Раціональні числа — це одна з найважливіших тем шкільної математики. Уміння виконувати обчислення з дробами, порівнювати їх і застосовувати властивості степенів та логарифмів є необхідним для успішного складання НМТ.
На цій сторінці зібрано практичні завдання різних типів: на обчислення числових виразів, порівняння дробів, роботу зі степенями й логарифмами, округлення чисел та визначення значень виразів. До кожного завдання наведено детальне розв'язання, що допоможе швидко повторити теорію та закріпити необхідні навички.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -43.1|𝑚 − 4|
24m⁻¹
3(3𝑚 + 1)⁰
24m⁻¹
3(3𝑚 + 1)⁰
А–3
Б1
В0
Г3
Д163
Б1
В0
Г3
Д163
Показати відповідь
1-Д, 2-А, 3-Б.
1. |-43 - 4| = |-43 - 123| = |-4-123| = |-163| = 163.
2. 4 ∙ (-43)⁻¹ = 4 ∙ (-34) = - 3 (при зміні знака степеня дріб перевертається)
3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені дорівнює 1.
Завдання 2. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10⁻²⁷ кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів.
1. |-43 - 4| = |-43 - 123| = |-4-123| = |-163| = 163.
2. 4 ∙ (-43)⁻¹ = 4 ∙ (-34) = - 3 (при зміні знака степеня дріб перевертається)
3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені дорівнює 1.
167 ∙ 10⁻²⁵
1,67 ∙ 10⁻²⁵
1,67 ∙ 10⁻²⁹
1,67 ∙ 10⁻²⁷⁰⁰
1,67 ∙ 10²⁵
Показати відповідь
Б. 100 ∙ 1,67 ∙ 10⁻²⁷ = 1,67 ∙ 100 ∙ 10⁻²⁷ = 1,67 ∙ 10²∙ 10⁻²⁷ = 1,67 ∙ 10²⁻²⁷ = 1,67 ∙ 10⁻²⁵ (використали властивість множення степенів з однаковими основами).
Завдання 3. Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо а = 3.
1 a⁻¹
2 a⁰
3sin(πa)
2 a⁰
3sin(πa)
Ає раціональним числом, що не є цілим
Бє натуральним числом
Вє цілим від’ємним числом
Гє ірраціональним числом
Ддорівнює 0
Бє натуральним числом
Вє цілим від’ємним числом
Гє ірраціональним числом
Ддорівнює 0
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Д. 1. 3⁻¹ = 13. Дріб є раціональним числом, що не є цілим.
2. 3⁰= 1. 1 є натуральним числом.
3. sin(3π) = sin(3π - 2π) = sinπ = 0 (використали властивість періодичності функції sinx).
Завдання 4. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу (14)⁻².
2. 3⁰= 1. 1 є натуральним числом.
3. sin(3π) = sin(3π - 2π) = sinπ = 0 (використали властивість періодичності функції sinx).
(-∞; -10]
(-10; 0]
(0; 1]
(1; 10]
(10; +∞)
Показати відповідь
Д. (14)⁻² = 4² = 16. Дане число належить проміжку (10; +∞).
Завдання 5. (13)⁻² =
-9
-19
-16
19
9
Показати відповідь
Д. (13)⁻² = 3² = 9 (при зміні знака показника степеня дріб перевертається).
Правила порівняння звичайних дробів:
1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше: 47 > 37;
2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше:613 > 617;
3. Неправильний дріб завжди більше за правильний: 74 > 47;
4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1.
Завдання 6. Розташуйте в порядку зростання числа 517, 518, 617.
1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше: 47 > 37;
2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше:613 > 617;
3. Неправильний дріб завжди більше за правильний: 74 > 47;
4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1.
517, 518, 617
518, 517, 617
617, 517, 518
518, 617, 517
517, 617, 518
Показати відповідь
Б. Так як серед двох дробів з однаковими чисельниками більше той, у якого знаменник менше, то 518 < 517. Оскільки з двох дробів з однаковими знаменниками більше той, у якого більше чисельник, то 517 < 617. Тоді ми маємо наступну послідовність нерівностей 518 < 517 < 617.
Завдання 7. Визначте кількість усіх дробів із знаменником 28, які більші за 47, але менші від 34.
шість
чотири
три
два
один
Показати відповідь
Б. За умовою можемо записати, що 47 < x28 < 34. Для порівняння дробів потрібно звести їх до спільного знаменника. Маємо 1628 < x28 < 2128. Тоді чисельник шуканого дробу задовольняє нерівності 16 < x < 21. Отже х може приймати лише 4 значення: 17, 18, 19, 20.
Завдання 8. Укажіть правильну подвійну нерівність, якщо а = 0,5⁻¹, b = 0,2, c = log0,25.
c<b<a
b<c<a
a<c<b
c<a<b
b<a<c
Показати відповідь
А. а = 0,5⁻¹ = 1 : 0,5 = 2. Так як у логарифма числа знаходяться по різні боки від 1, то його значення є від'ємним числом. Тому маємо log0,25 < 0,2 < 2, тобто c < b < a.
Завдання 9. Обчисліть значення виразу 3(а - 1), якщо а = 0,7.
-0,9
1,1
5,1
-0,6
2,7
Показати відповідь
А. 3 · (a - 1) = 3 · (0,7 - 1) = 3 · (-0,3) = -0,9.
Завдання 10. 13 · 5 + 4 =
4115
3
523
19
27
Показати відповідь
В. 13 · 5 + 4 = 53 + 4 = 123 + 4 = 523.
Завдання 11. Обчисліть 13 · 5,8 + 13 · 8,3.
3,7
4,07
4,7
4,9
47
Показати відповідь
В. Винесемо спільний множник за дужки 13 · 5,8 + 13 · 8,3 = 13 · (5,8 + 8,3) = 13 · 14,1 = 14,1 : 3 = 4,7.
Завдання 12. Обчисліть 3512 + 78.
31220
178
2220
3724
4724
Показати відповідь
Д. Зведемо дробові частини до спільного знаменника. 3512 + 78 = 31024 + 2124 = 310 + 2124 = 33124 = 4724.
Завдання 13. (0,3)² · 10⁴ =
600
900
6000
9000
3⁶
Показати відповідь
Б. (0,3)² · 10⁴= 0,09 · 10000 = 900.
Завдання 14. Запишіть число 83 у вигляді десяткового дробу, округливши його до десятих.
2,6
2,66
2,67
2,7
8,3
Показати відповідь
Г. Щоб записати звичайний дріб у вигляді десяткового, треба чисельник дробу поділити на знаменник в стовпчик. 8 : 3 = 2,666…. Якщо округлювати до десятих, то відкидаємо всі цифри, починаючи з другої після коми, а оскільки перша з відкинутих цифр (6) більше за 5, то цифру десятих збільшуємо на 1. Маємо 2,666 ≈ 2,7.
Завдання 15. Установіть відповідність між виразом (1–3) і твердженням про його значення (А – Д), яке є правильним, якщо a = -213.
1a²
2a+|a|
3log₅5ᵃ
2a+|a|
3log₅5ᵃ
А більше від 5
Б належить проміжку (0;1)
В є від’ємним числом
Г належить проміжку [1;5)
Д дорівнює 0
Б належить проміжку (0;1)
В є від’ємним числом
Г належить проміжку [1;5)
Д дорівнює 0
Показати відповідь
1-А, 2-Д, 3-В. 1) a² = (-213)² = (-73)² = 499 = 549. Дане число більше від 5.
2) a + |a| = а - а = 0 (так як а менше 0, то |a|= -a).
3) log₅5ᵃ = alog₅5 = a. Дане число є від'ємним числом.
Завдання 16. Установіть відповідність між виразом (1-3) та тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а — довільне від’ємне число.
2) a + |a| = а - а = 0 (так як а менше 0, то |a|= -a).
3) log₅5ᵃ = alog₅5 = a. Дане число є від'ємним числом.
1 а⁰
2 |a| + a
3 alog₂2ᵃ
2 |a| + a
3 alog₂2ᵃ
А 0
Б 2а
В а²
Г 1
Д -2а
Б 2а
В а²
Г 1
Д -2а
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-В. 1) а⁰= 1.
2) |a| + a = - а + а = 0 (так як а — довільне від’ємне число, то |a|= -a).
3) alog₂2ᵃ = a · а · log₂2 = а · а · 1 = а².
Завдання 17. На координатній осі х вибрано точку з координатою а так, як зображено на рисунку. Установіть відповідність між виразом (1-3) та точкою на осі х (А-Д), координата якої дорівнює значенню цього виразу.
2) |a| + a = - а + а = 0 (так як а — довільне від’ємне число, то |a|= -a).
3) alog₂2ᵃ = a · а · log₂2 = а · а · 1 = а².
1 -2а
2 3ᵃ
3 |a-1|
2 3ᵃ
3 |a-1|
А M
Б L
В P
Г K
Д N
Б L
В P
Г K
Д N
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-А. За малюнком маємо 0,5 < a < 1.
1) -2 · 0,5 > -2 · a > -2 · 1 (при множенні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний), звідки -2 < -2a < -1. Маємо точку К.
2) 30,5 < 3ᵃ < 3¹, звідки 1,7 < 3ᵃ < 3. Маємо точку Р (точка N знаходиться близько до 1).
3) 0,5 - 1 < a-1 < 1 - 1, звідки -0,5 < a-1 < 0. Тоді за модулем цей вираз менше за 0,5, але більше за 0. Маємо точку М.
1) -2 · 0,5 > -2 · a > -2 · 1 (при множенні на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний), звідки -2 < -2a < -1. Маємо точку К.
2) 30,5 < 3ᵃ < 3¹, звідки 1,7 < 3ᵃ < 3. Маємо точку Р (точка N знаходиться близько до 1).
3) 0,5 - 1 < a-1 < 1 - 1, звідки -0,5 < a-1 < 0. Тоді за модулем цей вираз менше за 0,5, але більше за 0. Маємо точку М.
Дії зі степенями
aᵇ · aᶜ = aᵇ⁺ᶜ
aᵇ : aᶜ = aᵇ⁻ᶜ
(aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ
(a)⁻ⁿ = 1 : aⁿ
Завдання 18. Установіть відповідність між числовим виразом (1-4) та його значенням (А-Д).
aᵇ · aᶜ = aᵇ⁺ᶜ
aᵇ : aᶜ = aᵇ⁻ᶜ
(aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ
(a)⁻ⁿ = 1 : aⁿ
1 1612
2 (14)⁻²
3 (2³)²
4 23,5 · 21,5
2 (14)⁻²
3 (2³)²
4 23,5 · 21,5
А 4
Б 8
В 16
Г 32
Д 64
Б 8
В 16
Г 32
Д 64
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г. 1) 1612 = √16 = 4.
2) (14)⁻² = 4² = 16.
3) (2³)²= 8²= 64.
4) 23,5 + 1,5= 2⁵= 32.
Завдання 19. Установіть відповідність між виразом (1-4) та проміжком (А-Д), якому належить значення цього виразу, якщо а=2,4.
2) (14)⁻² = 4² = 16.
3) (2³)²= 8²= 64.
4) 23,5 + 1,5= 2⁵= 32.
1 а+4
2 4-а
3 2а-2
4 12a
2 4-а
3 2а-2
4 12a
А (0;2)
Б (2;4)
В (4;6)
Г (6;8)
Д (8;12)
Б (2;4)
В (4;6)
Г (6;8)
Д (8;12)
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В. 1) 2,4 + 4 = 6,4.
2) 4 - 2,4 = 1,6.
3) 2 · 2,4 - 2 = 4,8 - 2 = 2,8.
4) 12 : 2,4 = 120 : 24 = 5.
Завдання 20. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
2) 4 - 2,4 = 1,6.
3) 2 · 2,4 - 2 = 4,8 - 2 = 2,8.
4) 12 : 2,4 = 120 : 24 = 5.
1 Сума чисел 32 і 18
2 Добуток чисел 32 і 18
3 Частка чисел 32 і 18
4 Різниця чисел 32 і 18
2 Добуток чисел 32 і 18
3 Частка чисел 32 і 18
4 Різниця чисел 32 і 18
А є квадратом натурального числа
Б є числом, що ділиться націло на 10
В є найменшим спільним кратним чисел 32 і 18
Г є раціональним числом, яке не є цілим
Д є дільником числа 84
Б є числом, що ділиться націло на 10
В є найменшим спільним кратним чисел 32 і 18
Г є раціональним числом, яке не є цілим
Д є дільником числа 84
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Г, 4-Д. 1) 32 + 18 = 50 (50 ділиться націло на 10).
2) 32 · 18 = 32 · 9 · 2 = 64 · 9 (є квадратом натурального числа).
3) 32 націло на 18 не ділиться, тому частка не є цілим числом.
4) 32 - 18 = 14 (є дільником числа 84 (84 : 14 = 6)).
Завдання 21. Установіть відповідність між виразом (1-4) та твердженням про його значення (А-Д) при а=15.
2) 32 · 18 = 32 · 9 · 2 = 64 · 9 (є квадратом натурального числа).
3) 32 націло на 18 не ділиться, тому частка не є цілим числом.
4) 32 - 18 = 14 (є дільником числа 84 (84 : 14 = 6)).
1 73a
2 2a-1
3 a²+ 12a + 36
4 a²- 13²
2 2a-1
3 a²+ 12a + 36
4 a²- 13²
А менше за 20
Б є простим числом
В є парним
Г ділиться націло на 3
Д ділиться націло на 5
Б є простим числом
В є парним
Г ділиться націло на 3
Д ділиться націло на 5
Показати відповідь
1-Д, 2-Б, 3-Г, 4-В. 1) 7 : 3 · 15 = 15 : 3 · 7 = 35 (ділиться націло на 5).
2) 2 · 15 - 1 = 29 (є простим числом).
3) У третьому і четвертому раціональніше спочатку застосувати формули скороченого множення. a²+ 12a + 36 = (a + 6)²= 21² (ділиться націло на 3).
4) 15²- 13²= (15 - 13)(15 + 13) = 2 · 28 (є парним).
2) 2 · 15 - 1 = 29 (є простим числом).
3) У третьому і четвертому раціональніше спочатку застосувати формули скороченого множення. a²+ 12a + 36 = (a + 6)²= 21² (ділиться націло на 3).
4) 15²- 13²= (15 - 13)(15 + 13) = 2 · 28 (є парним).
Коментарі