Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення, а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей.
Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок, що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні.
1. Правило додавання. Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами.
2. Правило множення. Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами.
3. Перестановки. Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами.
4. Розміщення. Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!} способами.
5. Комбінації. Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} способами.
Примітка. Скорочення факторіалів \frac{7!}{4!}=\frac{4!\cdot5\cdot6\cdot7}{4!}=5⋅6⋅7=210
2. Правило множення. Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами.
3. Перестановки. Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами.
4. Розміщення. Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!} способами.
5. Комбінації. Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} способами.
Примітка. Скорочення факторіалів \frac{7!}{4!}=\frac{4!\cdot5\cdot6\cdot7}{4!}=5⋅6⋅7=210
Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору?
Показати відповідь
1650.
Оскільки порядок вибору листівок не важливий, то 2 білих троянд з 12 можна обрати C_{12}^2=\frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{10!\cdot11\cdot12}{2!10!} = \frac{11\cdot12}{2} = 11 ⋅ 6 = 66 способами. Так як червону троянду треба обрати 1 з 25, то це можна зробити 25 способами. Тоді букет із двох білих троянд й однієї червоної можна обрати 66 ⋅ 25 = 1650 способами.
Оскільки порядок вибору листівок не важливий, то 2 білих троянд з 12 можна обрати C_{12}^2=\frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{10!\cdot11\cdot12}{2!10!} = \frac{11\cdot12}{2} = 11 ⋅ 6 = 66 способами. Так як червону троянду треба обрати 1 з 25, то це можна зробити 25 способами. Тоді букет із двох білих троянд й однієї червоної можна обрати 66 ⋅ 25 = 1650 способами.
- НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути першим або останнім у розкладі?
Показати відповідь240.
Для фізичної культури є 2 варіанти - першим або останнім. Для 5 інших предметів маємо 5 місць, тому всього P5 = 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 варіантів. Тоді для фізичної культури і інших предметів маємо 2 ∙ 120 = 240 варіантів. - НМТ 2023. З трьох хлопців та трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?
Показати відповідь15.
Так як обирають учасників незалежно від статі, то треба обрати 4 учасників з 3 + 3 = 6. Варіантів вибору 4 учасників з 6: C_{6}^4=\frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{4!\cdot5\cdot6}{4!2!} = \frac{5\cdot6}{2!} =\frac{30}{2} = 15 способів. - НМТ 2023. Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із 5 книг, у якому 2 збірники олімпіадних задач та 3 науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є 8 різних збірників та 10 різних науково-популярних книг?
Показати відповідь3360
Варіантів вибору 2 збірників олімпіадних задач з 8: C_{8}^2=\frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{6!\cdot7\cdot8}{2!6!} = \frac{7\cdot8}{2!} =\frac{56}{2}=28 . Варіантів вибору 3 науково-популярних книг з 10: C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{7!\cdot8\cdot9\cdot10}{3!7!} = \frac{8\cdot9\cdot10}{2\cdot3} =4\cdot3\cdot10=120 . Тоді всього варіантів формування такого комплекту книг 28 ⋅ 120 = 3360. - На вершину гори ведуть 5 доріг. Скільки всього є варіантів вибору маршруту підйому на вершину гори однією дорогою, а спуск - іншою?
А Б В Г Д 5 9 10 20 25 Показати відповідьГ.
Оскільки на вершину гори можна вибрати одну з 5 доріг, а назад - одну з чотирьох, що залишилися, то маємо 5⋅4=20 варіантів вибору. - Студент на першому курсі повинен вибрати одну з трьох іноземних мов, яку вивчатиме, та одну з п’яти спортивних секцій, що відвідуватиме. Скільки всього існує варіантів вибору студентом іноземної мови та спортивної секції?
А Б В Г Д 5 8 10 15 28 Показати відповідьГ.
Оскільки іноземну мову можна обрати 3 способами, а секцію – 5, то разом можна обрати 3⋅5=15 способами. - Блок соціальної реклами складається з 4 рекламних роликів: про шкідливість паління, про охорону навколишнього середовища, про дотримання правил дорожнього руху та про велосипедне місто. Ролик про шкідливість паління заплановано показати двічі — першим і останнім, а інші три ролики — по одному разу. Скільки всього існує варіантів формування цього блоку соціальної за вказаним порядком рекламних роликів?
А Б В Г Д 6 8 12 24 120 Показати відповідьА.
Оскільки перший та останній ролик визначено, потрібно визначити лише порядок другого, третього і четвертого із запропонованих. Так як потрібно обрати порядок 3 елементів із 3 запропонованих, то маємо перестановки і їх кількість Р3=3!=1⋅2⋅3=6. - Скільки всього різних п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 0,1,3,5,7 (у числах цифри не повинні повторюватися?
А Б В Г Д 5 24 25 96 120 Показати відповідьГ.
Оскільки перша цифра не може бути 0, то на її місце підходить 4 варіанти, на друге – також 4 (одну цифру забрали, а 0 вже можна ставити, на 3- 3, на 4-2 і на останнє місце залишився один варіант. Маємо 4⋅4⋅3⋅2⋅1=96. - Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
А Б В Г Д 28 56 70 112 Інша відповідь Показати відповідьА.
Оскільки дріб правильний, якщо чисельник менше знаменника, і дроби \frac{2}{4} та \frac{3}{6} вважаються різними, хоча дорівнюють один одному, то для 2 у чисельнику маємо 7 варіантів знаменника, для 3 – 6, для 4 -5 , для 5-4, для 6-3, для 7-2, для 8-1, для 9-0. Отже кількість варіантів 7+6+5+4+3+2+1=28. - У кіоску є 10 видів вітальних листівок з Новим роком. Скільки всього можна утворити різних наборів листівок, кожен із яких складається з трьох листівок різних видів?
А Б В Г Д 30 90 120 240 720 Показати відповідьВ.
Оскільки порядок вибору листівок не важливий, то їх можна обрати C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{7!\cdot8\cdot9\cdot10}{3!7!} = \frac{8\cdot9\cdot10}{2\cdot3} = 4⋅3⋅10 = 120 способами. - Олег пише смс-повідомлення з трьох речень. У кінці кожного з них він прикріпить один із п’ятнадцяти веселих смайликів. Скільки всього є способів вибору таких смайликів для прикріплення, якщо всі смайлики в повідомленні мають бути різними?
Показати відповідь2730.
І спосіб. Так як з 15 смайликів потрібно обрати 3, причому важливий порядок, то маємо розміщення A_{15}^3=\frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{12!\cdot13\cdot14\cdot15}{12!} = 13⋅14⋅15= 2730.
ІІ спосіб. Після першого речення можемо вставити 1 з 15 смайликів; після другого 1 із 14, що залишилися; після третього 1 із 13, що залишилися. Тоді маємо 15⋅14⋅13= 2730 варіантів. - Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні й 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина — бути останньою? Уважайте, що кожну із цих 6 новин у стрічці не повторюють.
Показати відповідь12.
Так як спочатку потрібно обрати 2 політичні новини P2=2!=2 способами, потім 3 суспільні новини P3=3!=2⋅3=6 способами і залиється лише 1 спортивна новина, то маємо 2⋅6⋅1=12 різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці. - На курсах з вивчення іноземних мов як бонус запропоновано два безкоштовні заняття, одне з яких проводитимуть дистанційно, а друге – в аудиторії. Тему кожного з цих двох занять слухач може вибрати самостійно з 10 запропонованих. Скільки всього існує способів вибору форм проведення цих двох занять та різних тем до них?
Показати відповідь90.
1 спосіб. Оскільки потрібно обрати з 10 занять 2, причому порядок важливий (яке заняття дистанційно, а яке - в аудиторії), то маємо розміщення: A_{10}^2=\frac{10!}{(10-2)!}=\frac{10!}{8!}=\frac{8!\cdot9\cdot10}{8!}=9⋅10=90 способів.
2 спосіб. Так як обрати заняття для проведення дистанційно можна 10 способами, а в аудиторії 9 (з 9, що залишилися), то всього 10⋅9=90 способів. - Компанія з 6 дорослих, з яких лише двоє мають відповідні посвідчення водія, сідають в автомобіль, у якому окрім місця водія є ще 5 пасажирських місць. Скільки всього є способів у цих осіб зайняти місця в автомобілі, якщо на місці водія має бути особа з відповідним посвідченням?
Показати відповідь240.
Оскільки водія можна обрати лише 2 способами, а на інші 5 місць всі можливі способи із 5 дорослих, що залишилися після вибору водія, то маємо 2⋅P5=2⋅1⋅2⋅3⋅4⋅5=240 способів. - Довідкову інформацію промовляють почергово по одному разу п’ятьма мовами: українською, англійською, німецькою, російською та польською. Скільки всього є варіантів послідовностей озвучування цієї інформації цими п’ятьма мовами, якщо спочатку її промовляють українською?
Показати відповідь24.
Оскільки спочатку промовляють певною мовою (українською), то потрібно розставити послідовність з 4 мов. Маємо Р4=4!=24 варіанти. - У школі є два одинадцятих класи. В 11-А класі навчається 12 хлопців та 8 дівчат, а в 11-Б – 9 хлопців та 15 дівчат. З учнів цих двох класів потрібно обрати двох ведучих для проведення святкового вечора, причому хлопець має бути з 11-А класу, а дівчина – з 11-Б. Скільки всього існує варіантів вибору таких пар ведучих?
Показати відповідь180.
Оскільки хлопця можна обрати 12 способами, а дівчину – 15, то маємо 12⋅15=180. - Студенти однієї з груп під час сесії повинні скласти п’ять іспитів. Заступнику декана потрібно призначити складання цих іспитів на п’ять визначених дат. Скільки всього існує різних варіантів розкладу іспитів для цієї групи?
Показати відповідь120.
Оскільки з 5 дат вибираємо 5, то це перестановки. Маємо Р5=5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120. - Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?
Показати відповідь12.
На перше місце можна поставити будь-яку з 4, а на друге – будь-яку з 3, що залишилися. Тому маємо 4⋅3=12. - Скільки всього існує різних двоцифрових чисел, у яких перша цифра є парною, а друга – непарною?
Показати відповідь20.
На перше місце можна поставити будь-яку цифру з 4 (2,4,6,8; 0 не можна використовувати на початку числа), а на друге – будь-яку з 5 (1,3,5,7,9). Тому маємо 4⋅5=20. - Для роботи на уроках геометрії учню потрібно придбати лінійку й транспортир. У магазині канцелярських товарів у продажу є три види транспортирів та чотири види лінійок, а також два види наборів, що складаються з лінійки й транспортира. Скільки всього в учня є варіантів придбання лінійки й транспортира в цьому магазині?
Показати відповідь14.
Оскільки транспортир можна обрати 3 способами, а лінійку – 4, то обрати транспортир з лінійкою можна 3⋅4=12 способами. Крім того, маємо ще 2 набори. Тоді остаточно 12+2=14. - У фінал пісенного конкурсу вийшло 4 солісти та 3 гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них — солісти? Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз?
Показати відповідь144.
Оскільки варіантів виступів гуртів P3=3!=1⋅2⋅3=6, а варіантів виступів солістів P4=4!=1⋅2⋅3⋅4=24, то варіантів виступів спочатку гуртів, а потім солістів 6⋅24=144. - Для оформлення салону краси вирішили замовити в магазині квітів 2 орхідеї різних кольорів та 5 кущів хризантем п’яти різних кольорів. Усього в магазині є в продажу орхідеї 10 кольорів та кущі хризантем 8 кольорів. Скільки всього є способів формування такого замовлення?
Показати відповідь2520.
Оскільки орхідеї можна обратиC_{10}^2 способами, а хризантеми C_8^5, то маємо C_{10}^{2}\cdot{C_{8}^{5}}=\frac{10!}{2!(10-2)!}\cdot\frac{8!}{5!(8-5)!}=\frac{10!}{2!8!}\cdot\frac{8!}{5!3!}=\frac{9\cdot10}{2!}\cdot\frac{6\cdot7\cdot8}{3!}=9⋅5⋅7⋅8=2520 способів. - В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та дві фотографії свого класу для сайту школи?
Показати відповідь840.
Оскільки свої фотографії можна обратиC_8^3 способами, а фотографії класу C_6^2, то маємо C_{8}^{3}C_{6}^{2}=\frac{8!}{3!(8-3)!}\frac{6!}{2!(6-2)!}=840. - Марійка зірвала на клумбі 9 нарцисів та 4 тюльпани. Скільки всього існує способів вибору із цих квітів 3 нарцисів та 2 тюльпанів для букета?
Показати відповідь504.
Оскільки нарциси можна обратиC_9^3 способами, а тюльпани C_4^2, то маємо C_{9}^{3}C_{4}^{2}=\frac{9!}{3!(9-3)!}\frac{4!}{2!(4-2)!}=504. - Піцерія пропонує послугу “Зроби піцу сам”, що передбачає вибір клієнтом добавок для піци. Поміж добавок — 8 м’ясних (шинка, ковбаса та інші) і 9 овочевих (цибуля, перець та інші). Клієнт вибирає 2 м’ясні добавки, однією з яких обов’язково має бути шинка, і 3 — овочевих, за винятком цибулі. Скільки всього існує варіантів такого вибору добавок клієнтом?
Показати відповідь392.
Оскільки з 2 м'ясних добавок одна обов'язково шинка, то потрібно обрати 1 з 7, що залишилися, тобто її можна обрати C_7^1 способами. Потрібно обрати 3 овочеві добавки з 8 (цибулю виключаємо), їх можна обрати C_8^3. Тоді існує C_{7}^{1}\cdot{C_{8}^{3}}=\frac{7!}{1!(7-1)!}\cdot\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{7!}{6!}\cdot\frac{8!}{3!5!}=7\cdot\frac{6\cdot7\cdot8}{3!}=7⋅7⋅8=392. - Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п’яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?
Показати відповідь240.
Автобуси можна розставити 5! способами, а автомобілі – 2! способами, то маємо 5!⋅2!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅1⋅2=240. - У магазині в продажу є 6 видів тарілок, 8 видів блюдець та 12 видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів в Олени купити бабусі такий подарунок?
Показати відповідь102.
Блюдце можна вибрати 8 способами, а чашку - 12 способами. Тоді чашку та блюдце можна вибрати 8⋅12=96 способами. Тарілку можна вибрати 6 способами, тому чашку та блюдце, або лише тарілку можна вибрати 96+6=102 способами. - У чайному кіоску в наявності є лише розфасований у коробки по 100 г листовий чорний чай 8 видів, серед яких є вид «чорна перлина». Покупець вирішив придбати в цьому кіоску для подарункового набору три коробки чорного чаю трьох різних видів, серед яких обов’язково повинен бути вид «чорна перлина». Скільки всього в покупця є варіантів такого придбання трьох коробок чаю для набору з наявних у кіоску?
Показати відповідь21.
Оскільки «чорна перлина» повинна бути обов’язково, то потрібно вибрати лише 2 коробки з 7, що залишилося. Тому маємо C_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=21. - Скільки існує різних дробів \frac{m}{n}, якщо m набуває значень 1; 2 або 4, а n набуває значень 5; 7; 11; 13 або 17?
Показати відповідь15.
Оскільки чисельник може набувати 3 значень, а знаменник – 5, то за правилом добутку маємо 3⋅5=15 варіантів.
Коментарі