Координати у просторі

Координати у просторі — основа аналітичної геометрії, що дозволяє описувати положення будь-якої точки за допомогою трійки чисел (x; y; z). На цій сторінці ми розберемо ключові поняття: розташування точок на координатних осях і площинах, обчислення відстані між точками та знаходження центру відрізка.

Особливу увагу приділено рівнянню сфери та розв'язанню практичних завдань. Ви знайдете покрокові пояснення до задач НМТ минулих років, включаючи складні комплексні завдання. Ці матеріали допоможуть вам структурувати знання та навчитися швидко знаходити правильні відповіді на іспиті!

---

Координати точки

• Якщо точка належить осі ОХ, то вона має координати (х;0;0), якщо точка належить осі ОУ, то вона має координати (0;у;0), якщо точка належить осі ОZ, то вона має координати (0;0;z)
• Якщо точка належить площині ОХУ, то вона має координати (х;у;0), якщо точка належить площині ОУZ, то вона має координати (0;у;z), якщо точка належить площині ОХZ, то вона має координати (х;0;z)
• Відстань між точками А(х_A;y_A;z_A) та B(х_B;y_B;z_B) знаходять за формулою AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
• Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: х_O=\frac{x_A+x_B}{2}, y_O=\frac{y_A+y_B}{2}, z_O=\frac{z_A+z_B}{2}
1. НМТ 2024. У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Діагоналі основи ABCD перетинаються в точці M. Висота призми втричі більша за сторону AB. Обчисліть об’єм цієї призми, якщо A(4; √10; 3), M(–2; 0; 1).
   Показати відповідь

   3000.
   Знайдемо довжину відрізка AM (половина діагоналі основи). AМ=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2+(z_M-z_A)^2}=\sqrt{(-2-4)^2+(0-\sqrt{10})^2+(1-3)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-\sqrt{10})^2+(-2)^2}=\sqrt{36+10+4}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}. Тоді діагональ AC = 2 ⋅ AM = 10\sqrt{2}. Так як діагональ квадрата d = a√2, то АВ = 10\sqrt{2}:\sqrt{2}=10 .Знайдемо висоту. За умовою H = 3 ⋅ AB = 3⋅10=30. V = S_осн ⋅ H = 10² ⋅ 30 = 100 ⋅ 30 = 3000.

---

2. Яка з наведених точок належить осі Оz прямокутної системи координат у просторі?

   А	Б	В	Г	Д
   М(0;-3;0)	N(3;0;-3)	K(-3;0;0)	L(-3;3;0)	F(0;0;-3)

   Показати відповідь

   Д.
   Оскільки точка належить осі Оz, то в неї координати х та у дорівнюють 0. Цій умові задовольняє лише точка F.
3. У прямокутній декартовій системі координат у просторі на осі z вибрано точку М (див. рисунок). Серед наведених варіантів укажіть можливі координати цієї точки.

   

   А	Б	В	Г	Д
   (1;0;0)	(1;1;0)	(0;0;1)	(0;0;-1)	(0;1;0)

   Показати відповідь

   В
   Оскільки точка належить осі Оz, то в неї координати х та у дорівнюють 0. Так як точка лежить на додатному напряму осі Oz, то координата z в неї додатня. Маємо відповідь В.
4. Знайдіть відстань від точки А (2;3;6) до осі Oz.

   А	Б	В	Г	Д
   \sqrt{13}	7	6	5	3\sqrt{5}

   Показати відповідь

   А.

   

   За малюнком відстань від точки А до осі Оz дорівнює проекції даного відрізка на площину Оху, тобто довжині діагоналі прямокутника зі сторонами 2 та 3. За теоремою Піфагора квадрат цього відрізка дорівнює 3²+2²=9+4=13. Отже шукана відстань дорівнює \sqrt{13}.
5. У прямокутній системі координат у просторі знайдіть відстань від точки М(0;8;6) до осі Oу.

   А	Б	В	Г	Д
   6	7	8	10	14

   Показати відповідь

   А

   

   Так як перша координата точки М дорівнює 0, то точка лежить в площині Оуz. За малюнком відстань від точки М до осі Оу дорівнює 6.
6. Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А(-1;0;5) і В(-1;0;8) на координатну площину ху є:

   А	Б	В	Г	Д
   пряма	промінь	відрізок	точка	фігура, що відрізняється від перелічених

   Показати відповідь

   Г
   Так як координати х та у у кінців відрізка рівні, то він перпендикулярний до площини Оху і ортогональною проекцією на цю площину буде точка
Рівняння сфери

• Сфера, з центром у точки О (х_О;y_О;z_О) і радіусом R має рівняння
  (x-х_О)²+(y-y_О)²+(z-z_О)²=R²
7. У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці М. Відрізок АВ — діаметр цієї сфери. Визначте координати точки М, якщо А (2;-1;0), В (8;3;2).

   А	Б	В	Г	Д
   (10;2;2)	(6;4;2)	(3;2;1)	(5;1;2)	(5;1;1)

   Показати відповідь

   Д.
   Так як точка М - центр сфери, а АВ - її діаметр, то точка М - середина АВ. Маємо за формулами координат середини відрізка х_M=(х_A+х_B):2=(2+8):2=5, y_M=(y_A+y_B):2=(-1+3):2=1, z_M=(z_A+z_B):2=(0+2):2=1. Маємо точку (5;1;1).
8. У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у початку координат, якій належить точка А (0;0;-5). Яка з наведених точок також належить цій сфері?

   А	Б	В	Г	Д
   К(5;5;0)	L(0;1;4)	M(0;0;10)	N(0;0;5)	P(5;5;5)

   Показати відповідь

   Г.
   Відстань від центра сфери до точки А дорівнює 5. Тоді сфері належать всі точки, відстань від яких до центра сфери (початку координат О(0;0;0)) дорівнює 5 (квадрат відстані дорівнює 25). Маємо:
   KO²=(5-0)²+(5-0)²+(0-0)²=25+25=50≠25
   LO²=(0-0)²+(1-0)²+(4-0)²=1+16=17≠25
   MO²=(0-0)²+(0-0)²+(10-0)²=100≠25
   NO²=(0-0)²+(0-0)²+(5-0)²=25
   KO²=(5-0)²+(5-0)²+(5-0)²=25+25+25=75≠25
   Отже підходить лише точка N.
9. На рисунку зображено прямокутну систему координат у просторі, на осях якої позначено точки K, L, M, N. Установіть відповідність між точками K, L, M, N (1-4) та їхніми можливими координатами (А-Д).

   

   Точка	Координати
   1 К 2 L 3 M 4 N	А (-3;0;0) Б (0;-3;0) В (0;0;-3) Г (0;0;3) Д (0;3;0)

   Показати відповідь

   1-Б, 2-Г, 3-А, 4-Д.
   1) Точка К лежить на від’ємному напряму осі Оу, тому її координати по x і z дорівнюють 0, а у від’ємний. Точка (0;-3;0).
   2) Точка L лежить на додатному напряму осі Оz, тому її координати по x і y дорівнюють 0, а z додатній. Точка (0;0;3).
   3) Точка М лежить на від’ємному напряму осі Оx, тому її координати по y і z дорівнюють 0, а x від’ємний. Точка (-3;0;0) .
   4) Точка N лежить на додатному напряму осі Оу, тому її координати по x і z дорівнюють 0, а у додатній. Точка (0;3;0).
10. У прямокутній декартовій системі координат xyz у просторі задано точку М(1;-4;8). Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Відстань від точки М до площини ху дорівнює 2 Відстань від точки М до початку координат дорівнює 3 Відстань від точки М до осі z дорівнює 4 Відстань від точки М до точки N(1;0;8) дорівнює	А 1 Б 4 В \sqrt{17} Г 8 Д 9

    Показати відповідь

    1-Г, 2-Д, 3-В, 4-Б.
    1) Відстань від точки до площини ху дорівнює модулю координати z. Отже відстань дорівнює 8.
    2) MO²=(1-0)²+(-4-0)²+(8-0)²=1+16+64=81. Отже МО=9.
    3) Відстань від точки М до осі Оz дорівнює проекції даного відрізка на площину Оху, тобто довжині діагоналі прямокутника зі сторонами 1 та 4. За теоремою Піфагора квадрат цього відрізка дорівнює 1²+4²=1+16=17. Отже шукана відстань дорівнює \sqrt{17}.
    4) MN²=(1-1)²+(-4-0)²+(8-8)²=0+16+0=16. Отже МО=4.

⇐VІ.10. Комбінації тіл

До змісту

⇒VІ.12. Вектори у просторі