Системи рівнянь з параметром — це задачі, у яких потрібно знайти всі розв’язки системи залежно від значення параметра a. На відміну від звичайних систем рівнянь, тут недостатньо лише знайти значення змінних — необхідно також визначити, за яких значень параметра ці розв’язки існують, збігаються або взагалі відсутні.
Під час розв’язування таких задач важливо не лише виконати алгебраїчні перетворення, а й провести повне дослідження системи. На цій сторінці розглянуто основні прийоми, що використовуються в завданнях НМТ:
- зведення системи до одного рівняння шляхом підстановки або виключення змінної;
- розгляд окремих випадків, коли параметр змінює вигляд або кількість розв’язків;
- аналіз області допустимих значень (ОДЗ) для логарифмічних, показникових та ірраціональних виразів;
- перевірка знайдених розв’язків і визначення проміжків значень параметра, за яких вони існують.
Нижче зібрано задачі НМТ з докладними покроковими розв’язаннями. Вони допоможуть навчитися досліджувати системи рівнянь з параметром, правильно враховувати всі можливі випадки та записувати повну відповідь залежно від значення параметра.
Завдання 1. Задано систему рівнянь \begin{cases}ax^2 + ax + 3^{2 + y^2} = 27\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}, де х, y — змінні, а — стала.
1. Розв’яжіть цю систему, якщо а = 0.
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
Показати відповідь
1.(-1; -1) і (-1; 1)
2. якщо ає[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1);
якщо ає(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (\frac{3}{a}; \sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}); (\frac{3}{a}; -\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}})
1. Підставимо замість а у систему 0. Маємо систему \begin{cases}3^{2 + y^2} = 27\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}3^{2 + y^2} = 3^3\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}2 + y^2 = 3\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}y^2 = 1\\x + 3^{1 + 1} = 8,\end{cases}
\begin{cases}y = \pm1\\x + 9 = 8,\end{cases}
\begin{cases}y = \pm1\\x = -1,\end{cases}
Розв'язками є (-1; -1) і (-1; 1)
2. \begin{cases}ax^2 + ax + 3^{2 + y^2} = 27\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 3^2\cdot3^{y^2} = 27\\x + 3^1\cdot3^{y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 9\cdot3^{y^2} = 27\\x + 3\cdot3^{y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 3\cdot(3\cdot3^{y^2}) = 27\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 3\cdot(8 -x) = 27\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 24 -3x = 27\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax -3x -3 = 0\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + (a -3)x -3 = 0\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-1; -1) і (-1; 1)
При а ≠ 0 маємо квадратне рівняння.
D = (a -3)² -4·a·(-3) = a² -6a + 9 + 12a = a² + 6a + 9 = (a + 3)².
x₁ = \frac{ -(a -3) + (a + 3)}{2\cdot{a}} = \frac{ -a + 3 + a + 3}{2a} = \frac{6}{2a} = \frac{3}{a}.
x₂ = \frac{ -(a -3) -(a + 3)}{2\cdot{a}} = \frac{ -a + 3 -a -3}{2a} = \frac{ -2a}{2a} = -1.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
3\cdot3^{y^2} = 8 -\frac{3}{a}
3^{y^2} = \frac{8a -3}{3a}
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, степінь якого завжди додатня (y²≥0) тобто вираз завжди не менше 3⁰ = 1), то при \frac{8a -3}{3a} < 1 рівняння не має коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
\frac{8a -3}{3a} < 1
\frac{8a -3}{3a} -1 < 0
\frac{8a -3 -3a}{3a} < 0
\frac{5a -3}{3a} < 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: 5a -3 = 0, звідки а = 3:5 = 0,6.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Маємо на інтервалі (-∞; 0) знак " + ", на інтервалі (0; 0,6) знак " -" і на інтервалі (0,6; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб менше 0, то потрібен знак " -". Це проміжок (0; 0,6). Отже, при а∈(0; 0,6) даний вираз не має змісту.
При а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) маємо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log_33^{y^2} = log_3\frac{8a -3}{3a}
y^2\cdot{log_33} = log_3\frac{8a -3}{3a}
y^2 = log_3\frac{8a -3}{3a}
y = \pm\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}
Отже, при а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) маємо розв'язок (\frac{3}{a}; \pm\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}).
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
3\cdot3^{y^2} = 8 -(-1)
3\cdot3^{y^2} = 9
3^{y^2} = 3
y² = 1
y = ±1
Остаточно маємо, що якщо ає[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1); якщо ає(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (\frac{3}{a}; \sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}); (\frac{3}{a}; -\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}})
Завдання 2. Задано систему рівнянь \begin{cases}ax^2 + 3ax + 4^{1 + \sqrt{y}} = 8\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}, де х, y — змінні, а — довільна стала.2. якщо ає[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1);
якщо ає(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (\frac{3}{a}; \sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}); (\frac{3}{a}; -\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}})
1. Підставимо замість а у систему 0. Маємо систему \begin{cases}3^{2 + y^2} = 27\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}3^{2 + y^2} = 3^3\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}2 + y^2 = 3\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}y^2 = 1\\x + 3^{1 + 1} = 8,\end{cases}
\begin{cases}y = \pm1\\x + 9 = 8,\end{cases}
\begin{cases}y = \pm1\\x = -1,\end{cases}
Розв'язками є (-1; -1) і (-1; 1)
2. \begin{cases}ax^2 + ax + 3^{2 + y^2} = 27\\x + 3^{1 + y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 3^2\cdot3^{y^2} = 27\\x + 3^1\cdot3^{y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 9\cdot3^{y^2} = 27\\x + 3\cdot3^{y^2} = 8,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 3\cdot(3\cdot3^{y^2}) = 27\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 3\cdot(8 -x) = 27\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax + 24 -3x = 27\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + ax -3x -3 = 0\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + (a -3)x -3 = 0\\3\cdot3^{y^2} = 8 -x,\end{cases}
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-1; -1) і (-1; 1)
При а ≠ 0 маємо квадратне рівняння.
D = (a -3)² -4·a·(-3) = a² -6a + 9 + 12a = a² + 6a + 9 = (a + 3)².
x₁ = \frac{ -(a -3) + (a + 3)}{2\cdot{a}} = \frac{ -a + 3 + a + 3}{2a} = \frac{6}{2a} = \frac{3}{a}.
x₂ = \frac{ -(a -3) -(a + 3)}{2\cdot{a}} = \frac{ -a + 3 -a -3}{2a} = \frac{ -2a}{2a} = -1.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
3\cdot3^{y^2} = 8 -\frac{3}{a}
3^{y^2} = \frac{8a -3}{3a}
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, степінь якого завжди додатня (y²≥0) тобто вираз завжди не менше 3⁰ = 1), то при \frac{8a -3}{3a} < 1 рівняння не має коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
\frac{8a -3}{3a} < 1
\frac{8a -3}{3a} -1 < 0
\frac{8a -3 -3a}{3a} < 0
\frac{5a -3}{3a} < 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: 5a -3 = 0, звідки а = 3:5 = 0,6.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Маємо на інтервалі (-∞; 0) знак " + ", на інтервалі (0; 0,6) знак " -" і на інтервалі (0,6; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб менше 0, то потрібен знак " -". Це проміжок (0; 0,6). Отже, при а∈(0; 0,6) даний вираз не має змісту.
При а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) маємо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log_33^{y^2} = log_3\frac{8a -3}{3a}
y^2\cdot{log_33} = log_3\frac{8a -3}{3a}
y^2 = log_3\frac{8a -3}{3a}
y = \pm\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}
Отже, при а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) маємо розв'язок (\frac{3}{a}; \pm\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}).
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
3\cdot3^{y^2} = 8 -(-1)
3\cdot3^{y^2} = 9
3^{y^2} = 3
y² = 1
y = ±1
Остаточно маємо, що якщо ає[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1); якщо ає(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (\frac{3}{a}; \sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}}); (\frac{3}{a}; -\sqrt{log_3\frac{8a -3}{3a}})
1. Розв’яжіть систему, якщо а = 0.
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
Показати відповідь
1.(-3; 0,25)
2. якщо ає(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо ає [ -2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (\frac{2}{a}; log_4^2\frac{a -2}{2a})
1. Підставимо замість а у систему 0. Маємо систему \begin{cases}4^{1 + \sqrt{y}} = 8\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2^{2(1 + \sqrt{y})} = 2^3\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2(1 + \sqrt{y}) = 3\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2 + 2\sqrt{y} = 3\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2\sqrt{y} = 1\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}4y = 1\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\cdot4^{\sqrt{0,25}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\cdot4^{0,5} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\sqrt{4} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\cdot2 = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 4 = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x = -3,\end{cases}
Відповідь (-3; 0,25).
2. \begin{cases}ax^2 + 3ax + 4^{1 + \sqrt{y}} = 8\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 4\cdot4^{\sqrt{y}} = 8\\2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 4\cdot\frac{1 -x}{2} = 8\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 2\cdot(1 -x) = 8\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 2 -2x = 8\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + (3a -2)x -6 = 0\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-3; 0,25)
При а ≠ 0 маємо квадратне рівняння.
D = (3a -2)² -4·a·(-6) = 9a² -12a + 4 + 24a = 9a² + 12a + 4 = (3a + 2)².
x₁ = \frac{ -(3a -2) + (3a + 2)}{2\cdot{a}} = \frac{ -3a + 2 + 3a + 2}{2a} = \frac{4}{2a} = \frac{2}{a}.
x₂ = \frac{ -(3a -2) -(3a + 2)}{2\cdot{a}} = \frac{ -3a + 2 -3a -2}{2a} = \frac{ -6a}{2a} = -3.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -\frac{2}{a}}{2}
4^{\sqrt{y}} = \frac{a -2}{2a}
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, степінь якого завжди додатня (\sqrt{y}\ge0 тобто вираз завжди не менше 4⁰ = 1), то при \frac{a -2}{2a} < 1 рівняння не має коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
\frac{a -2}{2a} < 1
\frac{a -2}{2a} -1 < 0
\frac{a -2 -2a}{2a} < 0
\frac{ -2 -a}{2a} < 0
\frac{a + 2}{2a} > 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: а + 2 = 0, звідки а = -2.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Маємо на інтервалі (-∞; -2) знак " + ", на інтервалі (-2; 0) знак " -" і на інтервалі (0; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб більше 0, то потрібен знак " + ". Це проміжок (-∞; -2)U(0; +∞). Отже, при а∈(-∞; -2)U(0; +∞) даний вираз не має змісту.
При а∈[ -2; 0) маємо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log_44^{\sqrt{y}} = log_4\frac{a -2}{a}
\sqrt{y}\cdot{log_44} = log_4\frac{a -2}{a}
\sqrt{y} = log_4\frac{a -2}{a}
y = log_4^2\frac{a -2}{a}
Отже, при а∈[ -2; 0) маємо розв'язок (\frac{2}{a}; log_4^2\frac{a -2}{2a}).
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -(-3)}{2}
4^{\sqrt{y}} = \frac{4}{2}
4^{\sqrt{y}} = 2
2^{2\sqrt{y}} = 2
2\sqrt{y} = 1
4y = 1
y = 0,25. Отже, при а ≠ 0 маємо розв'язок (-3; 0,25). Так як при а = 0 маємо точно такий розв'язок, то можна з'єднати і отримати, що при будь -якому а маємо розв'язок (-3; 0,25).
Остаточно маємо: якщо ає(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо ає [ -2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (\frac{2}{a}; log_4^2\frac{a -2}{2a}).
Завдання 3. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}|x -y| = |x -a|\\lg(y -a) = lg(4a^2 + x -x^2)\end{cases} залежно від значень параметра a.
2. якщо ає(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо ає [ -2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (\frac{2}{a}; log_4^2\frac{a -2}{2a})
1. Підставимо замість а у систему 0. Маємо систему \begin{cases}4^{1 + \sqrt{y}} = 8\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2^{2(1 + \sqrt{y})} = 2^3\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2(1 + \sqrt{y}) = 3\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2 + 2\sqrt{y} = 3\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}2\sqrt{y} = 1\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}4y = 1\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\cdot4^{\sqrt{0,25}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\cdot4^{0,5} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\sqrt{4} = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 2\cdot2 = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x + 4 = 1,\end{cases}
\begin{cases}y = 0,25\\x = -3,\end{cases}
Відповідь (-3; 0,25).
2. \begin{cases}ax^2 + 3ax + 4^{1 + \sqrt{y}} = 8\\x + 2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 4\cdot4^{\sqrt{y}} = 8\\2\cdot4^{\sqrt{y}} = 1 -x,\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 4\cdot\frac{1 -x}{2} = 8\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 2\cdot(1 -x) = 8\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + 3ax + 2 -2x = 8\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
\begin{cases}ax^2 + (3a -2)x -6 = 0\\4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -x}{2},\end{cases}
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-3; 0,25)
При а ≠ 0 маємо квадратне рівняння.
D = (3a -2)² -4·a·(-6) = 9a² -12a + 4 + 24a = 9a² + 12a + 4 = (3a + 2)².
x₁ = \frac{ -(3a -2) + (3a + 2)}{2\cdot{a}} = \frac{ -3a + 2 + 3a + 2}{2a} = \frac{4}{2a} = \frac{2}{a}.
x₂ = \frac{ -(3a -2) -(3a + 2)}{2\cdot{a}} = \frac{ -3a + 2 -3a -2}{2a} = \frac{ -6a}{2a} = -3.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -\frac{2}{a}}{2}
4^{\sqrt{y}} = \frac{a -2}{2a}
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, степінь якого завжди додатня (\sqrt{y}\ge0 тобто вираз завжди не менше 4⁰ = 1), то при \frac{a -2}{2a} < 1 рівняння не має коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
\frac{a -2}{2a} < 1
\frac{a -2}{2a} -1 < 0
\frac{a -2 -2a}{2a} < 0
\frac{ -2 -a}{2a} < 0
\frac{a + 2}{2a} > 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: а + 2 = 0, звідки а = -2.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Маємо на інтервалі (-∞; -2) знак " + ", на інтервалі (-2; 0) знак " -" і на інтервалі (0; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб більше 0, то потрібен знак " + ". Це проміжок (-∞; -2)U(0; +∞). Отже, при а∈(-∞; -2)U(0; +∞) даний вираз не має змісту.
При а∈[ -2; 0) маємо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log_44^{\sqrt{y}} = log_4\frac{a -2}{a}
\sqrt{y}\cdot{log_44} = log_4\frac{a -2}{a}
\sqrt{y} = log_4\frac{a -2}{a}
y = log_4^2\frac{a -2}{a}
Отже, при а∈[ -2; 0) маємо розв'язок (\frac{2}{a}; log_4^2\frac{a -2}{2a}).
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
4^{\sqrt{y}} = \frac{1 -(-3)}{2}
4^{\sqrt{y}} = \frac{4}{2}
4^{\sqrt{y}} = 2
2^{2\sqrt{y}} = 2
2\sqrt{y} = 1
4y = 1
y = 0,25. Отже, при а ≠ 0 маємо розв'язок (-3; 0,25). Так як при а = 0 маємо точно такий розв'язок, то можна з'єднати і отримати, що при будь -якому а маємо розв'язок (-3; 0,25).
Остаточно маємо: якщо ає(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо ає [ -2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (\frac{2}{a}; log_4^2\frac{a -2}{2a}).
Показати відповідь
(-2a -1; -5a -2), якщо a\in(-\infty; -\frac{1}{3})
немає розв’язків, якщо a\in[ -\frac{1}{3}; 0]
(2a; 3a), якщо a є (0; +∞).
ОДЗ: y -a > 0, звідки y > a та 4a² + x -x² > 0.
З рівності |x -y| = |x -a| маємо два випадки: x -y = x -a, звідки у = а та x -y = -x + a, звідки у = 2х -а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у а. Маємо lg(а -a) = lg(4a² + x -x²). З лівого боку рівняння маємо lg0, який не існує, тому І випадок розв'язків не має.
Розглянемо ІІ випадок. Оскільки, y > a та у = 2х -а, то 2х -а > a, звідки х > a
Підставимо у друге рівняння системи замість у 2х -а. Маємо:
lg(2х -а -a) = lg(4a² + x -x²)
lg(2х -2a) = lg(4a² + x -x²)
2х -2a = 4a² + x -x²
2х -2a -4a² -x + x² = 0
x² + х -2a -4a² = 0
D = 1 -4·1·(2a -4a²) = 1 + 8a + 16a² = (4a + 1)².
x₁ = \frac{ -1 + 4a + 1}{2} = 2a
x₂ = \frac{ -1 -4a -1}{2} = -2a -1.
Перевіримо, на виконання обмежень. Маємо з х > a, для І кореня 2а > a, звідки а > 0; для другого кореня -2a -1 > a, звідки -3a > 1 і a\lt -\frac{1}{3}. Обчислимо відповідні значення у. у₁ = 2·2a -a = 4a -a = 3a, у₂ = 2·(-2a -1) -a = -4a -2 -a = -5a -2. Отже, маємо при а > 0 (2а; 3а); при a\lt -\frac{1}{3} (-2a -1; -5a -2); при інших значеннях а розв'язків немає.
Завдання 4. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}(2x + a)^2 = (2y + a)^2\\\sqrt{3ax -8x -6y} = x\end{cases} залежно від значень параметра a.
немає розв’язків, якщо a\in[ -\frac{1}{3}; 0]
(2a; 3a), якщо a є (0; +∞).
ОДЗ: y -a > 0, звідки y > a та 4a² + x -x² > 0.
З рівності |x -y| = |x -a| маємо два випадки: x -y = x -a, звідки у = а та x -y = -x + a, звідки у = 2х -а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у а. Маємо lg(а -a) = lg(4a² + x -x²). З лівого боку рівняння маємо lg0, який не існує, тому І випадок розв'язків не має.
Розглянемо ІІ випадок. Оскільки, y > a та у = 2х -а, то 2х -а > a, звідки х > a
Підставимо у друге рівняння системи замість у 2х -а. Маємо:
lg(2х -а -a) = lg(4a² + x -x²)
lg(2х -2a) = lg(4a² + x -x²)
2х -2a = 4a² + x -x²
2х -2a -4a² -x + x² = 0
x² + х -2a -4a² = 0
D = 1 -4·1·(2a -4a²) = 1 + 8a + 16a² = (4a + 1)².
x₁ = \frac{ -1 + 4a + 1}{2} = 2a
x₂ = \frac{ -1 -4a -1}{2} = -2a -1.
Перевіримо, на виконання обмежень. Маємо з х > a, для І кореня 2а > a, звідки а > 0; для другого кореня -2a -1 > a, звідки -3a > 1 і a\lt -\frac{1}{3}. Обчислимо відповідні значення у. у₁ = 2·2a -a = 4a -a = 3a, у₂ = 2·(-2a -1) -a = -4a -2 -a = -5a -2. Отже, маємо при а > 0 (2а; 3а); при a\lt -\frac{1}{3} (-2a -1; -5a -2); при інших значеннях а розв'язків немає.
Показати відповідь
(0; 0), якщо aє(-∞; 0];
(0; 0), (3a; -4a), якщо a є (0; 4\frac{2}{3}];
(0; 0), (3a; -4a), (3a -14; 3a -14), якщо a є (4\frac{2}{3}; +∞).
З рівності (2x + a)² = (2y + a)² маємо два випадки: 2x + a = 2y + a, звідки x = y та 2x + a = -(2y + a), звідки у = -х -а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у x. Маємо \sqrt{3ax -8x -6x} = x, звідки маємо \sqrt{3ax -14x} = x. З даної рівності маємо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то х≥0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0, тому, якщо винести х за дужки і врахувати його знак, отримаємо 3а -14≥0, звідки а≥\frac{14}{3} і а≥4\frac{2}{3}.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Маємо:
3ах -14х = х²
х² + 14х -3ах = 0
х(х + 14 -3а) = 0
х = 0 або х = 3а -14. Перший корінь задовільняє умовам завжди, а другий при а≥4\frac{2}{3}. Але при а = 4\frac{2}{3} другий корінь дорівнює 0, тобто співпадає з першим. Тому другий корінь ми записуємо при а > 4\frac{2}{3}. Оскільки у = х, то маємо відповіді (0; 0) завжди і (3а -14; 3а -14) при а > 4\frac{2}{3}
Розглянемо ІІ випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у -x -а. Маємо \sqrt{3ax -8x -6(-x -a)} = x, звідки маємо \sqrt{3ax -2x + 6a} = x. З даної рівності маємо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то x≥0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Маємо:
3ах -2х + 6a = х²
х² + (2 -3a)х -6a = 0
D = (2 -3a)² -4·1·(-6a) = 4 -12a + 9a² + 24a = 4 + 12a + 9a² = (2 + 3a)²
x₁ = \frac{ -2 + 3a + 2 + 3a}{2} = 3a
x₂ = \frac{ -2 + 3a -2 -3a}{2} = -2
Перший корінь задовільняє умовам при а≥0, а другий корінь не задовільняє умові, що х більше або дорівнює 0. Зауважимо, що при а = 0 отриманий перший корінь співпадає з раніше отриманим коренем х = 0, тому записуємо у відповідь х = 3а за умови, що а > 0. При цьому у = -х -а = -3а -а = -4а. Отже маємо такі відповіді: (0; 0) при будь -яких значеннях а; (-3а; -4а), при а > 0; і при а > 4\frac{2}{3} додається ще корінь (3а -14; 3а -14).
(0; 0), (3a; -4a), якщо a є (0; 4\frac{2}{3}];
(0; 0), (3a; -4a), (3a -14; 3a -14), якщо a є (4\frac{2}{3}; +∞).
З рівності (2x + a)² = (2y + a)² маємо два випадки: 2x + a = 2y + a, звідки x = y та 2x + a = -(2y + a), звідки у = -х -а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у x. Маємо \sqrt{3ax -8x -6x} = x, звідки маємо \sqrt{3ax -14x} = x. З даної рівності маємо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то х≥0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0, тому, якщо винести х за дужки і врахувати його знак, отримаємо 3а -14≥0, звідки а≥\frac{14}{3} і а≥4\frac{2}{3}.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Маємо:
3ах -14х = х²
х² + 14х -3ах = 0
х(х + 14 -3а) = 0
х = 0 або х = 3а -14. Перший корінь задовільняє умовам завжди, а другий при а≥4\frac{2}{3}. Але при а = 4\frac{2}{3} другий корінь дорівнює 0, тобто співпадає з першим. Тому другий корінь ми записуємо при а > 4\frac{2}{3}. Оскільки у = х, то маємо відповіді (0; 0) завжди і (3а -14; 3а -14) при а > 4\frac{2}{3}
Розглянемо ІІ випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у -x -а. Маємо \sqrt{3ax -8x -6(-x -a)} = x, звідки маємо \sqrt{3ax -2x + 6a} = x. З даної рівності маємо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то x≥0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Маємо:
3ах -2х + 6a = х²
х² + (2 -3a)х -6a = 0
D = (2 -3a)² -4·1·(-6a) = 4 -12a + 9a² + 24a = 4 + 12a + 9a² = (2 + 3a)²
x₁ = \frac{ -2 + 3a + 2 + 3a}{2} = 3a
x₂ = \frac{ -2 + 3a -2 -3a}{2} = -2
Перший корінь задовільняє умовам при а≥0, а другий корінь не задовільняє умові, що х більше або дорівнює 0. Зауважимо, що при а = 0 отриманий перший корінь співпадає з раніше отриманим коренем х = 0, тому записуємо у відповідь х = 3а за умови, що а > 0. При цьому у = -х -а = -3а -а = -4а. Отже маємо такі відповіді: (0; 0) при будь -яких значеннях а; (-3а; -4а), при а > 0; і при а > 4\frac{2}{3} додається ще корінь (3а -14; 3а -14).
Коментарі