Ірраціональні числа — це числа, які неможливо подати у вигляді звичайного дробу. До них належать, зокрема, число π та корені з чисел, що не є точними степенями. Уміння працювати з ірраціональними числами, порівнювати їх і виконувати обчислення є важливою складовою підготовки до НМТ.
На цій сторінці зібрано практичні завдання на порівняння ірраціональних чисел, оцінювання значень коренів, визначення числових проміжків, роботу з виразами, що містять корені, а також розпізнавання різних числових множин. До кожного завдання наведено детальне розв'язання, яке допоможе зрозуміти основні прийоми та уникати типових помилок.
Завдання 1. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу.1 \frac{\pi}{3}
2sin(\frac{7\pi}{2})
3 πcos 90°
2sin(\frac{7\pi}{2})
3 πcos 90°
Ає ірраціональним числом
Бє натуральним числом
Вє цілим від’ємним числом
Гє раціональним числом, що не є цілим
Ддорівнює 0
Бє натуральним числом
Вє цілим від’ємним числом
Гє раціональним числом, що не є цілим
Ддорівнює 0
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Б. 1. Є ірраціональним числом.
2.sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1(використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом.
3. πcos 90°= π⁰= 1. 1 є натуральним числом.
2.sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1(використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом.
3. πcos 90°= π⁰= 1. 1 є натуральним числом.
Завдання 2. Скільки всього цілих чисел містить інтервал (\sqrt{8};\sqrt{81})?
8
7
6
5
4
Показати відповідь
В. Так як 4 < 8 < 9, то\sqrt{4}\lt\sqrt{8}\lt\sqrt{9}, звідки2\lt\sqrt{8}\lt3.\sqrt{81} = 9. Отже, ми повинні порахувати цілі числа, які більше за 2 та менше за 9. Маємо числа 3, 4, 5, 6, 7, 8. Їх 6.
Порівняння ірраціональних чисел:
1. Якщо корені одного степеня, то більше той корінь, підкореневе значення якого більше.
2. Якщо корені різного степеня, то звести до одного степеня і порівняти.
3. Якщо одне з чисел не ірраціональне, то записати у вигляді відповідного кореня.
Завдання 3. Запишіть числа\sqrt[3]{2},1,\sqrt[5]{3}в порядку зростання.
1. Якщо корені одного степеня, то більше той корінь, підкореневе значення якого більше.
2. Якщо корені різного степеня, то звести до одного степеня і порівняти.
3. Якщо одне з чисел не ірраціональне, то записати у вигляді відповідного кореня.
1,\sqrt[3]{2},\sqrt[5]{3}
1,\sqrt[5]{3},\sqrt[3]{2}
\sqrt[3]{2},\sqrt[5]{3},1
\sqrt[5]{3},1,\sqrt[3]{2}
\sqrt[3]{2},1,\sqrt[5]{3}
Показати відповідь
Б. Щоб порівняти корені різного степеня, потрібно їх звести до одного. Маємо\sqrt[3]{2}=\sqrt[3\cdot5]{2^5}=\sqrt[15]{32}, 1=\sqrt[15]{1}, \sqrt[5]{3}=\sqrt[5\cdot3]{3^3}=\sqrt[15]{27}. Корінь 15 степеня є зростаючою функцією, тому чим більше аргумент функції, тим більше і її значення. Маємо\sqrt[15]{1}\lt\sqrt[15]{27}\lt\sqrt[15]{32}, а тому і1\lt\sqrt[5]{3}\lt\sqrt[3]{2}.
Завдання 4. Укажіть правильну нерівність, якщоa=5\sqrt{2},b=7,c=\sqrt{51}.
b<a<c
a<b<c
c<a<b
a<c<b
b<c<a
Показати відповідь
А. Щоб порівняти вирази з коренями, потрібно їх звести до одного типу. Маємоa=5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{50}, b=7=\sqrt{49}. Функція √x є зростаючою функцією, тому чим більше аргумент функції, тим більше і її значення. Маємо\sqrt{49}\lt\sqrt{50}\lt\sqrt{51}, а тому b < a < c.
Завдання 5. Якому проміжку належить число\sqrt[3]{18}?
[0;1)
[1;2)
[2;3)
[3;4)
[4;+∞)
Показати відповідь
В. Обмежимо 18 найближчими кубами чисел. Так як 8 < 18 < 27, то\sqrt[3]{8}\lt\sqrt[3]{18}\lt\sqrt[3]{27}, звідки 2\lt\sqrt[3]{18}\lt3.
Завдання 6. Якому проміжку належить значення виразу\frac{-1+\sqrt{27}}{2}?
(-∞;0)
[0;1)
[1;2)
[2;3)
[3;+∞)
Показати відповідь
Г. Оцінимо значення квадратного кореня з 27. Для цього обмежимо його квадратами чисел. Так як 25 < 27 < 36, то\sqrt{25}\lt\sqrt{27}\lt\sqrt{36}, звідки5\lt\sqrt{27}\lt6
-1+5\lt-1+\sqrt{27}\lt-1+6
4\lt-1+\sqrt{27}\lt5
\frac{4}{2}\lt\frac{-1+\sqrt{27}}{2}\lt\frac{5}{2}
2\lt\frac{-1+\sqrt{27}}{2}\lt2,5
Отже значення виразу належить проміжку [2;3).
-1+5\lt-1+\sqrt{27}\lt-1+6
4\lt-1+\sqrt{27}\lt5
\frac{4}{2}\lt\frac{-1+\sqrt{27}}{2}\lt\frac{5}{2}
2\lt\frac{-1+\sqrt{27}}{2}\lt2,5
Отже значення виразу належить проміжку [2;3).
Види чисел:
Натуральні:це ті числа, які використовуються при лічбі.
Цілі:це натуральні, протилежні їм та число 0 (тобто додатні та від’ємні).
Раціональні:це ті числа, які можна записати дробом.
Ірраціональні:не можна записати дробом (наприклад π; корені, які не обчислюються).
Дійсні числа:це всі числа.
Парні:числа, що поділяються на 2.
Непарні:числа, що не поділяються на 2.
Прості:діляться лише на 1 та на себе.
Складені:числа, що діляться не лише на 1 та на себе.
Завдання 7. Яке з наведених чисел є раціональним числом?
Натуральні:це ті числа, які використовуються при лічбі.
Цілі:це натуральні, протилежні їм та число 0 (тобто додатні та від’ємні).
Раціональні:це ті числа, які можна записати дробом.
Ірраціональні:не можна записати дробом (наприклад π; корені, які не обчислюються).
Дійсні числа:це всі числа.
Парні:числа, що поділяються на 2.
Непарні:числа, що не поділяються на 2.
Прості:діляться лише на 1 та на себе.
Складені:числа, що діляться не лише на 1 та на себе.
\sqrt[3]{9}
\sqrt{10}
π
\sqrt{3,6}
\sqrt{0,64}
Показати відповідь
Д.\sqrt{0,64} =0,8. 0,8 є раціональним числом.
Завдання 8. \sqrt{(-2)^2}+\sqrt[3]{(-3)^3}=
-23
-5
-1
1
5
Показати відповідь
В. І спосіб.\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[3]{(-3)^3}=|-2| + (-3) = 2 - 3 = -1 (скориставшись формулами\sqrt{a^2}=|a|, \sqrt[3]{a^3}=a).
ІІ спосіб.\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[3]{(-3)^3}=\sqrt{4}+\sqrt[3]{-27}= 2 - 3 = -1.
Завдання 9. Увідповідніть вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо х =\sqrt{5}-1.
ІІ спосіб.\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[3]{(-3)^3}=\sqrt{4}+\sqrt[3]{-27}= 2 - 3 = -1.
1|x-\sqrt{5}|
2 (\sqrt{5}+1)x
3x²+ 2x + 1
2 (\sqrt{5}+1)x
3x²+ 2x + 1
А-1
Б1
В4
Г5
Д6
Б1
В4
Г5
Д6
Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-Г. 1)|x-\sqrt{5}| = |\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|= |-1| = 1.
2)(\sqrt{5}+1)x = (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)= 5 - 1 = 4.
3) перш ніж підставляти, використаємо формулу скороченого множення x²+ 2x + 1 = (x + 1)²=(\sqrt{5}-1+1)^2 = (\sqrt{5})^2=5.
Завдання 10.Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо a = 4,5.
2)(\sqrt{5}+1)x = (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)= 5 - 1 = 4.
3) перш ніж підставляти, використаємо формулу скороченого множення x²+ 2x + 1 = (x + 1)²=(\sqrt{5}-1+1)^2 = (\sqrt{5})^2=5.
1a – 2,7
2\sqrt[3]{3,5-a}
3log5a
2\sqrt[3]{3,5-a}
3log5a
А(–2; 0)
Б(0; 1)
В(1; 2)
Г(2; 3)
Д(3; 5)
Б(0; 1)
В(1; 2)
Г(2; 3)
Д(3; 5)
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Б. 1) 4,5 - 2,7 = 1,8. 1,8 ∈ (1; 2).
2)\sqrt[3]{3,5-a}=\sqrt[3]{3,5-4,5}=\sqrt[3]{-1}= -1.-1 ∈ (-2; 0).
3) log5a = log54,5. Обмежимо 4,5 числами, з яких легко можна порахувати логарифм з основою 5. Так як 1 < 4,5 < 5 і основа логарифма 5 більша за 1, то log51 < log54,5 < log55, звідки 0 < log54,5 < 1.
Завдання 11. Установіть відповідність між числовим виразом (1-4) та його значенням (А-Д).
2)\sqrt[3]{3,5-a}=\sqrt[3]{3,5-4,5}=\sqrt[3]{-1}= -1.-1 ∈ (-2; 0).
3) log5a = log54,5. Обмежимо 4,5 числами, з яких легко можна порахувати логарифм з основою 5. Так як 1 < 4,5 < 5 і основа логарифма 5 більша за 1, то log51 < log54,5 < log55, звідки 0 < log54,5 < 1.
1є правильним
2належить проміжку (1;1,5)
3дорівнює значенню виразу 7log₇1,6
4є сумою чисел\sqrt[3]{\frac{1}{8}}та\sqrt{\frac{25}{9}}
2належить проміжку (1;1,5)
3дорівнює значенню виразу 7log₇1,6
4є сумою чисел\sqrt[3]{\frac{1}{8}}та\sqrt{\frac{25}{9}}
А\frac{13}{6}
Б\frac{3}{5}
В\frac{13}{5}
Г\frac{8}{5}
Д\frac{6}{5}
Б\frac{3}{5}
В\frac{13}{5}
Г\frac{8}{5}
Д\frac{6}{5}
Показати відповідь
1-Б, 2-Д, 3-Г, 4-А. 1) Дріб правильний, якщо його чисельник менше за знаменник. Це дріб\frac{3}{5}.
2)\frac{6}{5}=\frac{12}{10}=1,2. Так як 1,2 більше за 1 та менше за 1,5, то даний дріб належить проміжку (1;1,5).
3) 7log₇1,6= 1,6 =\frac{16}{10}=\frac{8}{5}.
4)\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}=\frac{1\cdot3+5\cdot2}{2\cdot3}=\frac{13}{6}.
Завдання 12. Установіть відповідність між числом (1-4) та множиною, до якої воно належить (А-Д).
2)\frac{6}{5}=\frac{12}{10}=1,2. Так як 1,2 більше за 1 та менше за 1,5, то даний дріб належить проміжку (1;1,5).
3) 7log₇1,6= 1,6 =\frac{16}{10}=\frac{8}{5}.
4)\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}=\frac{1\cdot3+5\cdot2}{2\cdot3}=\frac{13}{6}.
1 -8
2 23
3 \sqrt{16}
4 1,7
2 23
3 \sqrt{16}
4 1,7
А множина парних натуральних чисел
Б множина цілих чисел, що не є натуральними числами
В множина раціональних чисел, що не є цілими числами
Г множина ірраціональних чисел
Д множина простих чисел
Б множина цілих чисел, що не є натуральними числами
В множина раціональних чисел, що не є цілими числами
Г множина ірраціональних чисел
Д множина простих чисел
Показати відповідь
1- Б, 2-Д, 3-А, 4-В. 1) -8 є цілим числом. Так як воно від'ємне, то не може бути натуральним.
2) 23 ділиться тільки на себе та на 1, тому воно є простим.
3)\sqrt{16}=4, дане ціле число ділиться на 2, тому є парним натуральним числом.
4) 1,7 є десятковим дробом, тому воно належить до раціональних чисел, що не є цілими числами.
Завдання 13. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо а=-3.
2) 23 ділиться тільки на себе та на 1, тому воно є простим.
3)\sqrt{16}=4, дане ціле число ділиться на 2, тому є парним натуральним числом.
4) 1,7 є десятковим дробом, тому воно належить до раціональних чисел, що не є цілими числами.
1Значення виразу а⁰
2Значення виразу а²
3Значення виразу\frac{|a|}{a}
4Значення виразу\sqrt[3]{a}
2Значення виразу а²
3Значення виразу\frac{|a|}{a}
4Значення виразу\sqrt[3]{a}
А більше за 1
Б дорівнює 1
В дорівнює 0
Г дорівнює -1
Д менше за -1
Б дорівнює 1
В дорівнює 0
Г дорівнює -1
Д менше за -1
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Г, 4-Д. 1) (-3)⁰= 1.
2) (-3)²= 9 (більше за 1).
3)\frac{|-3|}{-3}=\frac{3}{-3}=-1.
4)\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}\lt-1.
2) (-3)²= 9 (більше за 1).
3)\frac{|-3|}{-3}=\frac{3}{-3}=-1.
4)\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}\lt-1.
Коментарі