Координати у просторі

Координати точки

Якщо точка належить осі ОХ, то вона має координати (х;0;0), якщо точка належить осі ОУ, то вона має координати (0;у;0), якщо точка належить осі ОZ, то вона має координати (0;0;z)
Якщо точка належить площині ОХУ, то вона має координати (х;у;0), якщо точка належить площині ОУZ, то вона має координати (0;у;z), якщо точка належить площині ОХZ, то вона має координати (х;0;z)
Відстань між точками А(х_A;y_A;z_A) та B(х_B;y_B;z_B) знаходять за формулою AB= $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: х_O= $\frac{x_A+x_B}{2}$ , y_O= $\frac{y_A+y_B}{2}$ , z_O= $\frac{z_A+z_B}{2}$

НМТ 2024. У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Діагоналі основи ABCD перетинаються в точці M. Висота призми втричі більша за сторону AB. Обчисліть об’єм цієї призми, якщо A(4; √10; 3), M(–2; 0; 1).
Відповідь

3000.

Яка з наведених точок належить осі Оz прямокутної системи координат у просторі?

А	Б	В	Г	Д
М(0;-3;0)	N(3;0;-3)	K(-3;0;0)	L(-3;3;0)	F(0;0;-3)

Відповідь

Д.

У прямокутній декартовій системі координат у просторі на осі z вибрано точку М (див. рисунок). Серед наведених варіантів укажіть можливі координати цієї точки.

А	Б	В	Г	Д
(1;0;0)	(1;1;0)	(0;0;1)	(0;0;-1)	(0;1;0)

Відповідь

Знайдіть відстань від точки А (2;3;6) до осі Oz.

А	Б	В	Г	Д
$\sqrt{13}$	7	6	5	3 $\sqrt{5}$

Відповідь

А. Побудувати малюнок, за ним визначити як шукати відстань, застосувати теорему Піфагора.

У прямокутній системі координат у просторі знайдіть відстань від точки М(0;8;6) до осі Oу.

А	Б	В	Г	Д
6	7	8	10	14

Відповідь

А. За малюнком визначити відстань.

Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А(-1;0;5) і В(-1;0;8) на координатну площину ху є:

А	Б	В	Г	Д
пряма	промінь	відрізок	точка	фігура, що відрізняється від перелічених

Відповідь

Г.

Рівняння сфери

Сфера, з центром у точки О (х_О;y_О;z_О) і радіусом R має рівняння
(x-х_О)²+(y-y_О)²+(z-z_О)²=R²

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці М. Відрізок АВ — діаметр цієї сфери. Визначте координати точки М, якщо А (2;-1;0), В (8;3;2).

А	Б	В	Г	Д
(10;2;2)	(6;4;2)	(3;2;1)	(5;1;2)	(5;1;1)

Відповідь

Д.
Скористатись формулами координат середини відрізка.

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у початку координат, якій належить точка А (0;0;-5). Яка з наведених точок також належить цій сфері?

А	Б	В	Г	Д
К(5;5;0)	L(0;1;4)	M(0;0;10)	N(0;0;5)	P(5;5;5)

Відповідь

Г.
Знайти радіус і порівняти його з відстанями від запропонованих точок до центра сфери.

На рисунку зображено прямокутну систему координат у просторі, на осях якої позначено точки K, L, M, N. Установіть відповідність між точками K, L, M, N (1-4) та їхніми можливими координатами (А-Д).

Точка	Координати
1 К 2 L 3 M 4 N	А (-3;0;0) Б (0;-3;0) В (0;0;-3) Г (0;0;3) Д (0;3;0)

Відповідь

1-Б, 2-Г, 3-А, 4-Д.
Визначити характеристики координат в залежності від розміщення точки.

У прямокутній декартовій системі координат xyz у просторі задано точку М(1;-4;8). Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Відстань від точки М до площини ху дорівнює 2 Відстань від точки М до початку координат дорівнює 3 Відстань від точки М до осі z дорівнює 4 Відстань від точки М до точки N(1;0;8) дорівнює	А 1 Б 4 В $\sqrt{17}$ Г 8 Д 9