Раціональні числа — це одна з найважливіших тем шкільної математики. Уміння виконувати обчислення з дробами, порівнювати їх і застосовувати властивості степенів та логарифмів є необхідним для успішного складання НМТ.
На цій сторінці зібрано практичні завдання різних типів: на обчислення числових виразів, порівняння дробів, роботу зі степенями й логарифмами, округлення чисел та визначення значень виразів. До кожного завдання наведено детальне розв'язання, що допоможе швидко повторити теорію та закріпити необхідні навички.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщоm = -\frac{4}{3}1|𝑚 − 4|
24m−1
3(3𝑚 + 1)⁰
24m−1
3(3𝑚 + 1)⁰
А–3
Б1
В0
Г3
Д\frac{16}{3}
Б1
В0
Г3
Д\frac{16}{3}
Показати відповідь
1-Д, 2-А, 3-Б.
1.|-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3}
2.4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3(при зміні знака степеня дріб перевертається)
3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені дорівнює 1.
Завдання 2. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10−27кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів.
1.|-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3}
2.4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3(при зміні знака степеня дріб перевертається)
3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені дорівнює 1.
167 ∙ 10−25
1,67 ∙ 10−25
1,67 ∙ 10−29
1,67 ∙ 10−2700
1,67 ∙ 1025
Показати відповідь
Б. 100 ∙ 1,67 ∙ 10−27= 1,67 ∙ 100 ∙ 10−27= 1,67 ∙ 10²∙ 10−27= 1,67 ∙ 102 + (-27)= 1,67 ∙ 10−25(використали властивість множення степенів з однаковими основами).
Завдання 3. Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо а = 3.
1 a-1
2 a⁰
3sin(πa)
2 a⁰
3sin(πa)
Ає раціональним числом, що не є цілим
Бє натуральним числом
Вє цілим від’ємним числом
Гє ірраціональним числом
Ддорівнює 0
Бє натуральним числом
Вє цілим від’ємним числом
Гє ірраціональним числом
Ддорівнює 0
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Д. 1.3^{- 1} = \frac{1}{3}. Дріб є раціональним числом, що не є цілим.
2. 3⁰= 1. 1 є натуральним числом.
3. sin(3π) = sin(3π - 2π) = sinπ = 0 (використали властивість періодичності функції sinx).
Завдання 4. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу(\frac{1}{4})^{-2}.
2. 3⁰= 1. 1 є натуральним числом.
3. sin(3π) = sin(3π - 2π) = sinπ = 0 (використали властивість періодичності функції sinx).
(-∞; -10]
(-10; 0]
(0; 1]
(1; 10]
(10; +∞)
Показати відповідь
Д.(\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16.Дане число належить проміжку (10; +∞).
Завдання 5. Обчисліть(\frac{1}{7}\cdot\sqrt[3]{7})^3.
27
\frac{1}{7}
1
\frac{1}{49}
49
Показати відповідь
Г.(\frac{1}{7}\cdot\sqrt[3]{7})^3 = \frac{1^3}{7^3}\cdot(\sqrt[3]{7})^3 = \frac{1}{7\cdot7\cdot7}\cdot 7 = \frac{7}{7\cdot7\cdot7} = \frac{1}{7\cdot7} = \frac{1}{49}.
Завдання 6. Доберіть до числового виразу (1-3) рівний йому за значенням вираз (А-Д).
1\frac{1}{\sqrt{10}-3}
2|3-\sqrt{10}|
3log5125
2|3-\sqrt{10}|
3log5125
А\sqrt{10}-3
Б3-\sqrt{10}
В\sqrt{10}+3
Г 3
Д 25
Б3-\sqrt{10}
В\sqrt{10}+3
Г 3
Д 25
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Г. 1.\frac{1}{\sqrt{10}-3} = \frac{1\cdot(\sqrt{10}+3)}{(\sqrt{10}-3)\cdot(\sqrt{10}+3)} = \frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10})^2-3^2} = \frac{\sqrt{10}+3}{10-9} = \sqrt{10}+3(для звільнення від ірраціональності у знаменнику треба і чисельник і знаменник домножити на вираз, який дозволить застосувати формулу скороченого множення).
2. Так як3-\sqrt{10} \lt0 , то |3-\sqrt{10}| = - 3 + \sqrt{10} = \sqrt{10} - 3(модуль від'ємного числа дорівнює числу, протилежному до даного).
3. Так як 5³= 125, то за означенням логарифма log5125 = 3.
2. Так як3-\sqrt{10} \lt0 , то |3-\sqrt{10}| = - 3 + \sqrt{10} = \sqrt{10} - 3(модуль від'ємного числа дорівнює числу, протилежному до даного).
3. Так як 5³= 125, то за означенням логарифма log5125 = 3.
Завдання 7. (\frac{1}{3})^{-2} =
-9
-\frac{1}{9}
-\frac{1}{6}
\frac{1}{9}
9
Показати відповідь
Д.(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9(якщо прибрати мінус в степені дріб перевертається).
Правила порівняння звичайних дробів:
1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше:\frac{4}{7}\gt\frac{3}{7};
2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше:\frac{6}{13}\gt\frac{6}{17};
3. Неправильний дріб завжди більше правильного\frac{7}{4}\gt\frac{4}{7};
4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1.
Завдання 8. Розташуйте в порядку зростання числа\frac{5}{17}, \frac{5}{18}, \frac{6}{17}.
1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше:\frac{4}{7}\gt\frac{3}{7};
2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше:\frac{6}{13}\gt\frac{6}{17};
3. Неправильний дріб завжди більше правильного\frac{7}{4}\gt\frac{4}{7};
4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1.
\frac{5}{17}, \frac{5}{18}, \frac{6}{17}
\frac{5}{18}, \frac{5}{17}, \frac{6}{17}
\frac{6}{17}, \frac{5}{17}, \frac{5}{18}
\frac{5}{18}, \frac{6}{17}, \frac{5}{17}
\frac{5}{17}, \frac{6}{17}, \frac{5}{18}
Показати відповідь
Б. Так як серед двох дробів з однаковими чисельниками більше той, у якого знаменник менше, то\frac{5}{18}\lt\frac{5}{17}. Оскільки з двох дробів з однаковими знаменниками більше той, у якого більше чисельник, то\frac{5}{17}\lt\frac{6}{17}.Тоді ми маємо наступну послідовність нерівностей\frac{5}{18} \lt\frac{5}{17}\lt\frac{6}{17}.
Завдання 9. Визначте кількість усіх дробів із знаменником 28, які більші за\frac{4}{7}, але менші від\frac{3}{4}.
шість
чотири
три
два
один
Показати відповідь
Б. За умовою можемо записати, що\frac{4}{7}\lt\frac{x}{28}\lt\frac{3}{4}. Для порівняння дробів потрібно звести їх до спільного знаменника. Маємо\frac{16}{28}\lt\frac{x}{28}\lt\frac{21}{28}. Тоді чисельник шуканого дробу задовольняє нерівності 16 < x < 21. Отже х може приймати лише 4 значення: 17, 18, 19, 20.
Завдання 10. Укажіть правильну подвійну нерівність, якщо а = 0,5-1, b = 0,2, c = log0,25.
c<b<a
b<c<a
a<c<b
c<a<b
b<a<c
Показати відповідь
А. а = 0,5-1= 1 : 0,5 = 2. Так як у логарифма числа знаходяться по різні боки від 1, то його значення є від'ємним числом. Тому маємо log0,25 < 0,2 < 2, тобто c < b < a.
Завдання 11. Обчисліть значення виразу 3(а - 1), якщо а = 0,7.
-0,9
1,1
5,1
-0,6
2,7
Показати відповідь
А. 3 · (a - 1) = 3 · (0,7 - 1) = 3 · (-0,3) = -0,9.
Завдання 12. \frac{1}{3} \cdot 5+4=
4\frac{1}{15}
3
5\frac{2}{3}
19
27
Показати відповідь
В.\frac{1}{3}\cdot 5+4=\frac{5}{3}+4=1\frac{2}{3}+4=5\frac{2}{3}.
Завдання 13. Обчисліть\frac{1}{3}\cdot5,8+\frac{1}{3}\cdot8,3.
3,7
4,07
4,7
4,9
47
Показати відповідь
В. Винесемо спільний множник за дужки\frac{1}{3}\cdot5,8+\frac{1}{3}\cdot8,3=\frac{1}{3}(5,8+8,3)=\frac{1}{3}\cdot14,1=14,1:3=4,7.
Завдання 33. Обчисліть3\frac{5}{12}+\frac{7}{8}.
3\frac{12}{20}
\frac{17}{8}
\frac{22}{20}
3\frac{7}{24}
4\frac{7}{24}
Показати відповідь
Д. Зведемо дробові частини до спільного знаменника.3\frac{5}{12}+\frac{7}{8}=3\frac{5\cdot2+7\cdot3}{24}=3\frac{31}{24}=4\frac{7}{24}.
Завдання 14. (0,3)² · 10⁴ =
600
900
6000
9000
3⁶
Показати відповідь
Б. (0,3)² · 10⁴= 0,09 · 10000 = 900.
Завдання 15. Запишіть число\frac{8}{3}у вигляді десяткового дробу, округливши його до десятих.
2,6
2,66
2,67
2,7
8,3
Показати відповідь
Г. Щоб записати звичайний дріб у вигляді десяткового, треба чисельник дробу поділити на знаменник в стовпчик. 8 : 3 = 2,666…. Якщо округлювати до десятих, то відкидаємо всі цифри, починаючи з другої після коми, а оскільки перша з відкинутих (цифра 6) більше числа 5, то цифру десятих збільшуємо на 1. Маємо 2,666 ≈ 2,7.
Завдання 16. Установіть відповідність між виразом (1–3) і твердженням про його значення (А – Д), яке є правильним, якщо a =-2\frac{1}{3}.
1a²
2a+|a|
3log55a
2a+|a|
3log55a
Абільше від 5
Бналежить проміжку (0;1)
Вє від’ємним числом
Гналежить проміжку [1;5)
Ддорівнює 0
Бналежить проміжку (0;1)
Вє від’ємним числом
Гналежить проміжку [1;5)
Ддорівнює 0
Показати відповідь
1-А, 2-Д, 3-В. 1)a^2=(-2\frac{1}{3})^2=(\frac{-7}{3})^2=\frac{49}{9}=5\frac{4}{9}.Дане число більше від 5.
2) a + |a| = а - а = 0 (так як а менше 0, то |a|= -a).
3) log55a= alog55 = a. Дане число є від'ємним числом.
Завдання 17. Установіть відповідність між виразом (1-3) та тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а — довільне від’ємне число.
2) a + |a| = а - а = 0 (так як а менше 0, то |a|= -a).
3) log55a= alog55 = a. Дане число є від'ємним числом.
1а⁰
2|a| + a
3alog₂2a
2|a| + a
3alog₂2a
А 0
Б 2а
В а²
Г 1
Д -2а
Б 2а
В а²
Г 1
Д -2а
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-В. 1) а⁰= 1.
2) |a| + a = - а + а = 0 (так як а — довільне від’ємне число, то |a|= -a).
3) alog₂2a= a · а · log₂2 = а · а · 1 = а².
Завдання 18. На координатній осі х вибрано точку з координатою а так, як зображено на рисунку. Установіть відповідність між виразом (1-3) та точкою на осі х (А-Д), координата якої дорівнює значенню цього виразу.
2) |a| + a = - а + а = 0 (так як а — довільне від’ємне число, то |a|= -a).
3) alog₂2a= a · а · log₂2 = а · а · 1 = а².
1-2а
23a
3|a-1|
23a
3|a-1|
А M
Б L
В P
Г K
Д N
Б L
В P
Г K
Д N
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-А. За малюнком маємо 0,5 < a < 1.
1) -2 · 0,5 > -2 · a > -2 · 1 (при множенні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний), звідки -2 < -2a < -1. Маємо точку К.
2) 30,5< 3a< 31, звідки 1,7 < 3a< 3. Маємо точку Р (точка N знаходиться близько до 1).
3) 0,5 - 1 < a-1 < 1 - 1, звідки -0,5 < a-1 < 0. Тоді за модулем цей вираз менше за 0,5, але більше за 0. Маємо точку М.
1) -2 · 0,5 > -2 · a > -2 · 1 (при множенні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний), звідки -2 < -2a < -1. Маємо точку К.
2) 30,5< 3a< 31, звідки 1,7 < 3a< 3. Маємо точку Р (точка N знаходиться близько до 1).
3) 0,5 - 1 < a-1 < 1 - 1, звідки -0,5 < a-1 < 0. Тоді за модулем цей вираз менше за 0,5, але більше за 0. Маємо точку М.
Дії зі степенями
ab· ac= ab + c
ab: ac= ab - c
(ab)c= ab · c
(a)-n= 1:an
Завдання 19. Установіть відповідність між числовим виразом (1-4) та його значенням (А-Д).
ab· ac= ab + c
ab: ac= ab - c
(ab)c= ab · c
(a)-n= 1:an
116^{\frac{1}{2}}
2(\frac{1}{4})^{-2}
3(2³)²
423,5·21,5
2(\frac{1}{4})^{-2}
3(2³)²
423,5·21,5
А 4
Б 8
В 16
Г 32
Д 64
Б 8
В 16
Г 32
Д 64
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г. 1)16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4.
2)(\frac{1}{4})^{-2}=4^2=16.
3) (2³)²= 8²= 64.
4) 23,5 + 1,5= 2⁵= 32.
Завдання 20. Установіть відповідність між виразом (1-4) та проміжком (А-Д), якому належить значення цього виразу, якщо а=2,4.
2)(\frac{1}{4})^{-2}=4^2=16.
3) (2³)²= 8²= 64.
4) 23,5 + 1,5= 2⁵= 32.
1 а+4
2 4-а
3 2а-2
4 \frac{12}{a}
2 4-а
3 2а-2
4 \frac{12}{a}
А (0;2)
Б (2;4)
В (4;6)
Г (6;8)
Д (8;12)
Б (2;4)
В (4;6)
Г (6;8)
Д (8;12)
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В. 1) 2,4 + 4 = 6,4.
2) 4 - 2,4 = 1,6.
3) 2 · 2,4 - 2 = 4,8 - 2 = 2,8.
4) 12 : 2,4 = 120 : 24 = 5.
Завдання 21. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
2) 4 - 2,4 = 1,6.
3) 2 · 2,4 - 2 = 4,8 - 2 = 2,8.
4) 12 : 2,4 = 120 : 24 = 5.
1 Сума чисел 32 і 18
2 Добуток чисел 32 і 18
3 Частка чисел 32 і 18
4 Різниця чисел 32 і 18
2 Добуток чисел 32 і 18
3 Частка чисел 32 і 18
4 Різниця чисел 32 і 18
А є квадратом натурального числа
Б є числом, що ділиться націло на 10
В є найменшим спільним кратним чисел 32 і 18
Г є раціональним числом, яке не є цілим
Д є дільником числа 84
Б є числом, що ділиться націло на 10
В є найменшим спільним кратним чисел 32 і 18
Г є раціональним числом, яке не є цілим
Д є дільником числа 84
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Г, 4-Д. 1) 32 + 18 = 50 (50 ділиться націло на 10).
2) 32 · 18 = 32 · 9 · 2 = 64 · 9 (є квадратом натурального числа).
3) 32 націло на 18 не ділиться, тому частка не є цілим числом.
4) 32 - 18 = 14 (є дільником числа 84 (84 : 14 = 6)).
Завдання 22. Установіть відповідність між виразом (1-4) та твердженням про його значення (А-Д) при а=15.
2) 32 · 18 = 32 · 9 · 2 = 64 · 9 (є квадратом натурального числа).
3) 32 націло на 18 не ділиться, тому частка не є цілим числом.
4) 32 - 18 = 14 (є дільником числа 84 (84 : 14 = 6)).
1\frac{7}{3}a
22a-1
3a²+ 12a + 36
4a²- 13²
22a-1
3a²+ 12a + 36
4a²- 13²
А менше за 20
Б є простим числом
В є парним
Г ділиться націло на 3
Д ділиться націло на 5
Б є простим числом
В є парним
Г ділиться націло на 3
Д ділиться націло на 5
Показати відповідь
1-Д, 2-Б, 3-Г, 4-В. 1) 7 : 3 · 15 = 15 : 3 · 7 = 35 (ділиться націло на 5).
2) 2 · 15 - 1 = 29 (є простим числом).
3) У третьому і четвертому раціональніше спочатку застосувати формули скороченого множення. a²+ 12a + 36 = (a + 6)²= 21²(ділиться націло на 3).
4) 15²- 13²= (15 - 13)(15 + 13) = 2 · 28 (є парним).
2) 2 · 15 - 1 = 29 (є простим числом).
3) У третьому і четвертому раціональніше спочатку застосувати формули скороченого множення. a²+ 12a + 36 = (a + 6)²= 21²(ділиться націло на 3).
4) 15²- 13²= (15 - 13)(15 + 13) = 2 · 28 (є парним).
Коментарі