Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковими функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат.
Завдання 29. Графік функції, визначеної на проміжку [-5;4], проходить через одну з наведених точок (див. рисунок). Укажіть цю точку.(-5;-2)
(1;-3)
(-1;4)
(-3;1)
(0;-2)
Показати відповідь
Г.
На малюнку показано розташування точок. За ним маємо відповідь Г.
Завдання 30. Функція y=f(x) визначена й зростає на проміжку [-3;2]. На рисунку зображено графік цієї функції на проміжку [-3;0]. Яка з наведених точок може належати графіку цієї функції?
На малюнку показано розташування точок. За ним маємо відповідь Г.
K
L
O
M
N
Показати відповідь
Б.
Оскільки функція зростаюча, то після точки (0;2) графіка цієї функції повинна йти точка, що є вище за неї. Такою точкою є лише точка L.
Завдання 31. На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції y=f(x). Укажіть функцію y=f(x).
Оскільки функція зростаюча, то після точки (0;2) графіка цієї функції повинна йти точка, що є вище за неї. Такою точкою є лише точка L.
f(x)= -x
f(x)=√x
f(x)=log₂x
f(x)=x³
f(x)=3⁻ˣ
Показати відповідь
Д.
Маємо точку, для якої х від'ємний, а у додатний. В другій і третій функції від'ємні значення х не задовольняють ОДЗ, в четвертій при від'ємному х мали б від'ємний у. Залишаються перша та п'ята функція. В першій значення х та у відрізняються лише знаком, тобто відстані від точки до осей координат повинні бути однакові, а за малюнком різні. Отже, перша функція не підходить і залишається п'ята.
Завдання 50. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на відрізку [-3;2]. Укажіть точку екстремуму функції у=f(x+3)-2.
Маємо точку, для якої х від'ємний, а у додатний. В другій і третій функції від'ємні значення х не задовольняють ОДЗ, в четвертій при від'ємному х мали б від'ємний у. Залишаються перша та п'ята функція. В першій значення х та у відрізняються лише знаком, тобто відстані від точки до осей координат повинні бути однакові, а за малюнком різні. Отже, перша функція не підходить і залишається п'ята.
х₀= -2
х₀= 1
х₀= 4
х₀= -1
х₀= 3
Показати відповідь
А.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= 1. При перетворенні у=f(x+3)-2 дана точка переміщується на 3 одиниці ліворуч та 2 одиниці униз. Тоді нове положення точки екстремуму в х=1-3= -2.
Завдання 34. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на проміжку [-3;3]. Одна з наведених точок належить графіку функції у= -f(x). Укажіть цю точку.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= 1. При перетворенні у=f(x+3)-2 дана точка переміщується на 3 одиниці ліворуч та 2 одиниці униз. Тоді нове положення точки екстремуму в х=1-3= -2.
K
L
O
M
N
Показати відповідь
Д.
Оскільки при перетворенні -f(x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Ох, то маємо наступний графік: Цей графік проходить через точку N.
Завдання 46. На рисунку зображено графік функції у=f(x), визначеної на проміжку [-2;2]. Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції y=f(x+1).
Оскільки при перетворенні -f(x) графік функції f(x) симетрично відображається відносно осі Ох, то маємо наступний графік: Цей графік проходить через точку N.
Показати відповідь
Г.
Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік на а одиниць ліворуч (при додатному а), то графік функції переміщуємо на 1 одиницю ліворуч. Маємо графік Г.
Завдання 47. На рисунку зображено графіки функцій g(x)=\sqrt{4-x} і f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x+8}. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність f(x)≤g(x).
Оскільки перетворення f(x+a) переміщує графік на а одиниць ліворуч (при додатному а), то графік функції переміщуємо на 1 одиницю ліворуч. Маємо графік Г.
(-∞;0]
[-8;+∞)
[0;+∞)
[0;4]
[-8;0]
Показати відповідь
Д.
Визначаємо, який з графіків f(x), а який g(x) (з'ясовуємо, які з них мають значення 0 при х= -8 та х=4) і визначаємо проміжок, де графік f(x) лежить нижче графіка g(x).
Завдання 48. На рисунку зображено графік неперервної функції у=f(x), визначеної на відрізку [-3;7]. Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку [-3;7]?
Визначаємо, який з графіків f(x), а який g(x) (з'ясовуємо, які з них мають значення 0 при х= -8 та х=4) і визначаємо проміжок, де графік f(x) лежить нижче графіка g(x).
1
2
3
5
6
Показати відповідь
В.
На малюнку ми бачимо 2 точки локального максимуму і 1 точку локального мінімуму, отже, маємо 3 точки екстремуму.
Завдання 49. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–2; 4]. Укажіть точку екстремуму цієї функції.
На малюнку ми бачимо 2 точки локального максимуму і 1 точку локального мінімуму, отже, маємо 3 точки екстремуму.
х₀= -2
х₀= -1
х₀= 1
х₀= 3
х₀= 4
Показати відповідь
Б.
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= -1.
Завдання 51. На рисунку зображено графік функції у=f(x), яка визначена на проміжку (‑6;5). У кожній точці цього проміжку існує похідна y=f'(x). Скільки всього коренів має рівняння f'(x)=0 на проміжку (-6;5)?
На малюнку ми бачимо точку локального максимуму при х= -1.
один
два
три
чотири
п'ять
Показати відповідь
Д.
На малюнку ми бачимо 3 точки локального максимуму і 2 точки локального мінімуму, отже, маємо 5 точок екстремуму і відповідно 5 коренів рівняння f '(x)=0.
Завдання 52. Установіть відповідність між графіком (1-3) функції, визначеної на проміжку [-4;4], та властивістю (А-Д).
На малюнку ми бачимо 3 точки локального максимуму і 2 точки локального мінімуму, отже, маємо 5 точок екстремуму і відповідно 5 коренів рівняння f '(x)=0.
Графік функції:
1
2
3
2
3
А функція є непарною
Б найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2
В функція є парною
Г графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)²+(у-4)²=4
Д графік функції тричі перетинає пряму у=1
Б найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2
В функція є парною
Г графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)²+(у-4)²=4
Д графік функції тричі перетинає пряму у=1
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-Д.
1) Графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)²+(у-4)²=4 (коло з центром в точці (3;4) і радіусом 2).
2) Найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2.
3) Графік функції тричі перетинає пряму у=1.
Завдання 56. Установіть відповідність між функцією (1-4) та прямою, зображеною на рисунку (А-Д), яка не має з графіком цієї функції жодної спільної точки.
1) Графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х-3)²+(у-4)²=4 (коло з центром в точці (3;4) і радіусом 2).
2) Найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2.
3) Графік функції тричі перетинає пряму у=1.
Функція:
1 у=х
2 у=√x-2
3 у=(\frac{1}{3})^x
4 y= -π
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б
.
1) Графік у=х є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей і тому не перетинає пряму на мал. А
2) Графік кореня, переміщений на 2 одиниці вниз знаходиться в правій частині координатної площини і тому не перетинає графіка на мал. В
3) Графік показникової функції лежить у верхній частині координатної площини і спадає (основа менше за 1). Із відповідей, що залишилися, він не перетинає графік на мал. Г.
4) Графік лежить у нижній частині координатної площини, проходить паралельно осі Ох і тому не перетинає графік на мал. Б
Завдання 58. На кожному з рисунків (1-4) зображено певну пряму. Кожній прямій поставте у відповідність функцію (А-Д), графік якої не має з цією прямою жодної спільної точки.
1) Графік у=х є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей і тому не перетинає пряму на мал. А
2) Графік кореня, переміщений на 2 одиниці вниз знаходиться в правій частині координатної площини і тому не перетинає графіка на мал. В
3) Графік показникової функції лежить у верхній частині координатної площини і спадає (основа менше за 1). Із відповідей, що залишилися, він не перетинає графік на мал. Г.
4) Графік лежить у нижній частині координатної площини, проходить паралельно осі Ох і тому не перетинає графік на мал. Б
А у=х
Б y=log₂x
В y=(x-2)²
Г y=1+\frac{1}{x}
Д y=x³
Б y=log₂x
В y=(x-2)²
Г y=1+\frac{1}{x}
Д y=x³
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.
1) Графік функції паралельний прямій у=х.
2) Даний графік проходить вище і лівіше від графіка логарифмічної функції.
3) Оскільки графік Г є гіперболою, переміщеною на 1 вгору, то вона не буде перетинати графік 3.
4) Оскільки пряма проходить в нижній половині координатної площини, то вона не буде перетинати параболу, переміщену на 2 праворуч.
Завдання 61. На рисунку зображено графік функції f(x)=x⁴-x²+bx+c. Визначте знаки параметрів b і с. У відповіді вкажіть номер правильного варіанта з наведених нижче.1) Графік функції паралельний прямій у=х.
2) Даний графік проходить вище і лівіше від графіка логарифмічної функції.
3) Оскільки графік Г є гіперболою, переміщеною на 1 вгору, то вона не буде перетинати графік 3.
4) Оскільки пряма проходить в нижній половині координатної площини, то вона не буде перетинати параболу, переміщену на 2 праворуч.
1. b>0,c>0.
2. b>0, c<0.
3. b<0,c>0.
4. b<0,c<0.
Показати відповідь
3.
При х=0 маємо f(0)=c. За малюнком при х=0 маємо додатне значення у, тому с>0. Знайдемо похідну функції. Маємо f'(х)=4x³-2x+b. Тоді f'(0)=b. Оскільки за малюнком в точці х=0 функція спадає, то значення похідної в цій точці від'ємне. Отже, b<0.
При х=0 маємо f(0)=c. За малюнком при х=0 маємо додатне значення у, тому с>0. Знайдемо похідну функції. Маємо f'(х)=4x³-2x+b. Тоді f'(0)=b. Оскільки за малюнком в точці х=0 функція спадає, то значення похідної в цій точці від'ємне. Отже, b<0.
Коментарі