Ірраціональні числа — це числа, які неможливо подати у вигляді звичайного дробу. До них належать, зокрема, число π та корені з чисел, що не є точними степенями. Уміння працювати з ірраціональними числами, порівнювати їх і виконувати обчислення є важливою складовою підготовки до НМТ.
На цій сторінці зібрано практичні завдання на порівняння ірраціональних чисел, оцінювання значень коренів, визначення числових проміжків, роботу з виразами, що містять корені, а також розпізнавання різних числових множин. До кожного завдання наведено детальне розв'язання, яке допоможе зрозуміти основні прийоми та уникати типових помилок.
Завдання 1. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу.1 π3
2 sin(7π2)
3 πcos 90°
2 sin(7π2)
3 πcos 90°
А є ірраціональним числом
Б є натуральним числом
В є цілим від’ємним числом
Г є раціональним числом, що не є цілим
Д дорівнює 0
Б є натуральним числом
В є цілим від’ємним числом
Г є раціональним числом, що не є цілим
Д дорівнює 0
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Б. 1. Є ірраціональним числом.
2. sin(7π2) = sin(7π2 - 2π) = sin(7π2 - 4π2) = sin(3π2) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом.
3. πcos 90°= π⁰= 1. 1 є натуральним числом.
2. sin(7π2) = sin(7π2 - 2π) = sin(7π2 - 4π2) = sin(3π2) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом.
3. πcos 90°= π⁰= 1. 1 є натуральним числом.
Завдання 2. Скільки всього цілих чисел містить інтервал (√8; √81)?
8
7
6
5
4
Показати відповідь
В. Так як 4 < 8 < 9, то √4 < √8 < √9, тому 2 < √8 < 3. √81 = 9. Отже, ми повинні порахувати цілі числа, які більше за 2 та менше за 9. Маємо числа 3, 4, 5, 6, 7, 8. Їх 6.
Порівняння ірраціональних чисел:
1. Якщо корені одного степеня, то більше той корінь, підкореневе значення якого більше.
2. Якщо корені різного степеня, то звести до одного степеня і порівняти.
3. Якщо одне з чисел не ірраціональне, то записати у вигляді відповідного кореня.
Завдання 3. Запишіть числа 3√2, 1, 5√3 в порядку зростання.
1. Якщо корені одного степеня, то більше той корінь, підкореневе значення якого більше.
2. Якщо корені різного степеня, то звести до одного степеня і порівняти.
3. Якщо одне з чисел не ірраціональне, то записати у вигляді відповідного кореня.
1, 3√2, 5√3
1, 5√3, 3√2
3√2, 5√3, 1
5√3, 1, 3√2
3√2, 1, 5√3
Показати відповідь
Б. Щоб порівняти корені різного степеня, потрібно їх звести до одного. Маємо
3√2 = 3·5√2⁵ = 15√32, 1 = 15√1, 5√3 = 5·3√3³ = 15√27. Функція 15√x є зростаючою, тому чим більше аргумент функції, тим більше і її значення. Маємо 15√1 < 15√27 < 15√32, тому 1 < 5√3 < 3√2.
Завдання 4. Укажіть правильну нерівність, якщо a = 5√2, b = 7, c = √51.
b<a<c
a<b<c
c<a<b
a<c<b
b<c<a
Показати відповідь
А. Щоб порівняти вирази з коренями, потрібно їх звести до квадратних коренів. Маємо a = 5√2 = √25 · 2 = √50, b = 7 = √49. Функція √x є зростаючою функцією, тому чим більше аргумент функції, тим більше і її значення. Маємо √49 < √50 < √51, тому b < a < c.
Завдання 5. Якому проміжку належить число 3√18?
[0;1)
[1;2)
[2;3)
[3;4)
[4;+∞)
Показати відповідь
В. Обмежимо 18 найближчими кубами чисел. Так як 8 < 18 < 27, то 3√8 < 3√18 < 3√27, тому 2 < 3√18 < 3.
Завдання 6. Якому проміжку належить значення виразу -1 + √272?
(-∞;0)
[0;1)
[1;2)
[2;3)
[3;+∞)
Показати відповідь
Г. Оцінимо √27. Так як 25 < 27 < 36, то √25 < √27 < √36, тому 5 < √27 < 6
-1 + 5 < -1 + √27 < -1 + 6
4 < -1 + √27 < 5
42 < -1 + √272 < 52
2 < -1 + √272 < 2,5
Отже значення виразу належить проміжку [2;3).
-1 + 5 < -1 + √27 < -1 + 6
4 < -1 + √27 < 5
42 < -1 + √272 < 52
2 < -1 + √272 < 2,5
Отже значення виразу належить проміжку [2;3).
Види чисел:
Натуральні:це ті числа, які використовуються для лічби предметів.
Цілі:це натуральні, протилежні їм та число 0 (тобто додатні та від’ємні).
Раціональні:це ті числа, які можна записати у вигляді дробу ab, де a і b — цілі числа, b ≠ 0.
Ірраціональні:не можна записати дробом (наприклад π; корені, які не обчислюються).
Дійсні числа:це всі числа.
Парні:числа, що поділяються на 2.
Непарні:числа, що не поділяються на 2.
Прості:діляться лише на 1 та на себе.
Складені:числа, що діляться не лише на 1 та на себе.
Завдання 7. Яке з наведених чисел є раціональним числом?
Натуральні:це ті числа, які використовуються для лічби предметів.
Цілі:це натуральні, протилежні їм та число 0 (тобто додатні та від’ємні).
Раціональні:це ті числа, які можна записати у вигляді дробу ab, де a і b — цілі числа, b ≠ 0.
Ірраціональні:не можна записати дробом (наприклад π; корені, які не обчислюються).
Дійсні числа:це всі числа.
Парні:числа, що поділяються на 2.
Непарні:числа, що не поділяються на 2.
Прості:діляться лише на 1 та на себе.
Складені:числа, що діляться не лише на 1 та на себе.
∛9
√10
π
√3,6
√0,64
Показати відповідь
Д. √0,64 = 0,8. 0,8 є раціональним числом.
Завдання 8. √(-2)² + 3√(-3)³ =
-23
-5
-1
1
5
Показати відповідь
В. І спосіб. √(-2)² + 3√(-3)³ = |-2| + (-3) = 2 - 3 = -1 (скориставшись формулами √a² = |a|, 3√a³ = a).
ІІ спосіб. √(-2)² + 3√(-3)³ = √4 + 3√-27 = 2 - 3 = -1.
Завдання 9. Обчисліть (17 · ∛7)³.
ІІ спосіб. √(-2)² + 3√(-3)³ = √4 + 3√-27 = 2 - 3 = -1.
27
17
1
149
49
Показати відповідь
Г. (17 · ∛7)³ = 1³7³ · (∛7)³ = 17 · 7 · 7 · 7 = 17 · 7 = 149.
Завдання 10. Увідповідніть вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо х = √5 - 1.
1 |x - √5|
2 (√5 + 1)x
3 x²+ 2x + 1
2 (√5 + 1)x
3 x²+ 2x + 1
А -1
Б 1
В 4
Г 5
Д 6
Б 1
В 4
Г 5
Д 6
Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-Г. 1) |x - √5| = |√5 - 1 - √5| = |-1| = 1.
2) (√5 + 1)x = (√5 + 1)(√5 - 1) = (√5)² - 1² = 5 - 1 = 4.
3) Перш ніж підставляти, використаємо формулу скороченого множення x² + 2x + 1 = (x + 1)² = (√5 - 1 + 1)² = (√5)² = 5.
Завдання 11.Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо a = 4,5.
2) (√5 + 1)x = (√5 + 1)(√5 - 1) = (√5)² - 1² = 5 - 1 = 4.
3) Перш ніж підставляти, використаємо формулу скороченого множення x² + 2x + 1 = (x + 1)² = (√5 - 1 + 1)² = (√5)² = 5.
1 a – 2,7
2 3√3,5 - a
3 log₅a
2 3√3,5 - a
3 log₅a
А(–2; 0)
Б(0; 1)
В(1; 2)
Г(2; 3)
Д(3; 5)
Б(0; 1)
В(1; 2)
Г(2; 3)
Д(3; 5)
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Б. 1) 4,5 - 2,7 = 1,8. 1,8 ∈ (1; 2).
2) 3√3,5 - a = 3√3,5 - 4,5 = 3√-1 = -1. -1 ∈ (-2; 0).
3) log₅a = log₅4,5. Обмежимо 4,5 числами, з яких легко можна порахувати логарифм з основою 5. Так як 1 < 4,5 < 5 і основа логарифма 5 більша за 1, то log₅1 < log₅4,5 < log₅5, тому 0 < log₅4,5 < 1.
Завдання 12. Установіть відповідність між числовим виразом (1-4) та його значенням (А-Д).
2) 3√3,5 - a = 3√3,5 - 4,5 = 3√-1 = -1. -1 ∈ (-2; 0).
3) log₅a = log₅4,5. Обмежимо 4,5 числами, з яких легко можна порахувати логарифм з основою 5. Так як 1 < 4,5 < 5 і основа логарифма 5 більша за 1, то log₅1 < log₅4,5 < log₅5, тому 0 < log₅4,5 < 1.
1 є правильним
2 належить проміжку (1;1,5)
3 дорівнює значенню виразу 7log₇1,6
4 є сумою чисел 3√18 та √259
2 належить проміжку (1;1,5)
3 дорівнює значенню виразу 7log₇1,6
4 є сумою чисел 3√18 та √259
А 136
Б 35
В 135
Г 85
Д 65
Б 35
В 135
Г 85
Д 65
Показати відповідь
1-Б, 2-Д, 3-Г, 4-А. 1) Дріб правильний, якщо його чисельник менше за знаменник. Це дріб 35.
2) 65 = 6 : 5 = 1,2. Так як 1,2 більше за 1 та менше за 1,5, то даний дріб належить проміжку (1;1,5).
3) 7log₇1,6= 1,6 = 1610 = 85.
4)3√18 + √259 = 12 + 53 = 36 + 106 = 136.
Завдання 13. Установіть відповідність між числом (1-4) та множиною, до якої воно належить (А-Д).
2) 65 = 6 : 5 = 1,2. Так як 1,2 більше за 1 та менше за 1,5, то даний дріб належить проміжку (1;1,5).
3) 7log₇1,6= 1,6 = 1610 = 85.
4)3√18 + √259 = 12 + 53 = 36 + 106 = 136.
1 -8
2 23
3 √16
4 1,7
2 23
3 √16
4 1,7
А множина парних натуральних чисел
Б множина цілих чисел, що не є натуральними числами
В множина раціональних чисел, що не є цілими числами
Г множина ірраціональних чисел
Д множина простих чисел
Б множина цілих чисел, що не є натуральними числами
В множина раціональних чисел, що не є цілими числами
Г множина ірраціональних чисел
Д множина простих чисел
Показати відповідь
1- Б, 2-Д, 3-А, 4-В. 1) -8 є цілим числом. Так як воно від'ємне, то не може бути натуральним.
2) 23 ділиться тільки на себе та на 1, тому воно є простим.
3) √16 = 4, дане ціле число ділиться на 2, тому є парним натуральним числом.
4) 1,7 є десятковим дробом, тому воно належить до раціональних чисел, що не є цілими числами.
Завдання 14. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо а=-3.
2) 23 ділиться тільки на себе та на 1, тому воно є простим.
3) √16 = 4, дане ціле число ділиться на 2, тому є парним натуральним числом.
4) 1,7 є десятковим дробом, тому воно належить до раціональних чисел, що не є цілими числами.
1 Значення виразу а⁰
2 Значення виразу а²
3 Значення виразу |a|a
4 Значення виразу ∛a
2 Значення виразу а²
3 Значення виразу |a|a
4 Значення виразу ∛a
А більше за 1
Б дорівнює 1
В дорівнює 0
Г дорівнює -1
Д менше за -1
Б дорівнює 1
В дорівнює 0
Г дорівнює -1
Д менше за -1
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Г, 4-Д. 1) (-3)⁰= 1.
2) (-3)²= 9 (більше за 1).
3) |-3|-3 = 3-3 = - 1.
4) 3√-3 = -3√3 < -1.
Завдання 15. Доберіть до числового виразу (1-3) рівний йому за значенням вираз (А-Д).
2) (-3)²= 9 (більше за 1).
3) |-3|-3 = 3-3 = - 1.
4) 3√-3 = -3√3 < -1.
1 1√10 - 3
2 |3 - √10|
3log₅125
2 |3 - √10|
3log₅125
А √10 - 3
Б 3 - √10
В √10 + 3
Г 3
Д 25
Б 3 - √10
В √10 + 3
Г 3
Д 25
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Г. 1. 1√10 - 3 = 1 · (√10 + 3)(√10 - 3)(√10 + 3) = √10 + 3(√10)² - 3² = √10 + 310 - 9 = √10 + 3 (для звільнення від ірраціональності у знаменнику треба і чисельник і знаменник домножити на вираз, який дозволить застосувати формулу скороченого множення).
2. Так як 3 - √10 < 0, то |3 - √10| = - 3 + √10 = √10 - 3 (модуль від'ємного числа дорівнює числу, протилежному до даного).
3. Так як 5³= 125, то за означенням логарифма log₅125 = 3.
2. Так як 3 - √10 < 0, то |3 - √10| = - 3 + √10 = √10 - 3 (модуль від'ємного числа дорівнює числу, протилежному до даного).
3. Так як 5³= 125, то за означенням логарифма log₅125 = 3.
Коментарі