо рівняння кола до канонічного:
х²-4х + у² + 12у = 9
х²-4х + 4 + у² + 12у + 36 = 9 + 4 + 36
(х-2)² + (у + 6)² = 49
Отже, координати центра кола точки О (2;-6)
Знайдемо координати точки А з формули \vec{OA}(хА-хО;уА-уО)
хА-2 = -1, звідки хА = 1
уА + 6 = 2, звідки уА = -4
Так як О - точка перетину діагоналей паралелограма, то вона ділить діагональ АС навпіл і є серединою відрізка. За формулами середини відрізка маємо:
хО = (хА + хС):2
2 = (1 + хС):2
4 = 1 + хС
хС = 3
уО = (уА + уС):2
-6 = (-4 + уС):2
-12 = -4 + уС
уС = -8
хC·уC = 3·(-8) = -24.
Показати відповідь
-4.
Так як точка М належить колу, то її координати повинні задовільняти рівнянню цього кола. Маємо х₀² + у₀² = 80
Координати вектора \vec{OM} дорівнюють (х₀,у₀), так як початок вектора О (0;0). Так як вектори \vec{OM} і \vec{a} перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -2х₀ + у₀ = 0, звідки у₀ = 2х₀. Підставимо цю рівність у попередню і маємо:
х₀² + (2x₀)² = 80
х₀² + 4x₀² = 80
5х₀² = 80
х₀² = 80:5
х₀² = 16
х₀ = ±4.
Так як за умовою х₀<0, то х₀ = -4.
Завдання 10. У прямокутній системі координат на площині задано вектори \vec{a}(-1;1) та \vec{b}(-1;2). Визначте значення m, за якого вектори \vec{a} + m\vec{b} та \vec{b} перпендикулярні.
Так як точка М належить колу, то її координати повинні задовільняти рівнянню цього кола. Маємо х₀² + у₀² = 80
Координати вектора \vec{OM} дорівнюють (х₀,у₀), так як початок вектора О (0;0). Так як вектори \vec{OM} і \vec{a} перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -2х₀ + у₀ = 0, звідки у₀ = 2х₀. Підставимо цю рівність у попередню і маємо:
х₀² + (2x₀)² = 80
х₀² + 4x₀² = 80
5х₀² = 80
х₀² = 80:5
х₀² = 16
х₀ = ±4.
Так як за умовою х₀<0, то х₀ = -4.
Показати відповідь
-0,6.
Знайдемо вектор \vec{a} + m\vec{b}: (-1 + m · (-1);1 + m · 2) = (-1-m;1 + 2m). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
(-1-m) · (-1) + (1 + 2m) · 2 = 0
1 + m + 2 + 4m = 0
5m = -3
m = -3:5
m = -0,6.
Завдання 11. У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори \vec{AB} та \vec{a}(4; 3). Визначте абсцису точки В, якщо А(-2;0), а точка В лежить на прямій у = 2х.
Знайдемо вектор \vec{a} + m\vec{b}: (-1 + m · (-1);1 + m · 2) = (-1-m;1 + 2m). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
(-1-m) · (-1) + (1 + 2m) · 2 = 0
1 + m + 2 + 4m = 0
5m = -3
m = -3:5
m = -0,6.
Показати відповідь
-0,8.
Нехай абсциса точки В дорівнює х. Тоді її ордината буде 2х (точка В лежить на прямій у = 2х). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-2);2x-0) = (x + 2;2x). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
(x + 2) · 4 + 2x · 3 = 0
4x + 8 + 6x = 0
10x = -8
x = -8:10
x = -0,8.
Завдання 12. У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори вектори \vec{AB} та \vec{a} (3; -5). Визначте абсцису точки В, якщо А(-4;1), а точка В лежить на прямій у = 3.
Нехай абсциса точки В дорівнює х. Тоді її ордината буде 2х (точка В лежить на прямій у = 2х). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-2);2x-0) = (x + 2;2x). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
(x + 2) · 4 + 2x · 3 = 0
4x + 8 + 6x = 0
10x = -8
x = -8:10
x = -0,8.
Показати відповідь
-5,2.
Нехай абсциса точки В дорівнює х. Її ордината буде 3 (точка В лежить на прямій у = 3). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-4);3-1) = (x + 4;2). Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: (x + 4):3 = 2:(-5). Звідси х + 4 = 2 · 3:(-5) = 6:(-5) = -1,2. Звідси х = -1,2-4 = -5,2.
Завдання 13. При якому значенні у вектори \vec{a} (-3; 5) і \vec{b} (6; у) колінеарні?
Нехай абсциса точки В дорівнює х. Її ордината буде 3 (точка В лежить на прямій у = 3). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-4);3-1) = (x + 4;2). Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: (x + 4):3 = 2:(-5). Звідси х + 4 = 2 · 3:(-5) = 6:(-5) = -1,2. Звідси х = -1,2-4 = -5,2.
Показати відповідь
-10.
Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: -3:6 = 5:y. Звідси y = 5 · 6:(-3) = 30:(-3) = -10.
Завдання 14. Визначте кут між векторами \vec{a} і \vec{b} + \vec{c}у градусах, якщо відомо, що \vec{a} (2; 2), \vec{b} (2; 4) і \vec{c} (-2;-6).
Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: -3:6 = 5:y. Звідси y = 5 · 6:(-3) = 30:(-3) = -10.
Показати відповідь
135.
Знайдемо вектор \vec{b} + \vec{c}: (2 + (-2);4 + (-6)) = (0;-2). Знайдемо довжини векторів: |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2}, |\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2. Скалярний добуток векторів дорівнює 2 · 0 + 2 · (-2) = 0-4 = -4. За формулою косинуса кута між векторами маємо: cos(\vec{a},\vec{b} + \vec{c}) = \frac{\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c})}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b} + \vec{c}|} = \frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot2} = \frac{-1}{\sqrt{2}}. Так як косинус кута від'ємний, то кут тупий і він дорівнює 180°-arccos|\frac{-1}{\sqrt{2}}| = 180°-arccos\frac{1}{\sqrt{2}} = 180°-45° = 135°.
Завдання 15. Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.
Знайдемо вектор \vec{b} + \vec{c}: (2 + (-2);4 + (-6)) = (0;-2). Знайдемо довжини векторів: |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2}, |\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2. Скалярний добуток векторів дорівнює 2 · 0 + 2 · (-2) = 0-4 = -4. За формулою косинуса кута між векторами маємо: cos(\vec{a},\vec{b} + \vec{c}) = \frac{\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c})}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b} + \vec{c}|} = \frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot2} = \frac{-1}{\sqrt{2}}. Так як косинус кута від'ємний, то кут тупий і він дорівнює 180°-arccos|\frac{-1}{\sqrt{2}}| = 180°-arccos\frac{1}{\sqrt{2}} = 180°-45° = 135°.
Показати відповідь
18.
Оскільки початок першого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (0;1), то його координати (0-4;1-3) = (-4;-2). Оскільки початок другого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (1;0), то його координати (1-4;0-3) = (-3;-3). Скалярний добуток векторів (-4) · (-3) + (-2) · (-3) = 12 + 6 = 18.
Оскільки початок першого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (0;1), то його координати (0-4;1-3) = (-4;-2). Оскільки початок другого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (1;0), то його координати (1-4;0-3) = (-3;-3). Скалярний добуток векторів (-4) · (-3) + (-2) · (-3) = 12 + 6 = 18.
Коментарі