Довжини, площі та кола — один із важливих блоків планіметрії в НМТ з математики. У таких задачах потрібно знаходити довжини відрізків і сторін трикутника, радіуси та діаметри кіл, площі фігур, використовуючи теорему Піфагора, теореми синусів і косинусів, властивості медіан, подібних трикутників та кіл.
Трикутники (довжини сторін) — важливий блок планіметрії, у якому потрібно знаходити довжини сторін і відрізків, периметри та площі трикутників, радіуси й діаметри кіл. Для розв'язування таких задач використовують теорему Піфагора, теореми синусів і косинусів, властивості подібних трикутників, медіан та кіл.
У цій добірці наведено тестові завдання НМТ з геометрії, у яких потрібно обчислити невідому довжину, площу або радіус. Частина задач потребує послідовного застосування кількох геометричних властивостей. До кожного завдання подано відповідь і покрокове пояснення.
Основні елементи трикутника
- Медіана — відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
- Висота — відрізок, проведений із вершини трикутника перпендикулярно до прямої, яка містить протилежну сторону.
- Середня лінія — відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника. Вона паралельна третій стороні та дорівнює її половині.
- Гіпотенуза — найбільша сторона прямокутного трикутника, яка лежить напроти прямого кута.
Периметр трикутника
Периметр трикутника дорівнює сумі довжин його сторін:
P = a + b + c.
Якщо трикутник рівнобедрений і його бічні сторони дорівнюють a, а основа — b, то:
P = 2a + b.
Нерівність трикутника
Для будь-якого трикутника сума довжин будь-яких двох його сторін більша за довжину третьої сторони:
a + b > c,
a + c > b,
b + c > a.
Цю властивість можна використовувати, щоб визначити, яке значення може мати невідома сторона трикутника.
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
c² = a² + b².
За допомогою теореми Піфагора можна знаходити невідому сторону прямокутного трикутника.
Тригонометричні співвідношення у прямокутному трикутнику
Для гострого кута α:
sin α = протилежний катетгіпотенуза, cos α = прилеглий катетгіпотенуза, tg α = протилежний катетприлеглий катет.
Наприклад, якщо BM — катет, протилежний куту α, а AB — гіпотенуза, то:
sin α = BMAB.
Теорема синусів
У будь-якому трикутнику відношення довжини сторони до синуса протилежного кута однакове:
asin A = bsin B = csin C = 2R,
де R — радіус описаного кола.
Теорему синусів використовують, коли відомі сторона та протилежний їй кут і потрібно знайти іншу сторону.
Теорема косинусів
Для трикутника зі сторонами a, b, c:
c² = a² + b² − 2ab cos C.
Теорема косинусів дає змогу знайти сторону трикутника, якщо відомі дві інші сторони та кут між ними.
Для прямого кута cos 90° = 0, тому теорема косинусів перетворюється на теорему Піфагора.
Медіана та знаходження довжин
Медіана ділить протилежну сторону навпіл. Якщо CM — медіана трикутника ABC, то:
AM = MB = AB2.
У задачах на довжину медіани її властивість можна поєднувати з теоремою Піфагора або теоремою косинусів.
Подібні трикутники
Якщо два трикутники подібні, то їхні відповідні сторони пропорційні:
a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂.
Якщо KM ∥ BC, то трикутники AKM і ABC подібні. Тому:
AKAB = KMBC.
Площа трикутника
Якщо відомі основа a та висота h, проведена до неї, то:
S = ah2.
Якщо відомі дві сторони a і b та кут C між ними:
S = ab sin C2.
Вписане коло
Центр вписаного в трикутник кола — точка перетину його бісектрис.
Радіус, проведений до точки дотику кола з прямою, перпендикулярний до цієї прямої.
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні. Цю властивість можна використовувати для знаходження сторін прямокутного трикутника з вписаним колом.
Описане коло
Центр описаного навколо трикутника кола — точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.
У прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить у середині гіпотенузи. Тому радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи:
R = c2.
Діаметр описаного кола дорівнює гіпотенузі:
d = c.
Радіус описаного кола в довільному трикутнику
Із теореми синусів випливає:
a = 2R sin A,
тому:
R = a2 sin A.
Завдання 1. Периметр рівнобедреного трикутника АВС (див. рисунок) дорівнює 32 см. АВ = ВС = 10 см. Узгодьте відрізок (1-3) з його довжиною (А-Д).2 висота, проведена з вершини В
3 радіус кола, описаного навколо трикутника АВС
Б 7,5
В 8
Г 12
Д 12,5
1. Так як P∆АBС = АВ + ВС + АС, то АС = P∆АBС-АВ-ВС = 32-10-10 = 12 см.
2. Так як ∆АВС рівнобедрений, то висота ВК є медіаною. Тому АК = АС:2 = 12:2 = 6 см. З прямокутного ∆АВК за теоремою Піфагора ВК² = АВ² - АК² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64. Тоді ВК = 8 см.
3. S∆АBС = ½ AC∙BK = ½ ∙ 12 ∙ 8 = 6 ∙ 8 = 48 см². R = AB · BC · AC4S = 10 · 10 · 124 · 48 = 10 · 104 · 4 = 2,5 · 2,5 = 6,25.
Завдання 2. Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони АС трикутника АВС, якщо АВ = 3 см, ВС = 10 см.
Перевіримо виконання нерівності трикутника (a + b > c)
А) 3 + 3 < 10 - не підходить
Б) 5 + 3 < 10 - не підходить
В) 7 + 3 = 10 - не підходить
Г) 3 + 11 > 10, 3 + 10 > 11, 10 + 11 > 3 - підходить
Д) 3 + 10 < 15 - не підходить.
BC² = AC² + AB² - 2AC · AB · cosA
28² = x² + (x + 8)²-2x · (x + 8) · cos120°
28² = x² + x² + 16x + 64 - 2x · (x + 8) · (-0,5)
784 = 2x² + 16x + 64 + x² + 8x
784 = 3x² + 24x + 64
3x² + 24x + 64 - 784 = 0
3x² + 24x - 720 = 0 |:3
x² + 8x - 240 = 0
D = 8² - 4 · 1 · (-240) = 64 + 960 = 1024.
x₁ = -8 - √10242 · 1 = -8 - 322 = -402 = -20
x₂ = -8 + √10242 · 1 = -8 + 322 = 242 = 12
Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, то маємо лише х = 12. Отже, АС = 12, тоді АВ = 12 + 8 = 20. Р = АВ + АС + ВС = 20 + 12 + 28 = 60 см.
Оскільки косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета (b) до гіпотенузи (c), то cosα = bc.
За теоремою синусів в трикутнику відношення сторін до синусів протилежних кутів рівні, тобто BCsin∠A = ACsin∠B. Підставимо у це відношення відомі величини і отримаємо BCsin50° = 2sin70°, звідки ВС = 2sin50°sin70°.
MC² = 3² + √2² - 2 · 3 · √2 · cos45°
MC² = 9 + 2 - 2 · 3 · √2 · √22
MC² = 11 - 2 · 3
MC² = 11 - 6
MC² = 5
MC = √5 см.
1600 + x² = 900 + 2500 - 100x + x²
1600 + x² = 3400 - 100x + x²
1600 = 3400 - 100x
100x = 3400 - 1600
100x = 1800
x = 18.
Отже, АО = 18, СО = 50-18 = 32. Ближча відстань 18.
Оскільки КМ||BC, то трикутники АКМ і АВС подібні. Для подібних трикутників відношення відповідних сторін однакові, отже AKAB = KMBC. Підставимо відомі значення і отримаємо 66 + 2 = KM10. Звідси КМ = 6 · 10 : 8 = 7,5.
1. Визначте довжину катета АС (у см).
2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника АВС.
2. Аналогічно ОР - середня лінія трикутника ВСМ і ВС = 2 · РO = 2 · 5 = 10 см. З прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676, звідки АВ = 26 см. В прямокутному трикутнику радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює половині гіпотенузи. Отже R = 26:2 = 13 см.
Коментарі