Аналіз функцій за графіками — це вміння визначати основні властивості функції без обчислень, лише за її зображенням на координатній площині. На НМТ такі завдання трапляються регулярно, адже вони перевіряють уміння знаходити область визначення, область значень, нулі функції, точки екстремуму, проміжки зростання і спадання, а також аналізувати перетворення графіків.
На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО з аналізу графіків функцій. Ви навчитеся визначати значення функції в заданих точках, досліджувати взаємне розташування графіків, знаходити точки екстремуму, аналізувати похідну та виконувати найпоширеніші перетворення графіків, які зустрічаються на іспиті.
Завдання 1. Графік функції, визначеної на проміжку [-5; 4], проходить через одну з наведених точок (див. рисунок). Укажіть цю точку.(-5; -2)
(1; -3)
(-1; 4)
(-3; 1)
(0; -2)
Показати відповідь
Г.
На малюнку показано розташування точок. За ним маємо відповідь Г.
Завдання 2. Функція y=f(x) визначена й зростає на проміжку [-3; 2]. На рисунку зображено графік цієї функції на проміжку [-3; 0]. Яка з наведених точок може належати графіку цієї функції?
На малюнку показано розташування точок. За ним маємо відповідь Г.
K
L
O
M
N
Показати відповідь
Б.
Оскільки функція зростаюча, то після точки (0;2) графіка цієї функції повинна йти точка, що є вище за неї. Такою точкою є лише точка L.
Завдання 3. На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції y = f(x). Укажіть функцію y = f(x).
Оскільки функція зростаюча, то після точки (0;2) графіка цієї функції повинна йти точка, що є вище за неї. Такою точкою є лише точка L.
f(x)= -x
f(x)=√x
f(x)=log₂x
f(x)=x³
f(x)=3⁻ˣ
Показати відповідь
Д.
Маємо точку, для якої х від'ємний, а у додатний. У другій і третій функціях від'ємні значення х не задовольняють ОДЗ, у четвертій при від'ємному х мали б від'ємний у. Залишаються перша та п'ята функція. В першій значення х та у відрізняються лише знаком, тобто відстані від точки до осей координат повинні бути однакові, а за малюнком різні. Отже, перша функція не підходить і залишається п'ята.
Завдання 4. На рисунку зображено графік функції у = f(x), визначеної на відрізку [-3; 2]. Укажіть точку екстремуму функції у = f(x + 3) - 2.
Маємо точку, для якої х від'ємний, а у додатний. У другій і третій функціях від'ємні значення х не задовольняють ОДЗ, у четвертій при від'ємному х мали б від'ємний у. Залишаються перша та п'ята функція. В першій значення х та у відрізняються лише знаком, тобто відстані від точки до осей координат повинні бути однакові, а за малюнком різні. Отже, перша функція не підходить і залишається п'ята.
х₀ = -2
х₀ = 1
х₀ = 4
х₀ = -1
х₀ = 3
Показати відповідь
А.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х = 1. При перетворенні у = f(x + 3) - 2 дана точка переміщується на 3 одиниці ліворуч та 2 одиниці униз. Тоді нове положення точки екстремуму в х = 1 - 3 = -2.
Завдання 5. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на проміжку [-3; 3]. Одна з наведених точок належить графіку функції у= -f(x). Укажіть цю точку.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х = 1. При перетворенні у = f(x + 3) - 2 дана точка переміщується на 3 одиниці ліворуч та 2 одиниці униз. Тоді нове положення точки екстремуму в х = 1 - 3 = -2.
K
L
O
M
N
Показати відповідь
Д.
Оскільки при перетворенні -f(x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Ох, то маємо наступний графік: Цей графік проходить через точку N.
Завдання 6. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на проміжку [-2; 2]. Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції y = f(x + 1).
Оскільки при перетворенні -f(x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Ох, то маємо наступний графік: Цей графік проходить через точку N.
Показати відповідь
Г.
Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік на а одиниць ліворуч (при додатному а), то графік функції переміщуємо на 1 одиницю ліворуч. Маємо графік Г.
Завдання 7. На рисунку зображено графіки функцій g(x) = √4 - x і f(x) = √22√x + 8. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність f(x) ≤ g(x).
Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік на а одиниць ліворуч (при додатному а), то графік функції переміщуємо на 1 одиницю ліворуч. Маємо графік Г.
(-∞; 0]
[-8; +∞)
[0; +∞)
[0; 4]
[-8; 0]
Показати відповідь
Д.
Визначаємо, який графік відповідає функції f(x), а який — функції g(x) (з'ясовуємо, які з них мають значення 0 при х= - 8 та х = 4) і визначаємо проміжок, де графік f(x) лежить нижче графіка g(x).
Завдання 8. На рисунку зображено графік неперервної функції у = f(x), визначеної на відрізку [-3; 7]. Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку [-3; 7]?
Визначаємо, який графік відповідає функції f(x), а який — функції g(x) (з'ясовуємо, які з них мають значення 0 при х= - 8 та х = 4) і визначаємо проміжок, де графік f(x) лежить нижче графіка g(x).
1
2
3
5
6
Показати відповідь
В.
На малюнку ми бачимо 2 точки локального максимуму і 1 точку локального мінімуму, отже, маємо 3 точки екстремуму.
Завдання 9. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–2; 4]. Укажіть точку екстремуму цієї функції.
На малюнку ми бачимо 2 точки локального максимуму і 1 точку локального мінімуму, отже, маємо 3 точки екстремуму.
х₀ = -2
х₀ = -1
х₀ = 1
х₀ = 3
х₀ = 4
Показати відповідь
Б.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= -1.
Завдання 10. На рисунку зображено графік функції у=f(x), яка визначена на проміжку (‑6; 5). У кожній точці цього проміжку існує похідна y = f'(x). Скільки всього коренів має рівняння f'(x) = 0 на проміжку (-6; 5)?
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= -1.
один
два
три
чотири
п'ять
Показати відповідь
Д.
На малюнку ми бачимо 3 точки локального максимуму і 2 точки локального мінімуму, отже, маємо 5 точок екстремуму і відповідно 5 коренів рівняння f'(x) = 0.
Завдання 11. На рисунку зображено графік функції f(x)=x⁴ - x² + bx + c. Визначте знаки параметрів b і с. У відповіді вкажіть номер правильного варіанта з наведених нижче.На малюнку ми бачимо 3 точки локального максимуму і 2 точки локального мінімуму, отже, маємо 5 точок екстремуму і відповідно 5 коренів рівняння f'(x) = 0.
1. b>0, c>0.
2. b>0, c<0.
3. b<0, c>0.
4. b<0, c<0.
Показати відповідь
3.
При х = 0 маємо f(0) = c. За малюнком при х = 0 маємо додатне значення у, тому с > 0. Знайдемо похідну функції. Маємо f'(х) = 4x³ - 2x + b. Тоді f'(0) = b. Оскільки за малюнком в точці х = 0 функція спадає, то значення похідної в цій точці від'ємне. Отже, b < 0.
При х = 0 маємо f(0) = c. За малюнком при х = 0 маємо додатне значення у, тому с > 0. Знайдемо похідну функції. Маємо f'(х) = 4x³ - 2x + b. Тоді f'(0) = b. Оскільки за малюнком в точці х = 0 функція спадає, то значення похідної в цій точці від'ємне. Отже, b < 0.
Коментарі