Перейти до основного вмісту

Координати у просторі

    Координати точки
    • Якщо точка належить осі ОХ, то вона має координати (х;0;0), якщо точка належить осі ОУ, то вона має координати (0;у;0), якщо точка належить осі ОZ, то вона має координати (0;0;z)
    • Якщо точка належить площині ОХУ, то вона має координати (х;у;0), якщо точка належить площині ОУZ, то вона має координати (0;у;z), якщо точка належить площині ОХZ, то вона має координати (х;0;z)
    • Відстань між точками А(хA;yA;zA) та B(хB;yB;zB) знаходять за формулою AB=
    • Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: хO=, yO=, zO=
  1. НМТ 2024. У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму ABCDA1B1C1D1. Діагоналі основи ABCD перетинаються в точці M. Висота призми втричі більша за сторону AB. Обчисліть об’єм цієї призми, якщо A(4; √10; 3), M(–2; 0; 1).
    Показати відповідь
    3000. Оскільки точка належить осі Оz, то в неї координати х та у дорівнюють 0. Цій умові задовольняє лише точка F.
  2. Яка з наведених точок належить осі Оz прямокутної системи координат у просторі?
    АБВГД
    М(0;-3;0) N(3;0;-3) K(-3;0;0) L(-3;3;0) F(0;0;-3)
    Показати відповідь
    Д.
    Оскільки точка належить осі Оz, то в неї координати х та у дорівнюють 0. Цій умові задовольняє лише точка F.
  3. У прямокутній декартовій системі координат у просторі на осі z вибрано точку М (див. рисунок). Серед наведених варіантів укажіть можливі координати цієї точки.

    АБВГД
    (1;0;0) (1;1;0) (0;0;1) (0;0;-1) (0;1;0)
    Показати відповідь
    В
    Оскільки точка належить осі Оz, то в неї координати х та у дорівнюють 0. Так як точка лежить на додатному напряму осі Oz, то координата z в неї додатня. Маємо відповідь В.
  4. Знайдіть відстань від точки А (2;3;6) до осі Oz.
    АБВГД
    7 6 5 3
    Показати відповідь
    А.

    За малюнком відстань від точки А до осі Оz дорівнює проекції даного відрізка на площину Оху, тобто довжині діагоналі прямокутника зі сторонами 2 та 3. За теоремою Піфагора квадрат цього відрізка дорівнює 32+22=9+4=13. Отже шукана відстань дорівнює .
  5. У прямокутній системі координат у просторі знайдіть відстань від точки М(0;8;6) до осі Oу.
    АБВГД
    6 7 8 10 14
    Показати відповідь
    А

    Так як перша координата точки М дорівнює 0, то точка лежить в площині Оуz. За малюнком відстань від точки М до осі Оу дорівнює 6.
  6. Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А(-1;0;5) і В(-1;0;8) на координатну площину ху є:
    АБВГД
    пряма промінь відрізок точка фігура, що відрізняється від перелічених
    Показати відповідь
    Г
    Так як координати х та у у кінців відрізка рівні, то він перпендикулярний до площини Оху і ортогональною проекцією на цю площину буде точка
    7. Рівняння сфери
    • Сфера, з центром у точки О (хО;yО;zО) і радіусом R має рівняння
      (x-хО)2+(y-yО)2+(z-zО)2=R2
  7. У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці М. Відрізок АВ — діаметр цієї сфери. Визначте координати точки М, якщо А (2;-1;0), В (8;3;2).
    АБВГД
    (10;2;2) (6;4;2) (3;2;1) (5;1;2) (5;1;1)
    Показати відповідь
    Д.
    Так як точка М - центр сфери, а АВ - її діаметр, то точка М - середина АВ. Маємо за формулами координат середини відрізка хM=(хA+хB):2=(2+8):2=5, yM=(yA+yB):2=(-1+3):2=1, zM=(zA+zB):2=(0+2):2=1. Маємо точку (5;1;1).
  8. У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у початку координат, якій належить точка А (0;0;-5). Яка з наведених точок також належить цій сфері?
    АБВГД
    К(5;5;0) L(0;1;4) M(0;0;10) N(0;0;5) P(5;5;5)
    Показати відповідь
    Г.
    Відстань від центра сфери до точки А дорівнює 5. Тоді сфері належать всі точки, відстань від яких до центра сфери (початку координат О(0;0;0)) дорівнює 5 (квадрат відстані дорівнює 25). Маємо:
    KO2=(5-0)2+(5-0)2+(0-0)2=25+25=50≠25
    LO2=(0-0)2+(1-0)2+(4-0)2=1+16=17≠25
    MO2=(0-0)2+(0-0)2+(10-0)2=100≠25
    NO2=(0-0)2+(0-0)2+(5-0)2=25
    KO2=(5-0)2+(5-0)2+(5-0)2=25+25+25=75≠25
    Отже підходить лише точка N.
  9. На рисунку зображено прямокутну систему координат у просторі, на осях якої позначено точки K, L, M, N. Установіть відповідність між точками K, L, M, N (1-4) та їхніми можливими координатами (А-Д).

    Точка Координати
    1 К
    2 L
    3 M
    4 N     		А (-3;0;0)
    Б (0;-3;0)
    В (0;0;-3)
    Г (0;0;3)
    Д (0;3;0)
    Показати відповідь
    1-Б, 2-Г, 3-А, 4-Д.
    1) Точка К лежить на від’ємному напряму осі Оу, тому її координати по x і z дорівнюють 0, а у від’ємний. Точка (0;-3;0).
    2) Точка L лежить на додатному напряму осі Оz, тому її координати по x і y дорівнюють 0, а z додатній. Точка (0;0;3).
    3) Точка М лежить на від’ємному напряму осі Оx, тому її координати по y і z дорівнюють 0, а x від’ємний. Точка (-3;0;0) .
    4) Точка N лежить на додатному напряму осі Оу, тому її координати по x і z дорівнюють 0, а у додатній. Точка (0;3;0).
  10. У прямокутній декартовій системі координат xyz у просторі задано точку М(1;-4;8). Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Відстань від точки М до площини ху дорівнює
    2 Відстань від точки М до початку координат дорівнює
    3 Відстань від точки М до осі z дорівнює
    4 Відстань від точки М до точки N(1;0;8) дорівнює     		А 1
    Б 4
    В
    Г 8
    Д 9
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Д, 3-В, 4-Б.
    1) Відстань від точки до площини ху дорівнює модулю координати z. Отже відстань дорівнює 8.
    2) MO2=(1-0)2+(-4-0)2+(8-0)2=1+16+64=81. Отже МО=9.
    3) Відстань від точки М до осі Оz дорівнює проекції даного відрізка на площину Оху, тобто довжині діагоналі прямокутника зі сторонами 1 та 4. За теоремою Піфагора квадрат цього відрізка дорівнює 12+42=1+16=17. Отже шукана відстань дорівнює .
    4) MN2=(1-1)2+(-4-0)2+(8-8)2=0+16+0=16. Отже МО=4.
⇐VІ.10.
Комбінації тіл		 До змісту ⇒VІ.12.
Вектори у просторі

Коментарі

Unknown каже…
Найкращий сайт!!!
12 червня 2020 р. о 13:50
Анонім каже…
Топ сайт
2 червня 2023 р. о 09:41
Анонім каже…
Підтримую
2 червня 2023 р. о 09:41
Анонім каже…
Дуже гарний сайт, дякую дуже!
8 червня 2023 р. о 22:39
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар