Перейти до основного вмісту

Ознаки подільності

Розглянемо основні ознаки подільності чисел.

Ознака подільності на 2:

Число закінчуються на парну цифру(0,2,4,6,8).

Наприклад, 23456 закінчується на 6, тому дане число ділиться націло на 2, а число 49683 закінчується на цифру 3, тому воно не ділиться на 2.

Ознака подільності на 3:

Сума цифр числа ділиться на 3.

Наприклад, сума цифр числа 2463 дорівнює 2+4+6+3=15, а 15 ділиться на 3, тому і число 2463 ділиться на 3; сума цифр числа 43244 дорівнює 4+3+2+4+4=17, а 17 не ділиться на 3, тому і число 43244 не ділиться на 3.

Ознака подільності на 5:

Число закінчується на 0 або 5.

Наприклад, 543345 закінчується на 5, тому дане число ділиться на 5; 685483 закінчується на цифру 3, тому дане число не ділиться на 5.

Ознака подільності на 9:

Сума цифр числа ділиться на 9.

Наприклад, сума цифр числа 5463 дорівнює 5+4+6+3=18, а 18 ділиться на 9, тому і число 5463 ділиться на 9; сума цифр числа 43244 дорівнює 4+3+2+4+4=17, а 17 не ділиться на 9, тому і число 43244 не ділиться на 9.

Ознака подільності на 10:

Число закінчується на 0.

Наприклад, 543340 закінчується на 0, тому дане число ділиться на 10; 685483 закінчується на цифру 3, тому дане число не ділиться на 10.

Задача 1.

В олімпіаді хлопчиків приймало участь в чотири рази більше, ніж дівчаток. Якою була кількість учнів, що приймали участь в олімпіаді?

А Б В Г Д
63 71 64 75 68

Розв'язання: Нехай кількість дівчаток х, тоді кількість хлопчиків 4х. Разом було х+4х=5х учнів, тобто кількість учнів повинна ділитися на 5. Серед запропонованих відповідей лише одне число ділиться на 5: 75, тому у олімпіаді приймало участь 75 учнів

Додатковий матеріал

Ознака подільності на 4:

а) Число, утворене двома останніми цифрами числа ділиться на 4.

Наприклад, останні цифри числа 2428 утворюють число 28, яке ділиться на 4, тому і саме число 2428 ділиться на 4; останні цифри числа 2318 утворюють число 18, яке не ділиться на 4, тому дане число не ділиться на 4.

Ознака подільності на 4:

б) Передостанню цифру числа помножити на 2, додати останню цифру числа. Отримане число ділиться на 4.

Наприклад, для числа 2428 отримаємо 2⋅2+8=4+8=12, 12 ділиться на 4, тому і дане число ділиться на 4; для числа 2318 маємо 1⋅2+8=2+8=10, 10 не ділиться на 4, тому і дане число не ділиться на 4.

Ознака подільності на 6:

Число ділиться на 2 і на 3 тобто: закінчуються на парну цифру(0,2,4,6,8) і сума цифр числа ділиться на 3.

Наприклад, для числа 6402 маємо: число закінчується на парну цифру і 6+4+0+2=12, 12 ділиться на 3, тому дане число ділиться на 6; остання цифра числа 54353 непарна, тому число 54353 не ділиться на 6; сума цифр числа 2318 дорівнює 2+3+1+8=14, 14 не ділиться на 3, тому дане число не ділиться на 6.

Ознака подільності на 8:

а) Число, утворене трьома останніми цифрами числа ділиться на 8.

Наприклад, останні цифри числа 2432 утворюють число 432, яке ділиться на 8, тому і саме число 2432 ділиться на 8; останні цифри числа 2108 утворюють число 108, яке не ділиться на 8, тому дане число не ділиться на 8.

Ознака подільності на 8:

б) Третю цифру числа помножити на 4,0 додати передостанню цифру числа, помножену на 2, додати останню цифру числа. Отримане число ділиться на 8.

Наприклад, для числа 2432 отримаємо 4⋅4+3⋅2+2=16+6+2=24, 24 ділиться на 8, тому і дане число ділиться на 8; для числа 2108 маємо 1⋅4+0⋅2+8=4+8=12, 12 не ділиться на 8, тому і дане число не ділиться на 8.

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись форму...
8 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Тригонометричні вирази

Функція 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 1 не існує 0 не існує сtg не існує 1 0 не існує 0 Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими: sin 2 α+cos 2 α = 1 tgαctgα = 1 1+tg 2 α = 1+ctg 2 α = tgα = ctgα = Тригонометричні функції суми кутів: sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ tg(α+β) = tg(α-β) = Формули зведення: 1. Визначити знак функції для даного кута. Функція (0,90 o ) (90 o ,180 o ) (180 o ,270 o ) (270 o ,360 o ) sin + + - - cos + - - + tg,ctg + - + - 2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію ...
Дописати коментар
Read more »