Графічний метод розв'язування задач з параметрами — один із найнаочніших способів дослідження рівнянь і нерівностей з параметрами. Його основна ідея полягає в тому, щоб замість громіздких алгебраїчних перетворень дослідити взаємне розташування графіків функцій. Змінюючи значення параметра a, ми фактично переміщуємо або змінюємо один із графіків, після чого аналізуємо кількість і характер їхніх точок перетину.
Такий підхід особливо ефективний в задачах, де потрібно визначити значення параметра, за яких рівняння або система має єдиний корінь, два корені, безліч розв'язків або не має жодного. Часто саме графічний аналіз дозволяє побачити закономірність значно швидше, ніж традиційні алгебраїчні методи.
На цій сторінці розглянемо типові прийоми побудови графіків, використання геометричного змісту рівнянь, аналіз точок перетину та дотику, а також детально розберемо задачі НМТ і приклади минулих років із покроковими поясненнями.
Завдання 1. Знайдіть усі від’ємні значення параметра а, при яких система рівнянь \begin{cases}2\sqrt{y^2 -4y + 4} + 3|x| = 11 -y\\25x^2 -20ax = y^2 -4a^2\end{cases} має єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповіді. Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.
Показати відповідь
-8,5
Виконаємо перетворення в системі.
\begin{cases}2\sqrt{y^2 -4y + 4} + 3|x| = 11 -y\\25x^2 -20ax = y^2 -4a^2\end{cases}
\begin{cases}2\sqrt{(y -2)^2} + 3|x| = 11 -y\\25x^2 -20ax + 4a^2 = y^2\end{cases}
\begin{cases}2|y -2| + 3|x| = 11 -y\\(5x -2a)^2 = y^2\end{cases} (оскільки \sqrt{a^2} = |a|)
\begin{cases}2|y -2| + 3|x| = 11 -y\\|5x -2a| = |y|\end{cases}
Дана система має єдиний розв'язок, якщо графіки рівнянь системи мають одну точку перетину.
Побудуємо спочатку графік того рівняння, де відсутній параметр.
Для побудови графіка рівняння 2|y -2| + 3|x| = 11 -y знайдемо нулі модулів, отриманими значеннями розіб'ємо координатну площину на частини і в кожній частині розкриємо модулі, спростимо вирази і побудуємо відповідні частини графіків.
у -2 = 0, звідси у = 2; х = 0. Дані прямі розбивають координатну площину на 4 півплощини.
І. y≥2,x≥0. При даних значеннях маємо рівність 2у -4 + 3х = 11 -у, звідки 3у = 15 -3х і у = 5 -х. Отже, в тій частині координатної площини, де y≥2,x≥0 будуємо графік функції у = 5 -х
IІ. y≥2,x < 0. При даних значеннях маємо рівність 2у -4 -3х = 11 -у, звідки 3у = 15 + 3х і у = 5 + х. Отже, в тій частині координатної площини, де y≥2,x < 0 будуємо графік функції у = 5 + x
ІII. y < 2,x≥0. При даних значеннях маємо рівність -2у -4 + 3х = 11 -у, звідки -у = 7 -3х і у = -7 + 3х. Отже, в тій частині координатної площини, де y < 2,x≥0 будуємо графік функції у = -7 + 3х.
ІV. y < 2,x < 0. При даних значеннях маємо рівність -2у -4 -3х = 11 -у, звідки -у = 7 + 3х і у = -7 -3х. Отже, в тій частині координатної площини, де y < 2,x < 0 будуємо графік функції у = -7 -3х. Побудуємо графік другого рівняння. Спочатку побудуємо без параметра, тобто |5x| = |y|. Для цього достатньо побудувати лінії y = 5x та y = -5x. Маємо наступний малюнок Для того, щоб мати лише одну точку перетину побудованих графіків, почнемо рухати останній графік. Оскільки перетворення f(x -a) переміщує графік вздовж Ох, то при від'ємному (за завданням) а перемістимо графік вліво, поки не будемо мати одну точку перетину. Маємо графік: Щоб визначити коефіцієнт а, достатньо в рівняння y = 5x -2a підставити координати точки перетину (-3; 2). Маємо 2 = -15 -2а, звідки 2а = -17 і а = -8,5.
Завдання 2. Знайдіть найменше значення параметра а, при якому система \begin{cases}x^2 + y^2 = a^2\\(x -7)^2 + y^2 = 1\end{cases} має єдиний розв’язок.
Виконаємо перетворення в системі.
\begin{cases}2\sqrt{y^2 -4y + 4} + 3|x| = 11 -y\\25x^2 -20ax = y^2 -4a^2\end{cases}
\begin{cases}2\sqrt{(y -2)^2} + 3|x| = 11 -y\\25x^2 -20ax + 4a^2 = y^2\end{cases}
\begin{cases}2|y -2| + 3|x| = 11 -y\\(5x -2a)^2 = y^2\end{cases} (оскільки \sqrt{a^2} = |a|)
\begin{cases}2|y -2| + 3|x| = 11 -y\\|5x -2a| = |y|\end{cases}
Дана система має єдиний розв'язок, якщо графіки рівнянь системи мають одну точку перетину.
Побудуємо спочатку графік того рівняння, де відсутній параметр.
Для побудови графіка рівняння 2|y -2| + 3|x| = 11 -y знайдемо нулі модулів, отриманими значеннями розіб'ємо координатну площину на частини і в кожній частині розкриємо модулі, спростимо вирази і побудуємо відповідні частини графіків.
у -2 = 0, звідси у = 2; х = 0. Дані прямі розбивають координатну площину на 4 півплощини.
І. y≥2,x≥0. При даних значеннях маємо рівність 2у -4 + 3х = 11 -у, звідки 3у = 15 -3х і у = 5 -х. Отже, в тій частині координатної площини, де y≥2,x≥0 будуємо графік функції у = 5 -х
IІ. y≥2,x < 0. При даних значеннях маємо рівність 2у -4 -3х = 11 -у, звідки 3у = 15 + 3х і у = 5 + х. Отже, в тій частині координатної площини, де y≥2,x < 0 будуємо графік функції у = 5 + x
ІII. y < 2,x≥0. При даних значеннях маємо рівність -2у -4 + 3х = 11 -у, звідки -у = 7 -3х і у = -7 + 3х. Отже, в тій частині координатної площини, де y < 2,x≥0 будуємо графік функції у = -7 + 3х.
ІV. y < 2,x < 0. При даних значеннях маємо рівність -2у -4 -3х = 11 -у, звідки -у = 7 + 3х і у = -7 -3х. Отже, в тій частині координатної площини, де y < 2,x < 0 будуємо графік функції у = -7 -3х. Побудуємо графік другого рівняння. Спочатку побудуємо без параметра, тобто |5x| = |y|. Для цього достатньо побудувати лінії y = 5x та y = -5x. Маємо наступний малюнок Для того, щоб мати лише одну точку перетину побудованих графіків, почнемо рухати останній графік. Оскільки перетворення f(x -a) переміщує графік вздовж Ох, то при від'ємному (за завданням) а перемістимо графік вліво, поки не будемо мати одну точку перетину. Маємо графік: Щоб визначити коефіцієнт а, достатньо в рівняння y = 5x -2a підставити координати точки перетину (-3; 2). Маємо 2 = -15 -2а, звідки 2а = -17 і а = -8,5.
Показати відповідь
-8
Розв'яжемо дане завдання графічно. Система має єдиний розв'язок, якщо графіки ліній в системі мають єдину точку перетину (дотику). Спочатку потрібно будувати ту лінію, яка не залежить від параметра. Будуємо (x -7)² + y² = 1. Це рівняння кола з центом в точці (7; 0) та радіусом 1. Маємо малюнок. Далі наносимо другу лінію. Це рівняння кола з центром в точці (0; 0) і радіусом |a|. За малюнком бачимо, що нам підходять радіуси 6 і 8 (зовнішній і внутрішній дотик), відповідно |a| = 6 та |a| = 8, звідки a = ±6,a = ±8. Найменше значення з цих а = -8.
Завдання 3. При якому найбільшому від’ємному значенні параметра а рівняння \sqrt[4]{|x| -1} -2x = a має один корінь?
Розв'яжемо дане завдання графічно. Система має єдиний розв'язок, якщо графіки ліній в системі мають єдину точку перетину (дотику). Спочатку потрібно будувати ту лінію, яка не залежить від параметра. Будуємо (x -7)² + y² = 1. Це рівняння кола з центом в точці (7; 0) та радіусом 1. Маємо малюнок. Далі наносимо другу лінію. Це рівняння кола з центром в точці (0; 0) і радіусом |a|. За малюнком бачимо, що нам підходять радіуси 6 і 8 (зовнішній і внутрішній дотик), відповідно |a| = 6 та |a| = 8, звідки a = ±6,a = ±8. Найменше значення з цих а = -8.
Показати відповідь
-1,625
Перетворимо це рівняння.
\sqrt[4]{|x| -1} -2x = a
\sqrt[4]{|x| -1} = 2x + a
Розв'яжемо дане завдання графічно. Рівняння має єдиний корінь, якщо графіки ліній в лівій та правій частині рівняння мають одну точку перетину (дотику). Спочатку потрібно будувати ту лінію, яка не залежить від параметра. Будуємо \sqrt[4]{|x| -1}. Будуємо графік кореня четвертого степеня (\sqrt[4]{x}). Перенесемо побудований графік на 1 одиницю праворуч (\sqrt[4]{x -1}). Побудуємо в лівій частині координатної площини лінію, симетричну даній відносно осі Оу (\sqrt[4]{|x| -1}). Далі будуємо лінію у = 2х + а. Це лінія у = 2х, перенесена на а одиниць уздовж осі Оу. Будуємо у = 2х. Оскільки потрібно найбільше від'ємне значення а, то переміщуємо пряму вниз до першої точки дотику чи перетину з побудованим графіком кореня. Маємо такий малюнок. З'ясуємо, при якому а маємо такий випадок. За малюнком видно, що у = 2х + а є дотичною. Оскільки кутовий коефіцієнт прямої дорівнює 2 (коефіцієнт біля х), то потрібно знайти точку, в якій кутовий коефіцієнт дотичної до графіка кореня дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної в точці дотику. Знайдемо похідну функції. Оскільки за малюнком розглядаємо перетин при додатному х, то можна спростити, замінивши |x| на х. y^{'} = (\sqrt[4]{|x| -1})^{'} = (\sqrt[4]{x -1})^{'} = ((x -1)^{\frac{1}{4}})^{'} = \frac{1}{4}(x -1)^{\frac{ -3}{4}}. Прирівняємо отримане значення до 2. Маємо рівняння \frac{1}{4}(x -1)^{\frac{ -3}{4}} = 2
(x -1)^{\frac{ -3}{4}} = 8
(x -1)^{\frac{ -1}{4}} = 2
(x -1)^{\frac{1}{4}} = 0,5
х -1 = 0,0625
х = 1,0625.
Знайдемо у в точці дотику.\sqrt[4]{1,0625 -1} = \sqrt[4]{0,0625} = 0,5. Отже, спільна точка прямої та графіка кореня (1,0625; 0,5). Тоді координати цієї точки задовольняють рівнянню прямої.
0,5 = 2·1,0625 + a
0,5 = 2,125 + a
a = 0,5 -2,125
a = -1,625.
Перетворимо це рівняння.
\sqrt[4]{|x| -1} -2x = a
\sqrt[4]{|x| -1} = 2x + a
Розв'яжемо дане завдання графічно. Рівняння має єдиний корінь, якщо графіки ліній в лівій та правій частині рівняння мають одну точку перетину (дотику). Спочатку потрібно будувати ту лінію, яка не залежить від параметра. Будуємо \sqrt[4]{|x| -1}. Будуємо графік кореня четвертого степеня (\sqrt[4]{x}). Перенесемо побудований графік на 1 одиницю праворуч (\sqrt[4]{x -1}). Побудуємо в лівій частині координатної площини лінію, симетричну даній відносно осі Оу (\sqrt[4]{|x| -1}). Далі будуємо лінію у = 2х + а. Це лінія у = 2х, перенесена на а одиниць уздовж осі Оу. Будуємо у = 2х. Оскільки потрібно найбільше від'ємне значення а, то переміщуємо пряму вниз до першої точки дотику чи перетину з побудованим графіком кореня. Маємо такий малюнок. З'ясуємо, при якому а маємо такий випадок. За малюнком видно, що у = 2х + а є дотичною. Оскільки кутовий коефіцієнт прямої дорівнює 2 (коефіцієнт біля х), то потрібно знайти точку, в якій кутовий коефіцієнт дотичної до графіка кореня дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної в точці дотику. Знайдемо похідну функції. Оскільки за малюнком розглядаємо перетин при додатному х, то можна спростити, замінивши |x| на х. y^{'} = (\sqrt[4]{|x| -1})^{'} = (\sqrt[4]{x -1})^{'} = ((x -1)^{\frac{1}{4}})^{'} = \frac{1}{4}(x -1)^{\frac{ -3}{4}}. Прирівняємо отримане значення до 2. Маємо рівняння \frac{1}{4}(x -1)^{\frac{ -3}{4}} = 2
(x -1)^{\frac{ -3}{4}} = 8
(x -1)^{\frac{ -1}{4}} = 2
(x -1)^{\frac{1}{4}} = 0,5
х -1 = 0,0625
х = 1,0625.
Знайдемо у в точці дотику.\sqrt[4]{1,0625 -1} = \sqrt[4]{0,0625} = 0,5. Отже, спільна точка прямої та графіка кореня (1,0625; 0,5). Тоді координати цієї точки задовольняють рівнянню прямої.
0,5 = 2·1,0625 + a
0,5 = 2,125 + a
a = 0,5 -2,125
a = -1,625.
Коментарі