Знаходження параметра за умовою — це один із найпоширеніших типів задач на НМТ та ЗНО. У таких завданнях потрібно не знайти корені рівняння чи нерівності, а визначити значення параметра, за яких виконуються певні умови: рівняння має задану кількість коренів, не має розв'язків, корені належать указаному проміжку або задовольняють додаткові вимоги.
Для успішного розв'язання таких задач необхідно вміти досліджувати дискримінант, область допустимих значень, використовувати теорему Вієта, властивості функцій та аналізувати отримані корені. Нижче зібрано типові задачі НМТ і приклади минулих років із детальними покроковими поясненнями.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3ˣ + (4a² + 10a) · 3⁻ˣ = 4a + 5 не має коренів?
Показати відповідь
-2,5.
3ˣ + (4a² + 10a) · 3⁻ˣ = 4a + 5
Помножимо обидві частини рівності на 3ˣ
3²ˣ + 4a² + 10a = (4a + 5)3ˣ
Нехай 3ˣ = t. Так як 3ˣ > 0, то t > 0
t² + 4a² + 10a = (4a + 5)t
t² -(4a + 5)t + 4a² + 10a = 0
D = (4a + 5)² -4 · 1 · (4a² + 10a) = 16a² + 40a + 25 -16a² -40a = 25
t_1 = \frac{4a + 5 -\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a + 5 -5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a
t_2 = \frac{4a + 5 + \sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a + 5 + 5}{2} = \frac{4a + 10}{2} = \frac{2(2a + 5)}{2} = 2a + 5
Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t > 0, тобто при t ≤ 0.
Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞; -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку -2,5.
Завдання 2. Визначте суму всіх цілих значень a, за кожного з яких рівняння lg(2ax + 5 − a) = lg(4x) не має коренів.
3ˣ + (4a² + 10a) · 3⁻ˣ = 4a + 5
Помножимо обидві частини рівності на 3ˣ
3²ˣ + 4a² + 10a = (4a + 5)3ˣ
Нехай 3ˣ = t. Так як 3ˣ > 0, то t > 0
t² + 4a² + 10a = (4a + 5)t
t² -(4a + 5)t + 4a² + 10a = 0
D = (4a + 5)² -4 · 1 · (4a² + 10a) = 16a² + 40a + 25 -16a² -40a = 25
t_1 = \frac{4a + 5 -\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a + 5 -5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a
t_2 = \frac{4a + 5 + \sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a + 5 + 5}{2} = \frac{4a + 10}{2} = \frac{2(2a + 5)}{2} = 2a + 5
Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t > 0, тобто при t ≤ 0.
2a ≤ 0
a ≤ 0 : 2
a ≤ 0
a ≤ 0 : 2
a ≤ 0
2a + 5 ≤ 0
2a ≤ -5
a ≤ -5 : 2
a ≤ -2,5
2a ≤ -5
a ≤ -5 : 2
a ≤ -2,5
Показати відповідь
14
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки підлогарифмічний вираз завжди більше 0, маємо \begin{cases} 2ax + 5 -a> 0 \\ 4x>0 \end{cases}, звідки \begin{cases}2ax + 5 -a> 0 \\ x>0 \end{cases}.
Розв'яжемо рівняння
lg(2ax + 5 − a) = lg(4x)
2ax + 5 − a = 4x
2ax -4x = a − 5
(2a -4)x = a − 5
Якщо 2а -4 = 0, то 2а = 4, звідки а = 2. Тоді маємо рівність 0х = 2 -5, яка є неправильною, тому при а = 2 рівняння не має коренів.
Якщо 2a -4 ≠ 0, то x = \frac{a -5}{2a -4}
Знайдемо, при якому а знайдений корінь задовольняє ОДЗ.
Підставимо знайдене значення у першу нерівність системи.
2a\cdot\frac{a -5}{2a -4} + 5 -a>0
\frac{2a\cdot(a -5)}{2a -4} + \frac{(5 -a)(2a -4)}{2a -4}>0
\frac{2a\cdot(a -5) + (5 -a)(2a -4)}{2a -4}>0
\frac{2a\cdot(a -5) -(a -5)(2a -4)}{2a -4}>0
\frac{(a -5)(2a -(2a -4))}{2a -4}>0
\frac{(a -5)(2a -2a + 4))}{2a -4}>0
\frac{4(a -5)}{2a -4}>0
\frac{4(a -5)}{2(a -2)}>0
\frac{a -5}{a -2}>0
Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. a -2 ≠ 0, звідки a ≠ 2.
2. Нулі функції. а -5 = 0, звідки а = 5.
Нанесемо точки на числову пряму. Так як маємо кожен корінь по одному разу і всі коефіцієнти при змінній а додатні (1), то маємо знаки " + -+ ". Так як треба, щоб рівняння не мало коренів, то обираємо навпаки, не заштриховану область.
Тоді корінь не задовольняє першій нерівності ОДЗ, якщо a∈[2; 5].
При підстановці кореня в другу нерівність системи маємо таку ж нерівність \frac{a -5}{a -2}>0, яку тільки що розв'язували. Тому остаточно рівняння не має коренів при a∈[2; 5]. Сума цілих значень з цього проміжку 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Завдання 3. Знайдіть усі значення a, за яких рівняння \frac{x^2 -ax + 4}{x -5} = 0 має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки підлогарифмічний вираз завжди більше 0, маємо \begin{cases} 2ax + 5 -a> 0 \\ 4x>0 \end{cases}, звідки \begin{cases}2ax + 5 -a> 0 \\ x>0 \end{cases}.
Розв'яжемо рівняння
lg(2ax + 5 − a) = lg(4x)
2ax + 5 − a = 4x
2ax -4x = a − 5
(2a -4)x = a − 5
Якщо 2а -4 = 0, то 2а = 4, звідки а = 2. Тоді маємо рівність 0х = 2 -5, яка є неправильною, тому при а = 2 рівняння не має коренів.
Якщо 2a -4 ≠ 0, то x = \frac{a -5}{2a -4}
Знайдемо, при якому а знайдений корінь задовольняє ОДЗ.
Підставимо знайдене значення у першу нерівність системи.
2a\cdot\frac{a -5}{2a -4} + 5 -a>0
\frac{2a\cdot(a -5)}{2a -4} + \frac{(5 -a)(2a -4)}{2a -4}>0
\frac{2a\cdot(a -5) + (5 -a)(2a -4)}{2a -4}>0
\frac{2a\cdot(a -5) -(a -5)(2a -4)}{2a -4}>0
\frac{(a -5)(2a -(2a -4))}{2a -4}>0
\frac{(a -5)(2a -2a + 4))}{2a -4}>0
\frac{4(a -5)}{2a -4}>0
\frac{4(a -5)}{2(a -2)}>0
\frac{a -5}{a -2}>0
Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. a -2 ≠ 0, звідки a ≠ 2.
2. Нулі функції. а -5 = 0, звідки а = 5.
Нанесемо точки на числову пряму. Так як маємо кожен корінь по одному разу і всі коефіцієнти при змінній а додатні (1), то маємо знаки " + -+ ". Так як треба, щоб рівняння не мало коренів, то обираємо навпаки, не заштриховану область.
Тоді корінь не задовольняє першій нерівності ОДЗ, якщо a∈[2; 5].
При підстановці кореня в другу нерівність системи маємо таку ж нерівність \frac{a -5}{a -2}>0, яку тільки що розв'язували. Тому остаточно рівняння не має коренів при a∈[2; 5]. Сума цілих значень з цього проміжку 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Показати відповідь
-92,8
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати 0, то х -5 ≠ 0, звідси х ≠ 5.
Дріб дорівнює 0, коли чисельник дробу дорівнює 0. В чисельнику дробу знаходиться квадратний тричлен. Тоді рівняння має лише один корінь у двох випадках: якщо відповідне квадратне рівняння має лише один корінь (в такому випадку дискримінант рівняння дорівнює 0), або відповідне рівняння має два корені (дискримінант більше 0), але при цьому один з коренів є стороннім (тобто дорівнює 5).
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння x² -аx + 4 = 0
D = (-а)² -4·1·4 = а² -16.
Прирівняємо дискримінант до 0. Маємо
а² -16 = 0
а² = 16
а = ±4.
Знайдемо, при якому а корінь квадратного рівняння дорівнює 5. Для цього підставимо у рівняння замість х число 5. Маємо
5² -а ·5 + 4 = 0
25 -5a + 4 = 0
-5a = -4 -25
-5a = -29
a = -29 : (-5)
a = 5,8.
При а = 5,8 дискримінант квадратного рівняння D = 5,8² -16 > 0, отже рівняння має 2 корені, але один з них дорівнює 5.
Таким чином, дане рівняння має один корінь при а = 4, а = -4 (відповідне квадратне рівняння має 1 корінь) та а = 5,8 (квадратне рівняння має два корені, але один корінь сторонній, так як дорівнює 5, що не задовольняє ОДЗ). Добуток отриманих чисел 4 · (-4) · 5,8 = -92,8.
Завдання 4. Визначте додатне значення m, за якого один із коренів рівняння х² -(2m -4)x + 16 = 0 на 6 більший від іншого.
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати 0, то х -5 ≠ 0, звідси х ≠ 5.
Дріб дорівнює 0, коли чисельник дробу дорівнює 0. В чисельнику дробу знаходиться квадратний тричлен. Тоді рівняння має лише один корінь у двох випадках: якщо відповідне квадратне рівняння має лише один корінь (в такому випадку дискримінант рівняння дорівнює 0), або відповідне рівняння має два корені (дискримінант більше 0), але при цьому один з коренів є стороннім (тобто дорівнює 5).
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння x² -аx + 4 = 0
D = (-а)² -4·1·4 = а² -16.
Прирівняємо дискримінант до 0. Маємо
а² -16 = 0
а² = 16
а = ±4.
Знайдемо, при якому а корінь квадратного рівняння дорівнює 5. Для цього підставимо у рівняння замість х число 5. Маємо
5² -а ·5 + 4 = 0
25 -5a + 4 = 0
-5a = -4 -25
-5a = -29
a = -29 : (-5)
a = 5,8.
При а = 5,8 дискримінант квадратного рівняння D = 5,8² -16 > 0, отже рівняння має 2 корені, але один з них дорівнює 5.
Таким чином, дане рівняння має один корінь при а = 4, а = -4 (відповідне квадратне рівняння має 1 корінь) та а = 5,8 (квадратне рівняння має два корені, але один корінь сторонній, так як дорівнює 5, що не задовольняє ОДЗ). Добуток отриманих чисел 4 · (-4) · 5,8 = -92,8.
Показати відповідь
7
За теоремою Вієта для квадратного рівняння х² + bx + c = 0 є правильною система \begin{cases}x_1 + x_2 = -b,\\x_1 \cdot x_2 = c; \end{cases}
Крім того, за умовою x₂ = x₁ + 6. Підставимо цю рівність і коефіцієнти у систему:
\begin{cases}x_1 + x_1 + 6 = 2m -4,\\x_1 \cdot (x_1 + 6) = 16; \end{cases}
Розв'яжемо окремо друге рівняння.
x₁·(x₁ + 6) = 16
x₁² + 6x₁ = 16
x₁² + 6x₁ -16 = 0
D = 6² -4·1·(-16) = 36 + 64 = 100
x_1,_1 = \frac{ -6 -\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{ -6 -10}{2} = \frac{ -16}{2} = -8.
x_1,_2 = \frac{ -6 + \sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{ -6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Підставимо перше значення -8 в перше рівняння системи.
-8 -8 + 6 = 2m -4
-10 = 2m -4
2m = -10 + 4
2m = -6
m = -6 : 2
m = -3
Підставимо друге значення 2 в перше рівняння системи.
2 + 2 + 6 = 2m -4
10 = 2m -4
2m = 10 + 4
2m = 14
m = 14 : 2
m = 7
Отже, один із коренів рівняння х² -(2m -4)x + 16 = 0 на 6 більший від іншого за умови, що m = -3 та m = 7. Треба визначити додатне значення m, тому відповідь 7.
Завдання 5. Визначте кількість цілих значень a, за яких корені x₁ та x₂ квадратного рівняння х² -4ax + 4a² -25 = 0 задовольняють умову x₁ < 1 < x₂.
За теоремою Вієта для квадратного рівняння х² + bx + c = 0 є правильною система \begin{cases}x_1 + x_2 = -b,\\x_1 \cdot x_2 = c; \end{cases}
Крім того, за умовою x₂ = x₁ + 6. Підставимо цю рівність і коефіцієнти у систему:
\begin{cases}x_1 + x_1 + 6 = 2m -4,\\x_1 \cdot (x_1 + 6) = 16; \end{cases}
Розв'яжемо окремо друге рівняння.
x₁·(x₁ + 6) = 16
x₁² + 6x₁ = 16
x₁² + 6x₁ -16 = 0
D = 6² -4·1·(-16) = 36 + 64 = 100
x_1,_1 = \frac{ -6 -\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{ -6 -10}{2} = \frac{ -16}{2} = -8.
x_1,_2 = \frac{ -6 + \sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{ -6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Підставимо перше значення -8 в перше рівняння системи.
-8 -8 + 6 = 2m -4
-10 = 2m -4
2m = -10 + 4
2m = -6
m = -6 : 2
m = -3
Підставимо друге значення 2 в перше рівняння системи.
2 + 2 + 6 = 2m -4
10 = 2m -4
2m = 10 + 4
2m = 14
m = 14 : 2
m = 7
Отже, один із коренів рівняння х² -(2m -4)x + 16 = 0 на 6 більший від іншого за умови, що m = -3 та m = 7. Треба визначити додатне значення m, тому відповідь 7.
Показати відповідь
4
Розв'яжемо квадратне рівняння.
х² -4ax + 4a² -25 = 0
D = (-4a)² -4·1·(4a² -25) = 16a² -16a² + 100.
x_1 = \frac{4a -\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{4a -10}{2} = \frac{2(2a -5)}{2} = 2a -5.
x_2 = \frac{4a + \sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{4a + 10}{2} = \frac{2(2a + 5)}{2} = 2a + 5.
Підставимо отримані значення в умову для коренів і маємо систему нерівностей:
\begin{cases}2a -5\lt1,\\2a + 5>1; \end{cases}
\begin{cases}2a\lt1 + 5,\\2a>1 -5; \end{cases}
\begin{cases}2a\lt6,\\2a> -4; \end{cases}
\begin{cases}a\lt6:2,\\a> -4 : 2; \end{cases}
\begin{cases}a\lt3,\\a> -2; \end{cases} Розв'язком системи є a∈(-2; 3). На цьому проміжку є 4 цілих числа: -1; 0; 1; 2.
Розв'яжемо квадратне рівняння.
х² -4ax + 4a² -25 = 0
D = (-4a)² -4·1·(4a² -25) = 16a² -16a² + 100.
x_1 = \frac{4a -\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{4a -10}{2} = \frac{2(2a -5)}{2} = 2a -5.
x_2 = \frac{4a + \sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{4a + 10}{2} = \frac{2(2a + 5)}{2} = 2a + 5.
Підставимо отримані значення в умову для коренів і маємо систему нерівностей:
\begin{cases}2a -5\lt1,\\2a + 5>1; \end{cases}
\begin{cases}2a\lt1 + 5,\\2a>1 -5; \end{cases}
\begin{cases}2a\lt6,\\2a> -4; \end{cases}
\begin{cases}a\lt6:2,\\a> -4 : 2; \end{cases}
\begin{cases}a\lt3,\\a> -2; \end{cases} Розв'язком системи є a∈(-2; 3). На цьому проміжку є 4 цілих числа: -1; 0; 1; 2.
Завдання 6. При якому найменшому цілому значенні параметра а рівняння \sqrt{2x + 15}\cdot(\sqrt{x^2 + 18x + 81} -\sqrt{x^2 -10x + 25}) = a\sqrt{2x + 15} має лише два різні корені?
Показати відповідь
-10
Застосуємо до підкореневих виразів формулу скороченого множення. Маємо \sqrt{2x + 15}\cdot(\sqrt{(x + 9)^2} -\sqrt{(x -5)^2}) = a\sqrt{2x + 15}.
ОДЗ рівняння: 2х + 15≥0, звідки x≥ -7,5.
Перенесемо праву частину рівняння вліво і винесемо спільний множник за дужки. Маємо \sqrt{2x + 15}(\sqrt{(x + 9)^2} -\sqrt{(x -5)^2} -a) = 0. Оскільки \sqrt{x^2} = |x|, то отримаємо рівняння \sqrt{2x + 15}(|x + 9| -|x -5| -a) = 0. Оскільки добуток дорівнює 0, то або \sqrt{2x + 15} = 0, або |x + 9| -|x -5| -a = 0.
З першого рівняння маємо 2х + 15 = 0, звідки х = -7,5, що задовільняє ОДЗ. Отже, отримали перший корінь.
Розв'яжемо друге рівняння. Щоб розкрити модулі, потрібно знайти, при яких значеннях модулі обертаються в 0. х + 9 = 0, отже х = -9; х -5 = 0, отже х = 5. Оскільки перше значення виходить за межі ОДЗ (x≥ -7,5), то маємо два проміжки для розкриття модулів: [ -7,5; 5) та [5; +∞).
Розглянемо перший проміжок. При x∈[ -7,5; 5) x + 9≥0, отже розкриваємо |x + 9| не змінюючи знаків; х -5≤0, отже розкриваємо |x -5|, змінюючи знаки на протилежні. Маємо:
x + 9 -(-x + 5) = a
x + 9 + x -5 = a
2x + 4 = a
2x = a -4
x = \frac{a -4}{2}. Цей корінь повинен належати проміжку [ -7,5; 5), отже, маємо подвійну нерівність -7,5\le\frac{a -4}{2}\lt5
-7,5·2≤a -4 < 5·2
-15≤a -4 < 10
-15 + 4≤a < 10 + 4
-11≤a < 14
Розглянемо другий проміжок. При x∈[ -5; +∞) x + 9≥0, отже розкриваємо |x + 9| не змінюючи знаків; х -5≥0, отже розкриваємо |x -5| також не змінюючи знаків. Маємо:
x + 9 -(x -5) = a
x + 9 -x + 5 = a
14 = a.
Оскільки змінна зникла, то дане рівняння має безліч розв'язків, якщо а = 14 або жодного, якщо a ≠ 4. Обидва ці випадки не задовільняють умові. Отже, друге рівняння має єдиний розв'язок x = \frac{a -4}{2} при -11≤a < 14.
Знайдемо, при якому значенні а корінь першого рівняння співпадає з коренем другого рівняння, оскільки в цьому випадку рівняння матиме один корінь, а не 2. -7,5 = \frac{a -4}{2}. Звідси -15 = а -4 і а = -11. Отже, при а = -11 рівняння матиме не два різні корені, а два однакових. Тому остаточно, рівняння має два корені при -11 < a < 14 і найменшим цілим числом з цього проміжку є число -10.
Завдання 7. Знайдіть значення параметра а, при якому корінь рівняння lg(sin5\pi{x}) = \sqrt{16 + a -x} належить проміжку (\frac{3}{2}; 2).
Застосуємо до підкореневих виразів формулу скороченого множення. Маємо \sqrt{2x + 15}\cdot(\sqrt{(x + 9)^2} -\sqrt{(x -5)^2}) = a\sqrt{2x + 15}.
ОДЗ рівняння: 2х + 15≥0, звідки x≥ -7,5.
Перенесемо праву частину рівняння вліво і винесемо спільний множник за дужки. Маємо \sqrt{2x + 15}(\sqrt{(x + 9)^2} -\sqrt{(x -5)^2} -a) = 0. Оскільки \sqrt{x^2} = |x|, то отримаємо рівняння \sqrt{2x + 15}(|x + 9| -|x -5| -a) = 0. Оскільки добуток дорівнює 0, то або \sqrt{2x + 15} = 0, або |x + 9| -|x -5| -a = 0.
З першого рівняння маємо 2х + 15 = 0, звідки х = -7,5, що задовільняє ОДЗ. Отже, отримали перший корінь.
Розв'яжемо друге рівняння. Щоб розкрити модулі, потрібно знайти, при яких значеннях модулі обертаються в 0. х + 9 = 0, отже х = -9; х -5 = 0, отже х = 5. Оскільки перше значення виходить за межі ОДЗ (x≥ -7,5), то маємо два проміжки для розкриття модулів: [ -7,5; 5) та [5; +∞).
Розглянемо перший проміжок. При x∈[ -7,5; 5) x + 9≥0, отже розкриваємо |x + 9| не змінюючи знаків; х -5≤0, отже розкриваємо |x -5|, змінюючи знаки на протилежні. Маємо:
x + 9 -(-x + 5) = a
x + 9 + x -5 = a
2x + 4 = a
2x = a -4
x = \frac{a -4}{2}. Цей корінь повинен належати проміжку [ -7,5; 5), отже, маємо подвійну нерівність -7,5\le\frac{a -4}{2}\lt5
-7,5·2≤a -4 < 5·2
-15≤a -4 < 10
-15 + 4≤a < 10 + 4
-11≤a < 14
Розглянемо другий проміжок. При x∈[ -5; +∞) x + 9≥0, отже розкриваємо |x + 9| не змінюючи знаків; х -5≥0, отже розкриваємо |x -5| також не змінюючи знаків. Маємо:
x + 9 -(x -5) = a
x + 9 -x + 5 = a
14 = a.
Оскільки змінна зникла, то дане рівняння має безліч розв'язків, якщо а = 14 або жодного, якщо a ≠ 4. Обидва ці випадки не задовільняють умові. Отже, друге рівняння має єдиний розв'язок x = \frac{a -4}{2} при -11≤a < 14.
Знайдемо, при якому значенні а корінь першого рівняння співпадає з коренем другого рівняння, оскільки в цьому випадку рівняння матиме один корінь, а не 2. -7,5 = \frac{a -4}{2}. Звідси -15 = а -4 і а = -11. Отже, при а = -11 рівняння матиме не два різні корені, а два однакових. Тому остаточно, рівняння має два корені при -11 < a < 14 і найменшим цілим числом з цього проміжку є число -10.
Показати відповідь
-14,3
З правої сторони рівняння стоїть квадратний корінь, який не може бути меншим 0. Оскільки максимальне значення sin5πx дорівнює 1, то максимальне значення lg(sin5πx) дорівнює lg1, тобто 0. Отже, з лівої сторони стоїть вираз, максимальне значення якого дорівнює 0. В такому випадку рівність досягається лише за умови, що ліва та права частина рівняння дорівнює 0. Розв'яжемо відповідні рівняння
lg(sin5πx) = 0
sin5πx = 1
5πx = \frac{\pi}{2} + 2πn, n∈Z
x = \frac{\pi}{2\cdot5\pi} + \frac{2\pi{n}}{5\pi}, n∈Z
x = \frac{1}{2\cdot5} + \frac{2n}{5}, n∈Z
x = \frac{1}{10} + \frac{2n}{5}, n∈Z
Знайдемо, при якому n даний корінь потрапить у межі (\frac{3}{2}; 2). Підбираємо цілі значення n і лише при n = 4 отримаємо корінь x = \frac{1}{10} + \frac{8}{5} = \frac{1}{10} + \frac{16}{10} = \frac{17}{10}. Розв'яжемо друге рівняння. Маємо 16 + a -x = 0, звідки х = 16 + а. Підставимо замість х отриманий корінь і маємо рівняння \frac{17}{10} = 16 + а. Звідси а = \frac{17}{10} -16 = \frac{17}{10} -\frac{160}{10} = -\frac{143}{10} = -14,3.
Завдання 8. При яких значеннях параметра а рівняння \frac{(x^2 -2(a + 1)x + 6a -3)(tg\pi{x} -1)}{\sqrt[4]{49x^2 -84xa + 36a^2}} = 0 на проміжку [0; 1] має рівно 2 різні корені? З правої сторони рівняння стоїть квадратний корінь, який не може бути меншим 0. Оскільки максимальне значення sin5πx дорівнює 1, то максимальне значення lg(sin5πx) дорівнює lg1, тобто 0. Отже, з лівої сторони стоїть вираз, максимальне значення якого дорівнює 0. В такому випадку рівність досягається лише за умови, що ліва та права частина рівняння дорівнює 0. Розв'яжемо відповідні рівняння
lg(sin5πx) = 0
sin5πx = 1
5πx = \frac{\pi}{2} + 2πn, n∈Z
x = \frac{\pi}{2\cdot5\pi} + \frac{2\pi{n}}{5\pi}, n∈Z
x = \frac{1}{2\cdot5} + \frac{2n}{5}, n∈Z
x = \frac{1}{10} + \frac{2n}{5}, n∈Z
Знайдемо, при якому n даний корінь потрапить у межі (\frac{3}{2}; 2). Підбираємо цілі значення n і лише при n = 4 отримаємо корінь x = \frac{1}{10} + \frac{8}{5} = \frac{1}{10} + \frac{16}{10} = \frac{17}{10}. Розв'яжемо друге рівняння. Маємо 16 + a -x = 0, звідки х = 16 + а. Підставимо замість х отриманий корінь і маємо рівняння \frac{17}{10} = 16 + а. Звідси а = \frac{17}{10} -16 = \frac{17}{10} -\frac{160}{10} = -\frac{143}{10} = -14,3.
Показати відповідь
a\in[\frac{1}{2}; \frac{5}{8})\cup(\frac{5}{8}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1]
1. ОДЗ. 1) Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тому 49x² -84xa + 36a² ≠ 0. Застосуємо до лівої частини формулу скороченого множення і отримаємо (7x -6a)² ≠ 0, звідки 7x ≠ 6а і x ≠ \frac{6a}{7}.
2) Оскільки маємо функцію tgx, яка має обмеження, то πx ≠ \frac{\pi}{2} + \pi{n}, де n∈Z, звідки x ≠ \frac{1}{2} + {n}, де n∈Z (за умови, що корінь належить проміжку [0; 1] маємо x ≠ \frac{1}{2}.
2. Оскільки дріб дорівнює нулю, то його чисельник дорівнює 0. В чисельнику знаходиться добуток двох виразів, тому кожен з них може дорівнювати 0. Розв'яжемо окремо кожне з рівнянь.
x² -2(a + 1)x + 6a -3 = 0
D = 4(a + 1)² -4·1·(6a -3) = 4a² + 84 + 4 -24a + 12 = 4a² -16a + 16 = (2a -4)²
x_1 = \frac{2a + 2 + 2a -4}{2} = \frac{4a -2}{2} = 2a -1\\x_2 = \frac{2a + 2 -2a + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
Розв'яжемо друге рівняння. Маємо:
tgπx -1 = 0
tgπx = 1
\pi{x} = \frac{\pi}{4} + \pi{n}, де n∈Z,
x = \frac{1}{4} + n, де n∈Z.
Отже, маємо три корені: х = 2а -1, х = 3 та х = \frac{1}{4} + n, де n∈Z. Другий корінь не потрапляє в проміжок [0; 1], тому його відкидаємо.
Перший корінь потрапляє в проміжок [0; 1] за умови 0≤2a -1≤1
1≤2a≤2
\frac{1}{2}≤a≤1.
Перевіримо, за яких умов він задовільняє ОДЗ. Маємо 2а -1 ≠ \frac{6a}{7}
14a -7 ≠ 6a
8a ≠ 7
a ≠ \frac{7}{8}
2а -1 ≠ \frac{1}{2}
2а ≠ \frac{1}{2} + 1
2а ≠ \frac{3}{2}
а ≠ \frac{3}{4}. Отже, число 2а -1 є коренем і належить проміжку [0; 1]за умови a\in[\frac{1}{2}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1].
Другий корінь потрапляє в проміжок [0; 1] за умови 0≤\frac{1}{4} + n≤1. Цей корінь потрапляє в даний проміжок лише при n = 0, при цьому х = \frac{1}{4}. Перевіримо, за яких умов він задовільняє ОДЗ. Маємо \frac{1}{4}\ne\frac{6a}{7}, звідки a ≠ \frac{7}{24}.\frac{1}{4}\ne\frac{1}{2}, що виконується завжди. Отже, ці два корені існують і знаходяться на потрібному проміжку при виконанні умов: a\in[\frac{1}{2}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1] і a ≠ \frac{7}{24}. Оскільки \frac{7}{24}\lt\frac{1}{2}, то маємо просто обмеження a\in[\frac{1}{2}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1]
За умовою ми повинні мати два різних корені, тому відкинемо значення а, при яких ці два корені співпадають. Маємо:
2а -1 = \frac{1}{4}
8a -4 = 1
8a = 5
a = \frac{5}{8}. Остаточно маємо, що a\in[\frac{1}{2}; \frac{5}{8})\cup(\frac{5}{8}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1].
Завдання 9. Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система рівнянь \begin{cases}(2a -1)sinx + cosx = 2\\asinx + (2a -1)cosx = a + 1\end{cases} має безліч розв'язків.
1. ОДЗ. 1) Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тому 49x² -84xa + 36a² ≠ 0. Застосуємо до лівої частини формулу скороченого множення і отримаємо (7x -6a)² ≠ 0, звідки 7x ≠ 6а і x ≠ \frac{6a}{7}.
2) Оскільки маємо функцію tgx, яка має обмеження, то πx ≠ \frac{\pi}{2} + \pi{n}, де n∈Z, звідки x ≠ \frac{1}{2} + {n}, де n∈Z (за умови, що корінь належить проміжку [0; 1] маємо x ≠ \frac{1}{2}.
2. Оскільки дріб дорівнює нулю, то його чисельник дорівнює 0. В чисельнику знаходиться добуток двох виразів, тому кожен з них може дорівнювати 0. Розв'яжемо окремо кожне з рівнянь.
x² -2(a + 1)x + 6a -3 = 0
D = 4(a + 1)² -4·1·(6a -3) = 4a² + 84 + 4 -24a + 12 = 4a² -16a + 16 = (2a -4)²
x_1 = \frac{2a + 2 + 2a -4}{2} = \frac{4a -2}{2} = 2a -1\\x_2 = \frac{2a + 2 -2a + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
Розв'яжемо друге рівняння. Маємо:
tgπx -1 = 0
tgπx = 1
\pi{x} = \frac{\pi}{4} + \pi{n}, де n∈Z,
x = \frac{1}{4} + n, де n∈Z.
Отже, маємо три корені: х = 2а -1, х = 3 та х = \frac{1}{4} + n, де n∈Z. Другий корінь не потрапляє в проміжок [0; 1], тому його відкидаємо.
Перший корінь потрапляє в проміжок [0; 1] за умови 0≤2a -1≤1
1≤2a≤2
\frac{1}{2}≤a≤1.
Перевіримо, за яких умов він задовільняє ОДЗ. Маємо 2а -1 ≠ \frac{6a}{7}
14a -7 ≠ 6a
8a ≠ 7
a ≠ \frac{7}{8}
2а -1 ≠ \frac{1}{2}
2а ≠ \frac{1}{2} + 1
2а ≠ \frac{3}{2}
а ≠ \frac{3}{4}. Отже, число 2а -1 є коренем і належить проміжку [0; 1]за умови a\in[\frac{1}{2}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1].
Другий корінь потрапляє в проміжок [0; 1] за умови 0≤\frac{1}{4} + n≤1. Цей корінь потрапляє в даний проміжок лише при n = 0, при цьому х = \frac{1}{4}. Перевіримо, за яких умов він задовільняє ОДЗ. Маємо \frac{1}{4}\ne\frac{6a}{7}, звідки a ≠ \frac{7}{24}.\frac{1}{4}\ne\frac{1}{2}, що виконується завжди. Отже, ці два корені існують і знаходяться на потрібному проміжку при виконанні умов: a\in[\frac{1}{2}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1] і a ≠ \frac{7}{24}. Оскільки \frac{7}{24}\lt\frac{1}{2}, то маємо просто обмеження a\in[\frac{1}{2}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1]
За умовою ми повинні мати два різних корені, тому відкинемо значення а, при яких ці два корені співпадають. Маємо:
2а -1 = \frac{1}{4}
8a -4 = 1
8a = 5
a = \frac{5}{8}. Остаточно маємо, що a\in[\frac{1}{2}; \frac{5}{8})\cup(\frac{5}{8}; \frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4}; \frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8}; 1].
Показати відповідь
1,5
Помножимо перше рівняння на 2а -1, щоб мати однакові коефіцієнти біля cosx. Маємо \begin{cases}(2a -1)^2sinx + (2a -1)cosx = 2(2a -1)\\asinx + (2a -1)cosx = a + 1\end{cases}. Віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо (2a -1)²sinx -asinx = 2(2a -1) -(a + 1). Розв'яжемо це рівняння.
(4a² -4a + 1)sinx -asinx = 4a -2 -a -1
(4a² -4a + 1 -a)sinx = 3a -3
(4a² -5a + 1)sinx = 3(a -1).
Розкладемо квадратний тричлен у дужках на множники. D = 25 -16 = 9.
a_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2\cdot4} = \frac{5 + 3}{8} = 1\\a_2 = \frac{5 -\sqrt{9}}{2\cdot4} = \frac{5 -3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25. Тоді 4a² -5a + 1 = 4(а -1)(а -0,25) = (а -1)(4а -1). Маємо рівняння (а -1)(4а -1)sinx = 3(a -1). Оскільки а ≠ 1 (інакше в першому рівнянні отримали б sinx + cosx = 2, що, враховуючи область значень цих функцій, може бути лише при sinx = cosx = 1, чого не може бути, так як це суперечить основній тригонометричній тотожності), то ми можемо поділити обидві частини рівняння на а -1 ≠ 0. Маємо рівняння (4а -1)sinx = 3. Оскільки а ≠ 0,25 (інакше в першому рівнянні отримали б -0,5sinx + cosx = 2, але, враховуючи область значень цих функцій, цей вираз може мати максимальне значення -0,5·(-1) + 1 = 0,5 + 1 = 1,5), то ми можемо поділити обидві частини рівняння на 4а -1 ≠ 0. Маємо рівняння sinx = \frac{3}{4a -1}. Дане рівняння буде мати безліч коренів, якщо це значення sinx лежить в межах [ -1; 1] і задовольняє основній тригонометричній тотожності. Знайдемо з першого рівняння cosx.
(2a -1)\frac{3}{4a -1} + cosx = 2
cosx = 2 -(2a -1)\frac{3}{4a -1}
cosx = \frac{2(4a -1) -(2a -1)3}{4a -1}
cosx = \frac{8a -2 -6a + 3}{4a -1}
cosx = \frac{2a + 1}{4a -1}
Підставимо отримані значення sinx і cosx у основну тригонометричну тотожність. Маємо:
(\frac{2a + 1}{4a -1})^2 + (\frac{3}{4a -1})^2 = 1
\frac{4a^2 + 4a + 1}{16a^2 -8a + 1} + \frac{9}{16a^2 -8a + 1} = 1
\frac{4a^2 + 4a + 10}{16a^2 -8a + 1} = 1
4a² + 4a + 10 = 16a² -8a + 1
12a² -12a -9 = 0
4a² -4a -3 = 0
D = 16 + 4·12 = 16 + 48 = 64
a_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2\cdot4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = 1,5\\a_2 = \frac{4 -\sqrt{64}}{2\cdot4} = \frac{4 -8}{8} = \frac{ -4}{8} = -0,5
З цих двох чисел найбільше 1,5. Перевіримо, що при а = 1,5 значення \frac{3}{4a -1} лежить в межах [ -1; 1]. \frac{3}{4\cdot1,5 -1} = \frac{3}{6 -1} = \frac{3}{5} = 0,6. Отже, при а = 1,5 рівняння sinx = \frac{3}{4a -1} має безліч розв'язків, відповідно і система має безліч розв'язків.
Завдання 10/span>. При якому найменшому значенні а рівняння \sqrt{x -2 + 2\sqrt{x -3}} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a має хоча б один корінь?
Помножимо перше рівняння на 2а -1, щоб мати однакові коефіцієнти біля cosx. Маємо \begin{cases}(2a -1)^2sinx + (2a -1)cosx = 2(2a -1)\\asinx + (2a -1)cosx = a + 1\end{cases}. Віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо (2a -1)²sinx -asinx = 2(2a -1) -(a + 1). Розв'яжемо це рівняння.
(4a² -4a + 1)sinx -asinx = 4a -2 -a -1
(4a² -4a + 1 -a)sinx = 3a -3
(4a² -5a + 1)sinx = 3(a -1).
Розкладемо квадратний тричлен у дужках на множники. D = 25 -16 = 9.
a_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2\cdot4} = \frac{5 + 3}{8} = 1\\a_2 = \frac{5 -\sqrt{9}}{2\cdot4} = \frac{5 -3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25. Тоді 4a² -5a + 1 = 4(а -1)(а -0,25) = (а -1)(4а -1). Маємо рівняння (а -1)(4а -1)sinx = 3(a -1). Оскільки а ≠ 1 (інакше в першому рівнянні отримали б sinx + cosx = 2, що, враховуючи область значень цих функцій, може бути лише при sinx = cosx = 1, чого не може бути, так як це суперечить основній тригонометричній тотожності), то ми можемо поділити обидві частини рівняння на а -1 ≠ 0. Маємо рівняння (4а -1)sinx = 3. Оскільки а ≠ 0,25 (інакше в першому рівнянні отримали б -0,5sinx + cosx = 2, але, враховуючи область значень цих функцій, цей вираз може мати максимальне значення -0,5·(-1) + 1 = 0,5 + 1 = 1,5), то ми можемо поділити обидві частини рівняння на 4а -1 ≠ 0. Маємо рівняння sinx = \frac{3}{4a -1}. Дане рівняння буде мати безліч коренів, якщо це значення sinx лежить в межах [ -1; 1] і задовольняє основній тригонометричній тотожності. Знайдемо з першого рівняння cosx.
(2a -1)\frac{3}{4a -1} + cosx = 2
cosx = 2 -(2a -1)\frac{3}{4a -1}
cosx = \frac{2(4a -1) -(2a -1)3}{4a -1}
cosx = \frac{8a -2 -6a + 3}{4a -1}
cosx = \frac{2a + 1}{4a -1}
Підставимо отримані значення sinx і cosx у основну тригонометричну тотожність. Маємо:
(\frac{2a + 1}{4a -1})^2 + (\frac{3}{4a -1})^2 = 1
\frac{4a^2 + 4a + 1}{16a^2 -8a + 1} + \frac{9}{16a^2 -8a + 1} = 1
\frac{4a^2 + 4a + 10}{16a^2 -8a + 1} = 1
4a² + 4a + 10 = 16a² -8a + 1
12a² -12a -9 = 0
4a² -4a -3 = 0
D = 16 + 4·12 = 16 + 48 = 64
a_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2\cdot4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = 1,5\\a_2 = \frac{4 -\sqrt{64}}{2\cdot4} = \frac{4 -8}{8} = \frac{ -4}{8} = -0,5
З цих двох чисел найбільше 1,5. Перевіримо, що при а = 1,5 значення \frac{3}{4a -1} лежить в межах [ -1; 1]. \frac{3}{4\cdot1,5 -1} = \frac{3}{6 -1} = \frac{3}{5} = 0,6. Отже, при а = 1,5 рівняння sinx = \frac{3}{4a -1} має безліч розв'язків, відповідно і система має безліч розв'язків.
Показати відповідь
5,5
Перетворимо рівняння
\sqrt{x -2 + 2\sqrt{x -3}} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{x -3 + 1 + 2\sqrt{x -3}} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{(\sqrt{x -3})^2 + 2\sqrt{x -3} + 1} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{(\sqrt{x -3} + 1)^2} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
|\sqrt{x -3} + 1| + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{x -3} + 1 + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a.
Виконаємо заміну \sqrt[4]{x -3} = t, t≥0. Отримаємо рівняння t² + (14 -2a)t + 33 -6a = 0. Для того, щоб початкове рівняння мало корені, потрібно, щоб це рівняння мало хоча б один невід'ємний корінь. Знайдемо корені цього рівняння. D = (14 -2a)² -4(33 -6a) = 196 -56a + 4a² -132 + 24a = 64 -32a + 4a² = (8 -2a)²
t_1 = \frac{2a -14 + 8 -2a}{2} = \frac{ -6}{2} = -3\\t_1 = \frac{2a -14 -8 + 2a}{2} = \frac{4a -22}{2} = 2a -11.
Перший корінь не задовольняє умові. Другий буде задовольняти за умови 2a -11≥0
2a≥11
a≥5,5. Отже, мінімальне значення а = 5,5.
Завдання 11/span>. Знайдіть найменше значення а, при якому має розв’язки рівняння \frac{1}{2}(sinx + \sqrt{3}cosx) = 6 -5a -2a².
Перетворимо рівняння
\sqrt{x -2 + 2\sqrt{x -3}} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{x -3 + 1 + 2\sqrt{x -3}} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{(\sqrt{x -3})^2 + 2\sqrt{x -3} + 1} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{(\sqrt{x -3} + 1)^2} + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
|\sqrt{x -3} + 1| + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a
\sqrt{x -3} + 1 + (14 -2a)\sqrt[4]{x -3} + 32 = 6a.
Виконаємо заміну \sqrt[4]{x -3} = t, t≥0. Отримаємо рівняння t² + (14 -2a)t + 33 -6a = 0. Для того, щоб початкове рівняння мало корені, потрібно, щоб це рівняння мало хоча б один невід'ємний корінь. Знайдемо корені цього рівняння. D = (14 -2a)² -4(33 -6a) = 196 -56a + 4a² -132 + 24a = 64 -32a + 4a² = (8 -2a)²
t_1 = \frac{2a -14 + 8 -2a}{2} = \frac{ -6}{2} = -3\\t_1 = \frac{2a -14 -8 + 2a}{2} = \frac{4a -22}{2} = 2a -11.
Перший корінь не задовольняє умові. Другий буде задовольняти за умови 2a -11≥0
2a≥11
a≥5,5. Отже, мінімальне значення а = 5,5.
Показати відповідь
-3,5
Перетворимо рівняння
\frac{1}{2}(sinx + \sqrt{3}cosx) = 6 -5a -2a²
\frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx) = 6 -5a -2a²
sinxcos\frac{\pi}{3} + sin\frac{\pi}{3}cosx = 6 -5a -2a²
sin(x + \frac{\pi}{3}) = 6 -5a -2a²
Дане тригонометричне рівняння має розв'язки за умови, що права частина рівняння лежить в межах [ -1; 1]
Маємо систему \begin{cases}6 -5a -2a^2\le1\\6 -5a -2a^2\ge -1\end{cases}
\begin{cases}2a^2 + 5a -6\ge -1\\2a^2 + 5a -6\le1\end{cases}
\begin{cases}2a^2 + 5a -5\ge0\\2a^2 + 5a -7\le0\end{cases}
Розв'яжемо першу нерівність. 2a² + 5a -5 = 0. Знайдемо корені цього рівняння. D = 5² -4·2·(-5) = 25 + 40 = 65
a_1 = \frac{ -5 + \sqrt{65}}{2\cdot2} = \frac{ -5 + \sqrt{65}}{4}\\a_2 = \frac{ -5 -\sqrt{65}}{2\cdot2} = \frac{ -5 -\sqrt{65}}{4}.Оцінимо приблизно корені першої нерівності. Оскільки \sqrt{65}\approx\sqrt{64} = 8, то a₁≈(-5 + 8):4 = 0,75, a₂≈(-5 -8):4 = -3,25. Маємо малюнок Розв'яжемо другу нерівність. 2a² + 5a -7 = 0. Знайдемо корені цього рівняння. D = 5² -4·2·(-7) = 25 + 56 = 81
a_1 = \frac{ -5 + \sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{ -5 + 9}{4} = 1\\a_2 = \frac{ -5 -\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{ -5 -9}{4} = -3,5. Маємо малюнок Для знаходження розв'язку системи, нанесемо відповіді на одну координатну вісь. Найменшим значенням із спільної заштрихованої області є число -3,5.
Перетворимо рівняння
\frac{1}{2}(sinx + \sqrt{3}cosx) = 6 -5a -2a²
\frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx) = 6 -5a -2a²
sinxcos\frac{\pi}{3} + sin\frac{\pi}{3}cosx = 6 -5a -2a²
sin(x + \frac{\pi}{3}) = 6 -5a -2a²
Дане тригонометричне рівняння має розв'язки за умови, що права частина рівняння лежить в межах [ -1; 1]
Маємо систему \begin{cases}6 -5a -2a^2\le1\\6 -5a -2a^2\ge -1\end{cases}
\begin{cases}2a^2 + 5a -6\ge -1\\2a^2 + 5a -6\le1\end{cases}
\begin{cases}2a^2 + 5a -5\ge0\\2a^2 + 5a -7\le0\end{cases}
Розв'яжемо першу нерівність. 2a² + 5a -5 = 0. Знайдемо корені цього рівняння. D = 5² -4·2·(-5) = 25 + 40 = 65
a_1 = \frac{ -5 + \sqrt{65}}{2\cdot2} = \frac{ -5 + \sqrt{65}}{4}\\a_2 = \frac{ -5 -\sqrt{65}}{2\cdot2} = \frac{ -5 -\sqrt{65}}{4}.Оцінимо приблизно корені першої нерівності. Оскільки \sqrt{65}\approx\sqrt{64} = 8, то a₁≈(-5 + 8):4 = 0,75, a₂≈(-5 -8):4 = -3,25. Маємо малюнок Розв'яжемо другу нерівність. 2a² + 5a -7 = 0. Знайдемо корені цього рівняння. D = 5² -4·2·(-7) = 25 + 56 = 81
a_1 = \frac{ -5 + \sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{ -5 + 9}{4} = 1\\a_2 = \frac{ -5 -\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{ -5 -9}{4} = -3,5. Маємо малюнок Для знаходження розв'язку системи, нанесемо відповіді на одну координатну вісь. Найменшим значенням із спільної заштрихованої області є число -3,5.
Коментарі