Перейти до основного вмісту

Вектори на площині

Вектори — це не просто стрілки на площині, а потужний інструмент, який об'єднує геометрію та алгебру. Вони дозволяють описувати фізичні величини, такі як сила чи швидкість, за допомогою чисел і координат. На цій сторінці ми розберемо все, що необхідно для успішного складання НМТ: від знаходження координат вектора до складних задач на скалярний добуток.

Ви опануєте ключові навички:

  • Розрахунок довжини (модуля) вектора за його координатами.
  • Виконання лінійних операцій: додавання за правилами трикутника та паралелограма.
  • Перевірку умов перпендикулярності та колінеарності — найчастіші питання в тестах минулих років.

Нижче представлено детальний конспект із формулами та інтерактивні завдання з розв'язаннями для самоперевірки.

    Дії над векторами на площині:
    • Координати вектора \vec{AB} знаходяться за формулою:
      \vec{AB}=(xB-xA;yB-yA)
    • Довжина вектора \vec{a} знаходиться за формулою:
      |\vec{a}|=\sqrt{{x_{\vec{a}}^2+{y_{\vec{a}}^2}}
    • Додавання (віднімання) векторів:
      \vec{a}\pm\vec{b}=(x\vec{a}±x\vec{b};y\vec{a}±y\vec{b})
    • Множення вектора на скаляр (число):
      k⋅\vec{a}=(kx\vec{a};ky\vec{a})
    • Скалярний добуток векторів:
      \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|cosα, де α - кут між векторами
    • Скалярний добуток векторів:
      \vec{a}\cdot\vec{b}=x\vec{a}⋅x\vec{b}+y\vec{a}⋅y\vec{b}
    • Косинус кута між векторами:cosα=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}
    Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
    Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
  1. Знайдіть координати вектора \vec{AB}, якщо А (-2;3), В (-8;-5).
    АБВГД
    \vec{AB} (6;8) \vec{AB} (-10;-8) \vec{AB} (-10;-2) \vec{AB} (-6;-2) \vec{AB} (-6;-8)
    Показати відповідь
    Д.
    \vec{AB} (xB-xA;yB-yA)=(-8-(-2);-5-3)=(-8+2);-5-3)=(-6;-8).
  2. При якому значенні х вектори \vec{a}(2;х) і \vec{b}(-4;10) перпендикулярні?
    АБВГД
    -5 -0,8 0,8 5 20
    Показати відповідь
    В.
    Знайдемо скалярний добуток векторів. \vec{a}\cdot\vec{b}=2⋅(-4)+x⋅10=-8+10x. Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -8+10х=0, звідки 10х=8 і х=8:10=0,8.
  3. На рисунку зображено квадрат ABCD. Укажіть правильну векторну рівність.

    АБВГД
    \vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AD} \vec{AC}=\vec{AD}-\vec{AB} \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD} \vec{AC}= -\vec{AD}-\vec{AB} \vec{AC}=\sqrt{2}(\vec{AB}+\vec{AD})
    Показати відповідь
    В.
    За правилом паралелограма додавання векторів \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}.
  4. Довжини перпендикулярних векторів \vec{a} і \vec{b}(див. рисунок) дорівнюють 6 і 8 відповідно. Знайдіть довжину вектора \vec{a}+\vec{b}

    АБВГД
    2 6 8 10 14
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}, то |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})^2}=\sqrt{\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2}=\sqrt{6^2+0+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 (так як добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю, а квадрат вектора дорівнює квадрату його довжину).
  5. У прямокутній системі координат на площині дано вектори \vec{a}(3;4) і \vec{b}(-2;2). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок реченняЗакінчення речення
    1 Довжина вектора \vec{a}
    2 Сумою векторів\vec{a} і \vec{c}(-3;k) є нульовий вектор, якщо k
    3 Вектори\vec{b} і \vec{d}(-4;m) колінеарні, якщо m
    4 Скалярний добуток векторів \vec{a}і\vec{b}     		А дорівнює 7.
    Б дорівнює 2.
    В дорівнює -4.
    Г дорівнює 5.
    Д дорівнює 4.
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-Д, 4-Б.
    1) |\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
    2) \vec{a}+\vec{c}=(3+(-3);4+k)=(0;4+k). Даний вектор дорівнює вектору (0;0) при 4+k=0, тобто k= -4.
    3) Дані вектори колінеарні, якщо відношення їх відповідних координат рівні. Маємо -2:(-4)=2:m. Звідси m=-4⋅2:(-2)=4.
    4) Скалярний добуток цих векторів дорівнює 3⋅(-2)+4⋅2=-6+8=2.
  6. На рисунку зображено вектори \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} у прямокутній системі координат. Установіть відповідність між парою векторів (1-4) і твердженням (А-Д), що є правильним для цієї пари.

    ВекториТвердження
    1 \vec{a}і\vec{b}
    2 \vec{a}і\vec{c}
    3 \vec{c}і\vec{d}
    4 \vec{b}і\vec{c}    		 А вектори перпендикулярні
    Б вектори колінеарні, але не рівні
    В скалярний добуток векторів більший за 0
    Г вектори рівні
    Д кут між векторами тупий
    Показати відповідь
    1-В, 2-Д, 3-А, 4-Б.
    1) Кут між даними векторами гострий, тому їх скалярний добуток більше за 0.
    2) Кут між даними векторами тупий
    3) Дані вектори перпендикулярні.
    4) Дані вектори колінеарні, але оскільки вони протилежно напрямлені, то вони не рівні.
  7. У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм ABCD, cosA=0,44. Визначте довжину діагоналі ВD, якщо скалярний добуток векторів \vec{AB}(6; -8) і \vec{AD}дорівнює 88.
    Показати відповідь
    18.
    Знайдемо довжину вектора \vec{AB}. |\vec{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10. Скалярний добуток векторів \vec{AB} і \vec{AD} можна знайти за формулою \vec{AB}\cdot\vec{AD}=|\vec{AB}|\cdot|\vec{AD}|cosA. Підставимо у цю рівність відомі значення і отримаємо:88=10\vec{AD}⋅0,44, звідки |\vec{AD}|=88:(10⋅0,44)=88:4,4=20. Тоді довжину діагоналі BD можна знайти за теоремою косинусів:
    BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcosA
    BD2=102+202-2⋅10⋅20⋅0,44
    BD2=100+400-400⋅0,44
    BD2=500-176
    BD2=324
    Звідси BD=18.
  8. У прямокутній системі координат ху на площині коло задано рівнянням х2-4х+у2+12у=9. Центр О цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма АВСD. Визначте координати вершини С(хC;уC), якщо вектор \vec{OA}(-1;2). У відповідь запишіть добуток хC·уC.
    Показати відповідь
    -24.
    Приведемо рівняння кола до канонічного:
    х2-4х+у2+12у=9
    х2-4х+4+у2+12у+36=9+4+36
    (х-2)2+(у+6)2=49
    Отже, координати центра кола точки О (2;-6)
    Знайдемо координати точки А з формули \vec{OA}(хА-хО;уА-уО)
    хА-2=-1, звідки хА=1
    уА+6=2, звідки уА=-4
    Так як О - точка перетину діагоналей паралелограма, то вона ділить діагональ АС навпіл і є серединою відрізка. За формулами середини відрізка маємо:
    хО=(хА+хС):2
    2=(1+хС):2
    4=1+хС
    хС=3
    уО=(уА+уС):2
    -6=(-4+уС):2
    -12=-4+уС
    уС=-8
    хC·уC=3·(-8)=-24.
  9. На колі із центром О, яке задано рівнянням х2+у2=80, вибрано точку М(х0,у0) так, що вектор \vec{OM} перпендикулярний до вектора \vec{a} (-2;1). Визначте абсцису х0 точки М, якщо х0<0.
    Показати відповідь
    -4.
    Так як точка М належить колу, то її координати повинні задовільняти рівнянню цього кола. Маємо х02+у02=80
    Координати вектора \vec{OM} дорівнюють (х0,у0), так як початок вектора О (0;0). Так як вектори \vec{OM} і \vec{a} перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -2х0+у0=0, звідки у0=2х0. Підставимо цю рівність у попередню і маємо:
    х02+(2x0)2=80
    х02+4x02=80
    5х02=80
    х02=80:5
    х02=16
    х0=±4.
    Так як за умовою х0<0, то х0=-4.
  10. У прямокутній системі координат на площині задано вектори \vec{a}(-1;1) та \vec{b}(-1;2). Визначте значення m, за якого вектори \vec{a}+m\vec{b} та \vec{b} перпендикулярні.
    Показати відповідь
    -0,6.
    Знайдемо вектор \vec{a}+m\vec{b}: (-1+m⋅(-1);1+m⋅2)=(-1-m;1+2m). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
    (-1-m)⋅(-1)+(1+2m)⋅2=0
    1+m+2+4m=0
    5m=-3
    m=-3:5
    m=-0,6.
  11. У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори \vec{AB} та \vec{a}(4; 3). Визначте абсцису точки В, якщо А(-2;0), а точка В лежить на прямій у=2х.
    Показати відповідь
    -0,8.
    Нехай абсциса точки В дорівнює х. Тоді її ордината буде 2х (точка В лежить на прямій у=2х). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-2);2x-0)=(x+2;2x). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
    (x+2)⋅4+2x⋅3=0
    4x+8+6x=0
    10x= -8
    x= -8:10
    x= -0,8.
  12. У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори вектори \vec{AB} та \vec{a} (3; -5). Визначте абсцису точки В, якщо А(-4;1), а точка В лежить на прямій у=3.
    Показати відповідь
    -5,2.
    Нехай абсциса точки В дорівнює х. Її ордината буде 3 (точка В лежить на прямій у=3). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-4);3-1)=(x+4;2). Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: (x+4):3=2:(-5). Звідси х+4=2⋅3:(-5)=6:(-5)= -1,2. Звідси х= -1,2-4= -5,2.
  13. При якому значенні у вектори \vec{a} (-3; 5) і \vec{b} (6; у) колінеарні?
    Показати відповідь
    -10.
    Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: -3:6=5:y. Звідси y=5⋅6:(-3)=30:(-3)= -10.
  14. Визначте кут між векторами \vec{a} і \vec{b}+\vec{c}у градусах, якщо відомо, що \vec{a} (2; 2), \vec{b} (2; 4) і \vec{c} (-2;-6).
    Показати відповідь
    135.
    Знайдемо вектор \vec{b}+\vec{c}: (2+(-2);4+(-6))=(0;-2). Знайдемо довжини векторів: |\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2}=|\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2}, |\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2. Скалярний добуток векторів дорівнює 2⋅0+2⋅(-2)=0-4= -4. За формулою косинуса кута між векторами маємо: cos(\vec{a},\vec{b}+\vec{c})=\frac{\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}+\vec{c}|}=\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}. Так як косинус кута від'ємний, то кут тупий і він дорівнює 180o-arccos|\frac{-1}{\sqrt{2}}|=180o-arccos\frac{1}{\sqrt{2}}=180o-45o=135o.
  15. Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

    Показати відповідь
    18.
    Оскільки початок першого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (0;1), то його координати (0-4;1-3)=(-4;-2). Оскільки початок другого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (1;0), то його координати (1-4;0-3)=(-3;-3). Скалярний добуток векторів (-4)⋅(-3)+(-2)⋅(-3)=12+6=18.
⇐V.10.
Координати на площині		 До змісту ⇒V.12.
Практичні задачі

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіст...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Похідна функції

Похідна функції — один із найпотужніших інструментів математичного аналізу, який дозволяє досліджувати процеси у динаміці та знаходити оптимальні рішення. Вміння обчислювати похідні та розуміти їхній зміст є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише технічні навички роботи з формулами, а й здатність аналізувати швидкість зміни процесів. Розуміння зв'язку між знаком похідної та зростанням або спаданням функції допомагає без помилок досліджувати графіки та знаходити критичні точки. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними аспектами теми: від механічного змісту (швидкість та прискорення) до геометричного застосування при побудові дотичних. Тут зібрано все необхідне для підготовки: таблиця похідних основних функцій, правила диференціювання складних виразів та покрокові алгоритми знаходження найбільшого і найменшого значень на відрізку. Правила диференціювання (C)...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар