Комплексні завдання з аналізу графіків функцій поєднують одразу кілька тем шкільного курсу математики. Для їх виконання потрібно не лише визначати властивості функцій за графіком, а й використовувати знання про парність і непарність, монотонність, екстремуми, похідну, інтеграл та взаємне розташування графіків.
На цій сторінці зібрано комплексні завдання НМТ та ЗНО, у яких необхідно одночасно застосовувати кілька математичних понять. Такі вправи добре готують до завдань підвищеної складності та допомагають навчитися швидко аналізувати графіки без громіздких обчислень.
Завдання 1. На рисунках (1-5) зображено графіки функцій, визначених на відрізку [-3;3]. До кожного запитання (1-4) доберіть правильну відповідь (А-Д).1 На якому рисунку зображено графік функції, що проходить через точку (1; 0)?
2 На якому рисунку зображено графік парної функції?
3 На якому рисунку зображено графік функції, що має дві спільні точки з графіком функції у = log⅓x
4 На якому рисунку зображено графік функції, що зростає на відрізку [-2; 3]
2 На якому рисунку зображено графік парної функції?
3 На якому рисунку зображено графік функції, що має дві спільні точки з графіком функції у = log⅓x
4 На якому рисунку зображено графік функції, що зростає на відрізку [-2; 3]
А рис. 1
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г, 4-B.
1) За малюнком графік на рис.1 проходить через точку (1; 0). Маємо пару 1-А.
2) Графік парної функції симетричний відносно осі у. За малюнком це графік на рис. 2 Маємо пару 2-Б.
3) Графік логарифмічної функції при основі, меншій за 1, є спадною функцією, яка буде перетинати у двох точках графік на рис. 4. Маємо пару 3-Г.
4) Зростаючою функцією із відповідей, що залишилися, за малюнком є графік на рис. 3. Маємо пару 4-В.
Завдання 2. На рисунках (1-4) зображено графіки функцій, визначених на відрізку [-4; 4]. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) За малюнком графік на рис.1 проходить через точку (1; 0). Маємо пару 1-А.
2) Графік парної функції симетричний відносно осі у. За малюнком це графік на рис. 2 Маємо пару 2-Б.
3) Графік логарифмічної функції при основі, меншій за 1, є спадною функцією, яка буде перетинати у двох точках графік на рис. 4. Маємо пару 3-Г.
4) Зростаючою функцією із відповідей, що залишилися, за малюнком є графік на рис. 3. Маємо пару 4-В.
1 Функція, графік якої зображено на рис. 1
2 Функція, графік якої зображено на рис. 2
3 Функція, графік якої зображено на рис. 3
4 Функція, графік якої зображено на рис. 4
2 Функція, графік якої зображено на рис. 2
3 Функція, графік якої зображено на рис. 3
4 Функція, графік якої зображено на рис. 4
А є непарною
Б набуває найбільшого значення, що дорівнює 4
В є парною
Г має три нулі
Д має дві точки локального екстремуму
Б набуває найбільшого значення, що дорівнює 4
В є парною
Г має три нулі
Д має дві точки локального екстремуму
Показати відповідь
1-А, 2-Д, 3-Г, 4-В.
1) Оскільки графік функції симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
2) Графік даної функції має дві точки локального екстремуму.
3) Оскільки графік функції перетинає вісь Ох у трьох точках, то дана функція має три нулі.
4) Оскільки графік функції симетричний відносно осі Оу, то це графік парної функції.
Завдання 3. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [0;11] та диференційовної на проміжку (0;11). Установіть відповідність між числом (1-4) та проміжком (А-Д), якому належить це число.
1) Оскільки графік функції симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
2) Графік даної функції має дві точки локального екстремуму.
3) Оскільки графік функції перетинає вісь Ох у трьох точках, то дана функція має три нулі.
4) Оскільки графік функції симетричний відносно осі Оу, то це графік парної функції.
1. f(8)
2. f'(7)
3. найменше значення функції y=f(x) на її області визначення
4. y = ∫31f(x)dx
2. f'(7)
3. найменше значення функції y=f(x) на її області визначення
4. y = ∫31f(x)dx
А (-∞; -2]
Б (-2; -0,5]
В (-0,5; 2]
Г (2; 4]
Д (4; +∞)
Б (-2; -0,5]
В (-0,5; 2]
Г (2; 4]
Д (4; +∞)
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-А, 4-Б.
1) За малюнком при х = 8 маємо y∈(3; 4).
2) За графіком x = 7 є точкою локального максимуму, тому f'(7) = 0.
3) Найнижча точка на графіку має у= -3,5.
4) Значення інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженої лініями f(x), x = 1, x = 3. За малюнком маємо приблизно дві половинки клітини, отже площа приблизно дорівнює 1. Оскільки на цьому проміжку графік лежить нижче осі Ox, інтеграл має від'ємне значення. Маємо наближене значення інтегралу -1.
Завдання 4. Установіть відповідність між графіком (1-3) функції, визначеної на проміжку [-4; 4], та властивістю (А-Д).
1) За малюнком при х = 8 маємо y∈(3; 4).
2) За графіком x = 7 є точкою локального максимуму, тому f'(7) = 0.
3) Найнижча точка на графіку має у= -3,5.
4) Значення інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженої лініями f(x), x = 1, x = 3. За малюнком маємо приблизно дві половинки клітини, отже площа приблизно дорівнює 1. Оскільки на цьому проміжку графік лежить нижче осі Ox, інтеграл має від'ємне значення. Маємо наближене значення інтегралу -1.
Графік функції:
1
2
3
2
3
А функція є непарною
Б найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2
В функція є парною
Г графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х - 3)² + (у - 4)² = 4
Д графік функції тричі перетинає пряму у = 1
Б найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2
В функція є парною
Г графік функції не має спільних точок із графіком рівняння (х - 3)² + (у - 4)² = 4
Д графік функції тричі перетинає пряму у = 1
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-Д.
1) Графік функції не має спільних точок із колом (х - 3)² + (у - 4)² = 4 (коло з центром в точці (3; 4) і радіусом 2).
2) Найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2.
3) Графік функції тричі перетинає пряму у = 1.
Завдання 5. Установіть відповідність між функцією (1-4) та прямою, зображеною на рисунку (А-Д), яка не має з графіком цієї функції жодної спільної точки.
1) Графік функції не має спільних точок із колом (х - 3)² + (у - 4)² = 4 (коло з центром в точці (3; 4) і радіусом 2).
2) Найменше значення функції на проміжку [1; 3] дорівнює 2.
3) Графік функції тричі перетинає пряму у = 1.
Функція:
1 у = х
2 у = √x - 2
3 у = (13)ˣ
4 y = -π
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б
.
1) Графік у = х є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей і тому не перетинає пряму на мал. А
2) Графік кореня, переміщений на 2 одиниці вниз знаходиться в правій частині координатної площини і тому не перетинає графіка на мал. В
3) Графік показникової функції лежить у верхній частині координатної площини і спадає (основа менше за 1). Із відповідей, що залишилися, він не перетинає графік на мал. Г.
4) Графік лежить у нижній частині координатної площини, проходить паралельно осі Ох і тому не перетинає графік на мал. Б
Завдання 6. На кожному з рисунків (1-4) зображено певну пряму. Кожній прямій поставте у відповідність функцію (А-Д), графік якої не має з цією прямою жодної спільної точки.
1) Графік у = х є бісектрисою І та ІІІ координатних чвертей і тому не перетинає пряму на мал. А
2) Графік кореня, переміщений на 2 одиниці вниз знаходиться в правій частині координатної площини і тому не перетинає графіка на мал. В
3) Графік показникової функції лежить у верхній частині координатної площини і спадає (основа менше за 1). Із відповідей, що залишилися, він не перетинає графік на мал. Г.
4) Графік лежить у нижній частині координатної площини, проходить паралельно осі Ох і тому не перетинає графік на мал. Б
А у = х
Б y = log₂x
В y = (x - 2)²
Г y = 1 + 1x
Д y = x³
Б y = log₂x
В y = (x - 2)²
Г y = 1 + 1x
Д y = x³
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.
1) Графік функції паралельний прямій у=х.
2) Даний графік проходить вище і лівіше від графіка логарифмічної функції.
3) Оскільки графік Г є гіперболою, переміщеною на 1 вгору, то вона не буде перетинати пряму на графіку 3.
4) Оскільки пряма проходить в нижній половині координатної площини, то вона не буде перетинати параболу, переміщену на 2 праворуч.
Завдання 7. На рисунках (1-3) зображено графіки функцій, визначених на відрізку [-4;4]. Установіть відповідність між графіком функції (1-3) та властивістю (А-Д), що має ця функція
1) Графік функції паралельний прямій у=х.
2) Даний графік проходить вище і лівіше від графіка логарифмічної функції.
3) Оскільки графік Г є гіперболою, переміщеною на 1 вгору, то вона не буде перетинати пряму на графіку 3.
4) Оскільки пряма проходить в нижній половині координатної площини, то вона не буде перетинати параболу, переміщену на 2 праворуч.
Графік функції:
1
2
3
2
3
А функція має лише один нуль
Б функція є непарною
В функція не має точок екстремуму
Г функція набуває лише додатних значень
Д графік функції проходить через точку (3; -2)
Б функція є непарною
В функція не має точок екстремуму
Г функція набуває лише додатних значень
Д графік функції проходить через точку (3; -2)
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-А.
1) Графік функції проходить через точку (3; -2).
2) Графік функції лежить над віссю Ох, тому функція набуває лише додатних значень.
3) Графік функції перетинає вісь Ох лише один раз, тому функція має лише один нуль.
Завдання 8. На рисунках (1-4) зображено графіки функцій, кожна з яких визначена на проміжку [-2;2]. Установіть відповідність між графіком функції (1-4) та властивістю (А-Д), що має ця функція.
1) Графік функції проходить через точку (3; -2).
2) Графік функції лежить над віссю Ох, тому функція набуває лише додатних значень.
3) Графік функції перетинає вісь Ох лише один раз, тому функція має лише один нуль.
1 рис. 1
2 рис. 2
3 рис. 3
4 рис. 4
2 рис. 2
3 рис. 3
4 рис. 4
А графік функції не перетинає графік функції y = tgx
Б графік функції є фрагментом графіка функції y = x² - 1
В множиною значень функції є проміжок [-1; 2]
Г функція спадає на проміжку [-2; 2]
Д функція зростає на проміжку [-2; 2]
Б графік функції є фрагментом графіка функції y = x² - 1
В множиною значень функції є проміжок [-1; 2]
Г функція спадає на проміжку [-2; 2]
Д функція зростає на проміжку [-2; 2]
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-В, 4-Д.
1) За малюнком ця функція спадає на всьому проміжку визначення.
2) Цей графік є параболою, перенесеною на 1 одиницю униз, тобто це частина графіка y = x² - 1.
3) Найменше значення функції -1 (в точці х = -2), найбільше значення функції 2 (в точці х = 2). Отже, множина значень [-1; 2].
4) За малюнком ця функція зростає на всьому проміжку визначення.
1) За малюнком ця функція спадає на всьому проміжку визначення.
2) Цей графік є параболою, перенесеною на 1 одиницю униз, тобто це частина графіка y = x² - 1.
3) Найменше значення функції -1 (в точці х = -2), найбільше значення функції 2 (в точці х = 2). Отже, множина значень [-1; 2].
4) За малюнком ця функція зростає на всьому проміжку визначення.
Коментарі