Системи рівнянь з параметром — це задачі, у яких потрібно знайти всі розв’язки системи залежно від значення параметра a. На відміну від звичайних систем рівнянь, тут недостатньо лише знайти значення змінних — необхідно також визначити, за яких значень параметра ці розв’язки існують, збігаються або взагалі відсутні.
Під час розв’язування таких задач важливо не лише виконати алгебраїчні перетворення, а й провести повне дослідження системи. На цій сторінці розглянуто основні прийоми, що використовуються в завданнях НМТ:
- зведення системи до одного рівняння шляхом підстановки або виключення змінної;
- розгляд окремих випадків, коли параметр змінює вигляд або кількість розв’язків;
- аналіз області допустимих значень (ОДЗ) для логарифмічних, показникових та ірраціональних виразів;
- перевірка знайдених розв’язків і визначення проміжків значень параметра, за яких вони існують.
Нижче зібрано задачі НМТ з докладними покроковими розв’язаннями. Вони допоможуть навчитися досліджувати системи рівнянь з параметром, правильно враховувати всі можливі випадки та записувати повну відповідь залежно від значення параметра.
Завдання 1. Задано систему рівнянь {ax² + ax + 32 + y² = 27x + 31 + y² = 8, де х, y — змінні, а — стала.
1. Розв’яжіть цю систему, якщо а = 0.
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
Показати відповідь
1.(-1; -1) і (-1; 1)
2. якщо a∈[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1);
якщо a∈(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (3a; √log₃8a - 33a); (3a; -√log₃8a - 33a)
1. Підставимо замість а у систему 0. Мa∈мо систему {32 + y² = 27x + 31 + y² = 8⇔ {32 + y² = 3³x + 31 + y² = 8⇔ {2 + y² = 3x + 31 + y² = 8⇔ {2 + y² = 3x + 31 + y² = 8⇔ {y² = 1x + 3¹⁺¹ = 8⇔ {y = ±1x + 9 = 8⇔ {y = ±1x = -1
Розв'язками є (-1; -1) і (-1; 1)
2. {ax² + ax + 32 + y² = 27x + 31 + y² = 8⇔ {ax² + ax + 3² · 3y² = 27x + 3¹ · 3y² = 8⇔ {ax² + ax + 9 · 3y² = 27x + 3 · 3y² = 8⇔ {ax² + ax + 3 · (3 · 3y²) = 273 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + ax + 3 · (8 - x) = 273 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + ax + 24 - 3x = 273 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + ax - 3x - 3 = 03 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + (a - 3)x - 3 = 03 · 3y² = 8 - x
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-1; -1) і (-1; 1)
При а ≠ 0 мa∈мо квадратне рівняння.
D = (a -3)² -4·a·(-3) = a² -6a + 9 + 12a = a² + 6a + 9 = (a + 3)².
x₁ = - (a - 3) - (a + 3)2a = - a + 3 - a - 32a = - 2a2a = -1.
x₂ = - (a - 3) + (a + 3)2a = - a + 3 + a + 32a = 62a = 3a.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
3 · 3y² = 8 - (-1)
3 · 3y² = 9
3y² = 3
y² = 1
y = ±1
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
3 · 3y² = 8 - 3a
3 · 3y² = 8a - 3a
3y² = 8a - 33a
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, показник якої завжди невід'ємний (y² ≥ 0) тобто вираз завжди не менше 3⁰ = 1), то при 8a - 33a < 1 рівняння не мa∈ коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
8a - 33a < 1
8a - 33a - 1 < 0
8a - 3 - 3a3a < 0
5a - 33a < 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: 5a - 3 = 0, звідки а = 3 : 5 = 0,6.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Мa∈мо на інтервалі (-∞; 0) знак " + ", на інтервалі (0; 0,6) знак " - " і на інтервалі (0,6; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб менше 0, то потрібен знак " - ". Це проміжок (0; 0,6). Отже, при а∈(0; 0,6) даний вираз не мa∈ змісту.
При а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) мa∈мо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log₃3y² = log₃8a - 33a
y² · log₃3 = log₃8a - 33a
y² = log₃8a - 33a
y = ±√log₃8a - 33a
Отже, при а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) мa∈мо розв'язок (3a; ±√log₃8a - 33a).
Остаточно мa∈мо, що якщо a∈[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1); якщо a∈(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (3a; √log₃8a - 33a); (3a; -√log₃8a - 33a)
Завдання 2. Задано систему рівнянь {ax² + 3ax + 41 + √y = 8x + 2 · 4√y = 1, де х, y — змінні, а — довільна стала.2. якщо a∈[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1);
якщо a∈(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (3a; √log₃8a - 33a); (3a; -√log₃8a - 33a)
1. Підставимо замість а у систему 0. Мa∈мо систему {32 + y² = 27x + 31 + y² = 8⇔ {32 + y² = 3³x + 31 + y² = 8⇔ {2 + y² = 3x + 31 + y² = 8⇔ {2 + y² = 3x + 31 + y² = 8⇔ {y² = 1x + 3¹⁺¹ = 8⇔ {y = ±1x + 9 = 8⇔ {y = ±1x = -1
Розв'язками є (-1; -1) і (-1; 1)
2. {ax² + ax + 32 + y² = 27x + 31 + y² = 8⇔ {ax² + ax + 3² · 3y² = 27x + 3¹ · 3y² = 8⇔ {ax² + ax + 9 · 3y² = 27x + 3 · 3y² = 8⇔ {ax² + ax + 3 · (3 · 3y²) = 273 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + ax + 3 · (8 - x) = 273 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + ax + 24 - 3x = 273 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + ax - 3x - 3 = 03 · 3y² = 8 - x⇔ {ax² + (a - 3)x - 3 = 03 · 3y² = 8 - x
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-1; -1) і (-1; 1)
При а ≠ 0 мa∈мо квадратне рівняння.
D = (a -3)² -4·a·(-3) = a² -6a + 9 + 12a = a² + 6a + 9 = (a + 3)².
x₁ = - (a - 3) - (a + 3)2a = - a + 3 - a - 32a = - 2a2a = -1.
x₂ = - (a - 3) + (a + 3)2a = - a + 3 + a + 32a = 62a = 3a.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
3 · 3y² = 8 - (-1)
3 · 3y² = 9
3y² = 3
y² = 1
y = ±1
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
3 · 3y² = 8 - 3a
3 · 3y² = 8a - 3a
3y² = 8a - 33a
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, показник якої завжди невід'ємний (y² ≥ 0) тобто вираз завжди не менше 3⁰ = 1), то при 8a - 33a < 1 рівняння не мa∈ коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
8a - 33a < 1
8a - 33a - 1 < 0
8a - 3 - 3a3a < 0
5a - 33a < 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: 5a - 3 = 0, звідки а = 3 : 5 = 0,6.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Мa∈мо на інтервалі (-∞; 0) знак " + ", на інтервалі (0; 0,6) знак " - " і на інтервалі (0,6; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб менше 0, то потрібен знак " - ". Це проміжок (0; 0,6). Отже, при а∈(0; 0,6) даний вираз не мa∈ змісту.
При а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) мa∈мо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log₃3y² = log₃8a - 33a
y² · log₃3 = log₃8a - 33a
y² = log₃8a - 33a
y = ±√log₃8a - 33a
Отже, при а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) мa∈мо розв'язок (3a; ±√log₃8a - 33a).
Остаточно мa∈мо, що якщо a∈[0; 0,6), то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1); якщо a∈(-∞; 0)U[0,6; +∞), то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і (3a; √log₃8a - 33a); (3a; -√log₃8a - 33a)
1. Розв’яжіть систему, якщо а = 0.
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
Показати відповідь
1.(-3; 0,25)
2. якщо a∈(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо a∈ [-2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (2a; log²₄a - 22a)
1. Підставимо замість а у систему 0. Мa∈мо систему {41 + √y = 8x + 2 · 4√y = 1⇔ {22(1 + √y) = 2³x + 2 · 22√y = 1⇔ {2(1 + √y) = 3x + 2 · 22√y = 1⇔ {2 + 2√y = 3x + 2 · 22√y = 1⇔ {2√y = 1x + 2 · 22√y = 1⇔ {√y = ½x + 2 · 2¹ = 1⇒ {y = ¼x + 4 = 1⇔ {y = 0,25x = -3
Відповідь (-3; 0,25).
2. {ax² + 3ax + 41 + √y = 8x + 2 · 4√y = 1⇔ {ax² + 3ax + 4¹ · 4√y = 82 · 4√y = 1 - x⇔ {ax² + 3ax + 4 · 1 - x2 = 84√y = 1 - x2⇔ {ax² + 3ax + 2 · (1 - x) = 84√y = 1 - x2⇔ {ax² + 3ax + 2 - 2x = 84√y = 1 - x2⇔ {ax² + (3a - 2)x - 6 = 04√y = 1 - x2
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-3; 0,25)
При а ≠ 0 мa∈мо квадратне рівняння.
D = (3a -2)² - 4 · a · (-6) = 9a² -12a + 4 + 24a = 9a² + 12a + 4 = (3a + 2)².
x₁ = -(3a - 2) - (3a + 2)2a = -3a + 2 - 3a - 22a = -6a2a = -3
x₂ = -(3a - 2) + (3a + 2)2a = -3a + 2 + 3a + 22a = 42a = 2a
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
4√y = 1 - (-3)2
4√y = 1 + 32
4√y = 2
22√y = 2¹
2√y = 1
√y = 0,5
y = 0,25. Отже, при а ≠ 0 мa∈мо розв'язок (-3; 0,25). Так як при а = 0 мa∈мо точно такий розв'язок, то можна з'єднати і отримати, що при будь-якому а мa∈мо розв'язок (-3; 0,25).
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
4√y = 1 - 2a2
4√y = a - 22a
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, показник якої завжди невід'ємний (√y ≥ 0, тобто вираз завжди не менше 4⁰ = 1), то при a - 22a < 1 рівняння не мa∈ коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
a - 22a < 1
a - 22a - 1 < 0
a - 2 - 2a2a < 0
- 2 - a2a < 0
a + 22a > 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: а + 2 = 0, звідки а = -2.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Мa∈мо на інтервалі (-∞; -2) знак " + ", на інтервалі (-2; 0) знак " - " і на інтервалі (0; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб більше 0, то потрібен знак " + ". Це проміжок (-∞; -2)U(0; +∞). Отже, при а∈(-∞; -2)U(0; +∞) даний вираз не мa∈ змісту. При а∈[ -2; 0) мa∈мо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log₄4√y = log₄a - 22a
√y · log₄4 = log₄a - 22a
√y = log₄a - 22a
y = log²₄a - 22a
Отже, при а∈[-2; 0) мa∈мо розв'язок (2a; log²₄a - 22a).
Остаточно мa∈мо: якщо a∈(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25); якщо a∈ [-2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (2a; log²₄a - 22a).
Завдання 3. Розв’яжіть систему рівнянь {|x - y| = |x - a|lg(y - a) = lg(4a² + x - x²) залежно від значень параметра a.
2. якщо a∈(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо a∈ [-2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (2a; log²₄a - 22a)
1. Підставимо замість а у систему 0. Мa∈мо систему {41 + √y = 8x + 2 · 4√y = 1⇔ {22(1 + √y) = 2³x + 2 · 22√y = 1⇔ {2(1 + √y) = 3x + 2 · 22√y = 1⇔ {2 + 2√y = 3x + 2 · 22√y = 1⇔ {2√y = 1x + 2 · 22√y = 1⇔ {√y = ½x + 2 · 2¹ = 1⇒ {y = ¼x + 4 = 1⇔ {y = 0,25x = -3
Відповідь (-3; 0,25).
2. {ax² + 3ax + 41 + √y = 8x + 2 · 4√y = 1⇔ {ax² + 3ax + 4¹ · 4√y = 82 · 4√y = 1 - x⇔ {ax² + 3ax + 4 · 1 - x2 = 84√y = 1 - x2⇔ {ax² + 3ax + 2 · (1 - x) = 84√y = 1 - x2⇔ {ax² + 3ax + 2 - 2x = 84√y = 1 - x2⇔ {ax² + (3a - 2)x - 6 = 04√y = 1 - x2
Розв'яжемо перше рівняння. При а = 0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-3; 0,25)
При а ≠ 0 мa∈мо квадратне рівняння.
D = (3a -2)² - 4 · a · (-6) = 9a² -12a + 4 + 24a = 9a² + 12a + 4 = (3a + 2)².
x₁ = -(3a - 2) - (3a + 2)2a = -3a + 2 - 3a - 22a = -6a2a = -3
x₂ = -(3a - 2) + (3a + 2)2a = -3a + 2 + 3a + 22a = 42a = 2a
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
4√y = 1 - (-3)2
4√y = 1 + 32
4√y = 2
22√y = 2¹
2√y = 1
√y = 0,5
y = 0,25. Отже, при а ≠ 0 мa∈мо розв'язок (-3; 0,25). Так як при а = 0 мa∈мо точно такий розв'язок, то можна з'єднати і отримати, що при будь-якому а мa∈мо розв'язок (-3; 0,25).
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
4√y = 1 - 2a2
4√y = a - 22a
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, показник якої завжди невід'ємний (√y ≥ 0, тобто вираз завжди не менше 4⁰ = 1), то при a - 22a < 1 рівняння не мa∈ коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
a - 22a < 1
a - 22a - 1 < 0
a - 2 - 2a2a < 0
- 2 - a2a < 0
a + 22a > 0
1. ОДЗ: a ≠ 0.
2. Нулі функції: а + 2 = 0, звідки а = -2.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Мa∈мо на інтервалі (-∞; -2) знак " + ", на інтервалі (-2; 0) знак " - " і на інтервалі (0; +∞) знак " + ". Так як нам потрібно знайти, коли дріб більше 0, то потрібен знак " + ". Це проміжок (-∞; -2)U(0; +∞). Отже, при а∈(-∞; -2)U(0; +∞) даний вираз не мa∈ змісту. При а∈[ -2; 0) мa∈мо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
log₄4√y = log₄a - 22a
√y · log₄4 = log₄a - 22a
√y = log₄a - 22a
y = log²₄a - 22a
Отже, при а∈[-2; 0) мa∈мо розв'язок (2a; log²₄a - 22a).
Остаточно мa∈мо: якщо a∈(-∞; -2)U[0; +∞), то розв’язком системи є (-3; 0,25); якщо a∈ [-2; 0), то розв’язками системи є (-3; 0,25) та (2a; log²₄a - 22a).
Показати відповідь
(-2a - 1; -5a - 2), якщо a∈(-∞; -⅓); немa∈ розв’язків, якщо a∈[-⅓; 0]; (2a; 3a), якщо a∈(0; +∞).
ОДЗ: y - a > 0, звідки y > a та 4a² + x - x² > 0.
З рівності |x -y| = |x -a| мa∈мо два випадки: x - y = x - a, звідки у = а та x - y = -x + a, звідки у = 2х - а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у а. Мa∈мо lg(а - a) = lg(4a² + x - x²). З лівого боку рівняння мa∈мо lg0, який не існує, тому І випадок розв'язків не мa∈.
Розглянемо ІІ випадок. Оскільки y > a та у = 2х - а, то 2х - а > a, звідки х > a
Підставимо у друге рівняння системи 2х - а замість у. Мa∈мо:
lg(2х - а - a) = lg(4a² + x - x²)
lg(2х -2a) = lg(4a² + x - x²)
2х - 2a = 4a² + x - x²
2х - 2a - 4a² - x + x² = 0
x² + х - 2a - 4a² = 0
D = 1 - 4 · 1 · (-2a - 4a²) = 1 + 8a + 16a² = (4a + 1)².
x₁ = -1 - (4a + 1)2 · 1 = -1 - 4a - 12 = - 4a - 22 = 2(-2a - 1)2 = -2a - 1
x₂ = -1 + (4a + 1)2 · 1 = -1 + 4a + 12 = 4a2 = 2a
Перевіримо, на виконання обмежень. Мa∈мо з х > a для другого кореня 2а > a, звідки а > 0; для першого кореня -2a - 1 > a, звідки -3a > 1 і a < -⅓. Обчислимо відповідні значення у. у₁ = 2 · (-2a - 1) - a = -4a - 2 - a = -5a - 2; у₂ = 2 · 2a - a = 4a -a = 3a. Отже, мa∈мо при а > 0 (2а; 3а); при a < -⅓ (-2a - 1; -5a - 2); при інших значеннях а розв'язків немa∈.
Завдання 4. Розв’яжіть систему рівнянь {(2x + a)² = (2y + a)²√3ax - 8x - 6y = x залежно від значень параметра a.
ОДЗ: y - a > 0, звідки y > a та 4a² + x - x² > 0.
З рівності |x -y| = |x -a| мa∈мо два випадки: x - y = x - a, звідки у = а та x - y = -x + a, звідки у = 2х - а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у а. Мa∈мо lg(а - a) = lg(4a² + x - x²). З лівого боку рівняння мa∈мо lg0, який не існує, тому І випадок розв'язків не мa∈.
Розглянемо ІІ випадок. Оскільки y > a та у = 2х - а, то 2х - а > a, звідки х > a
Підставимо у друге рівняння системи 2х - а замість у. Мa∈мо:
lg(2х - а - a) = lg(4a² + x - x²)
lg(2х -2a) = lg(4a² + x - x²)
2х - 2a = 4a² + x - x²
2х - 2a - 4a² - x + x² = 0
x² + х - 2a - 4a² = 0
D = 1 - 4 · 1 · (-2a - 4a²) = 1 + 8a + 16a² = (4a + 1)².
x₁ = -1 - (4a + 1)2 · 1 = -1 - 4a - 12 = - 4a - 22 = 2(-2a - 1)2 = -2a - 1
x₂ = -1 + (4a + 1)2 · 1 = -1 + 4a + 12 = 4a2 = 2a
Перевіримо, на виконання обмежень. Мa∈мо з х > a для другого кореня 2а > a, звідки а > 0; для першого кореня -2a - 1 > a, звідки -3a > 1 і a < -⅓. Обчислимо відповідні значення у. у₁ = 2 · (-2a - 1) - a = -4a - 2 - a = -5a - 2; у₂ = 2 · 2a - a = 4a -a = 3a. Отже, мa∈мо при а > 0 (2а; 3а); при a < -⅓ (-2a - 1; -5a - 2); при інших значеннях а розв'язків немa∈.
Показати відповідь
(0; 0), якщо aє(-∞; 0];
(0; 0), (3a; -4a), якщо aє(0; 423];
(0; 0), (3a; -4a), (3a -14; 3a -14), якщо aє(423; +∞).
З рівності (2x + a)² = (2y + a)² мa∈мо два випадки: 2x + a = 2y + a, звідки x = y та 2x + a = -(2y + a), звідки у = -х - а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у x. Мa∈мо √3ax - 8x - 6x = x, звідки мa∈мо √3ax - 14x = x. З даної рівності мa∈мо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то х ≥ 0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0, тому, якщо винести х за дужки і врахувати його знак, отримa∈мо 3а - 14 ≥ 0, звідки а ≥ 143 і а ≥ 423.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Мa∈мо:
3ах - 14х = х²
х² + 14х - 3ах = 0
х(х + 14 - 3а) = 0
х = 0 або х = 3а -14. Перший корінь задовільняє умовам завжди, а другий при а ≥ 423. Але при а = 423 другий корінь дорівнює 0, тобто співпадa∈ з першим. Тому другий корінь ми записуємо при а > 423. Оскільки у = х, то мa∈мо відповіді (0; 0) завжди і (3а - 14; 3а - 14) при а > 423.
Розглянемо ІІ випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у -x - а. Мa∈мо √3ax - 8x - 6(-x - a) = x, звідки мa∈мо √3ax - 2x +6a = x. З даної рівності мa∈мо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то x ≥ 0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Мa∈мо:
3ах - 2х + 6a = х²
х² + (2 - 3a)х - 6a = 0
D = (2 - 3a)² - 4 · 1 · (-6a) = 4 - 12a + 9a² + 24a = 4 + 12a + 9a² = (2 + 3a)²
x₁ = -(2 - 3a) - (2 + 3a)2 · 1 = -2 + 3a - 2 - 3a2 = -42 = -2
x₂ = -(2 - 3a) + (2 + 3a)2 · 1 = -2 + 3a + 2 + 3a2 = 6a2 = 3a
Перший корінь не задовільняє умові, що х ≥ 0, а другий корінь задовільняє умовам при а ≥ 0. Зауважимо, що при а = 0 отриманий другий корінь співпадa∈ з раніше отриманим коренем х = 0, тому записуємо у відповідь х = 3а за умови, що а > 0. При цьому у = -х - а = -3а - а = -4а. Отже мa∈мо такі відповіді: (0; 0) при будь-яких значеннях а; (3а; -4а), при а > 0; і при а > 423 додa∈ться ще корінь (3а - 14; 3а - 14).
(0; 0), (3a; -4a), якщо aє(0; 423];
(0; 0), (3a; -4a), (3a -14; 3a -14), якщо aє(423; +∞).
З рівності (2x + a)² = (2y + a)² мa∈мо два випадки: 2x + a = 2y + a, звідки x = y та 2x + a = -(2y + a), звідки у = -х - а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у x. Мa∈мо √3ax - 8x - 6x = x, звідки мa∈мо √3ax - 14x = x. З даної рівності мa∈мо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то х ≥ 0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0, тому, якщо винести х за дужки і врахувати його знак, отримa∈мо 3а - 14 ≥ 0, звідки а ≥ 143 і а ≥ 423.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Мa∈мо:
3ах - 14х = х²
х² + 14х - 3ах = 0
х(х + 14 - 3а) = 0
х = 0 або х = 3а -14. Перший корінь задовільняє умовам завжди, а другий при а ≥ 423. Але при а = 423 другий корінь дорівнює 0, тобто співпадa∈ з першим. Тому другий корінь ми записуємо при а > 423. Оскільки у = х, то мa∈мо відповіді (0; 0) завжди і (3а - 14; 3а - 14) при а > 423.
Розглянемо ІІ випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у -x - а. Мa∈мо √3ax - 8x - 6(-x - a) = x, звідки мa∈мо √3ax - 2x +6a = x. З даної рівності мa∈мо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то x ≥ 0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Мa∈мо:
3ах - 2х + 6a = х²
х² + (2 - 3a)х - 6a = 0
D = (2 - 3a)² - 4 · 1 · (-6a) = 4 - 12a + 9a² + 24a = 4 + 12a + 9a² = (2 + 3a)²
x₁ = -(2 - 3a) - (2 + 3a)2 · 1 = -2 + 3a - 2 - 3a2 = -42 = -2
x₂ = -(2 - 3a) + (2 + 3a)2 · 1 = -2 + 3a + 2 + 3a2 = 6a2 = 3a
Перший корінь не задовільняє умові, що х ≥ 0, а другий корінь задовільняє умовам при а ≥ 0. Зауважимо, що при а = 0 отриманий другий корінь співпадa∈ з раніше отриманим коренем х = 0, тому записуємо у відповідь х = 3а за умови, що а > 0. При цьому у = -х - а = -3а - а = -4а. Отже мa∈мо такі відповіді: (0; 0) при будь-яких значеннях а; (3а; -4а), при а > 0; і при а > 423 додa∈ться ще корінь (3а - 14; 3а - 14).
Коментарі