Трапеція та її властивості — це тема, яка вимагає не лише знання формул, а й навичок додаткових побудов. Більшість задач НМТ на трапецію розв’язуються через проведення висот, які відтинають прямокутні трикутники, або використання властивостей середньої лінії. На цій сторінці ми зібрали розбір актуальних завдань НМТ та ЗНО, де ви знайдете приклади роботи з рівнобічними, прямокутними та описаними навколо кола трапеціями.
Особливу увагу приділено методам пошуку основ та бічних сторін через теорему Піфагора та подібність трикутників. Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної задачі з демонстраційного варіанта або тестів минулих років — просто гортайте вниз. Кожен приклад містить детальне пояснення кроків та необхідні креслення.
Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони (основи) паралельні, а інші - ні (бічні сторони).
Види трапецій:
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). На рисунку зображено прямокутну трапецію АВСD. Точка О – середина діагоналі AC, AB = BC, AC = 40 см, CD = 24 см. Узгодьте відрізок (1– 3) із його довжиною (А – Д).
Види трапецій:
- Рівнобічна - бічні сторони рівні
- Прямокутна - одна з бічних сторін перпендикулярна до основи
1 AO
2 AD
3 AB
2 AD
3 AB
А 20
Б 16
В 25
Г 27
Д 32
Б 16
В 25
Г 27
Д 32
Показати відповідь
1–А, 2–Д, 3–В.
1. Так як т. О - середина АС, то АО = АС : 2 = 40 : 2 = 20 см.
2. Так як ∠D = 90°, то трикутник АСD є прямокутним. Тоді за теоремою Піфагора AD² = AC² - CD² = 40² - 24² = 1600 - 576 = 1024. Звідси AD = √1024 = 32 см.
3. Нехай АВ = ВС = х см. Проведемо з точки В висоту ВК. Так як KBCD - прямокутник, то ВК = CD = 24 см, KD = BC = х см. В прямокутному трикутнику АВК маємо АК = 32 - х (АК = AD - KD), ВК = 24 см, АВ = х см. Запишемо теорему Піфагора.
AB² = AK² + BK²
x² = (32 - x)² + 24²
x² = 1024 - 64x + x² + 576
x² + 64x - x² = 1024 + 576
64x = 1600
x = 1600 : 64
x = 25. Отже АВ = 25 см.
Завдання 2. Трапеція AKCD складається з квадрата ABCD та трикутника BKC (див. рисунок). Периметр квадрата ABCD дорівнює 24 см, середня лінія трапеції AKCD дорівнює 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1. Так як т. О - середина АС, то АО = АС : 2 = 40 : 2 = 20 см.
2. Так як ∠D = 90°, то трикутник АСD є прямокутним. Тоді за теоремою Піфагора AD² = AC² - CD² = 40² - 24² = 1600 - 576 = 1024. Звідси AD = √1024 = 32 см.
3. Нехай АВ = ВС = х см. Проведемо з точки В висоту ВК. Так як KBCD - прямокутник, то ВК = CD = 24 см, KD = BC = х см. В прямокутному трикутнику АВК маємо АК = 32 - х (АК = AD - KD), ВК = 24 см, АВ = х см. Запишемо теорему Піфагора.
AB² = AK² + BK²
x² = (32 - x)² + 24²
x² = 1024 - 64x + x² + 576
x² + 64x - x² = 1024 + 576
64x = 1600
x = 1600 : 64
x = 25. Отже АВ = 25 см.
1 Довжина відрізка BK дорівнює
2 Довжина відрізка KC дорівнює
3 Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнює
2 Довжина відрізка KC дорівнює
3 Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнює
А 8 см.
Б 7 см.
В 6 см.
Г 10 см.
Д 12 см.
Б 7 см.
В 6 см.
Г 10 см.
Д 12 см.
Показати відповідь
1-А, 2-Г, 3-Б.1. Так як PABCD = 4AB = 24, то АВ = 24 : 4 = 6 см. Тоді AK = KB + 6. Знайдемо середню лінію трапеції AKCD. \frac{AK + CD}{2} = \frac{KB + 6 + 6}{2} і дорівнює 10. Тому
\frac{KB + 12}{2} = 10
KB + 12 = 10 · 2
KB + 12 = 20
KB = 20 - 12
КВ = 8 см
2. З прямокутного ∆KBC за теоремою Піфагора KC² = KB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Звідси KC = √100 = 10 см
3. Так як ∆ВКС прямокутний, то центр кола, описаного навколо нього - т. L. Центр кола, описаного навколо квадрата - т N. NM = AB : 2 = 6 : 2 = 3 см. LN = LM - NM = 10 - 3 = 7 см.
Завдання 3. Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
\frac{KB + 12}{2} = 10
KB + 12 = 10 · 2
KB + 12 = 20
KB = 20 - 12
КВ = 8 см
2. З прямокутного ∆KBC за теоремою Піфагора KC² = KB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Звідси KC = √100 = 10 см
3. Так як ∆ВКС прямокутний, то центр кола, описаного навколо нього - т. L. Центр кола, описаного навколо квадрата - т N. NM = AB : 2 = 6 : 2 = 3 см. LN = LM - NM = 10 - 3 = 7 см.
1 Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
2 Довжина більшої основи трапеції дорівнює
3 Довжина висоти трапеції дорівнює
2 Довжина більшої основи трапеції дорівнює
3 Довжина висоти трапеції дорівнює
А 18 см.
Б 24 см.
В 25 см.
Г 32 см.
Д 36 см.
Б 24 см.
В 25 см.
Г 32 см.
Д 36 см.
Показати відповідь
1-В, 2-Г, 3-Б. 1. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні. Тому сума основ трапеції дорівнює сумі бічних сторін. Так як разом вони складають 100 см, то сума основ трапеції 100 : 2 = 50 см. Середня лінія трапеції дорівнює половині суми основ трапеції, тобто 50 : 2 = 25 см.
2. Нехай менша основа трапеції дорівнює x, тоді більша дорівнює 50 - x (їх сума 50). За умовою різниця основ дорівнює 14. Маємо рівняння:
50 - x - x = 14
- 2x = 14 - 50
- 2x = - 36
x = 18.
Отже, менша основа трапеції 18 см, більша основа трапеції 50 - 18 = 32 см.
3. Проведемо висоти BK і CL. BCLK - прямокутник, тому KL = ВС = 18 см. Так як трапеція рівнобічна, то AK = LD = (32 - 18) : 2 = 14 : 2 = 7 см. Так як бічні сторони трапеції рівні, а їх сума 50, то АВ = CD = 50 : 2 = 25 см. З прямокутного ∆АВК за теоремою Піфагора BK² = AB² - AK² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, BK = √576 = 24 см.
Завдання 4. Які з наведених тверджень є правильними?2. Нехай менша основа трапеції дорівнює x, тоді більша дорівнює 50 - x (їх сума 50). За умовою різниця основ дорівнює 14. Маємо рівняння:
50 - x - x = 14
- 2x = 14 - 50
- 2x = - 36
x = 18.
Отже, менша основа трапеції 18 см, більша основа трапеції 50 - 18 = 32 см.
3. Проведемо висоти BK і CL. BCLK - прямокутник, тому KL = ВС = 18 см. Так як трапеція рівнобічна, то AK = LD = (32 - 18) : 2 = 14 : 2 = 7 см. Так як бічні сторони трапеції рівні, а їх сума 50, то АВ = CD = 50 : 2 = 25 см. З прямокутного ∆АВК за теоремою Піфагора BK² = AB² - AK² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, BK = √576 = 24 см.
І. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
ІІІ. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
лише ІІІ
лише І та ІІІ
лише І та ІІ
лише ІІ та ІІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
А. І. Середня лінія трапеції проходить нижче точки перетину діагоналей. Не є правильним.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники тільки у рівнобічній трапеції. Не є правильним.
III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Правильно.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники тільки у рівнобічній трапеції. Не є правильним.
III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні. Правильно.
Завдання 5. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
ІІ. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює 180°
ІІІ. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює 180°.
лише І
лише ІІ
лише І й ІІ
лише ІІ й ІІІ
І, ІІ й ІІІ
Показати відповідь
Б. І. Бічні сторони трапеції не паралельні. Не є правильним
ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішніми односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Правильно.
III. Сума протилежних кутів 180° лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним.
Завдання 6. Діагоналі трапеції ABCD (AD || BC) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо AD = 24 см, АО = 9 см, ОС = 6 см.
ІІ. Кути, прилеглі до бічної сторони трапеції є внутрішніми односторонніми, тому їх сума дорівнює 180°. Правильно.
III. Сума протилежних кутів 180° лише у рівнобічної трапеції. Не є правильним.
6 см
9 см
12 см
16 см
18 см
Показати відповідь
Г.
Маємо паралельні прямі BC і AD та січну АС. Тоді маємо рівні внутрішні різносторонні кути ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC. Звідси трикутники AOD і COB подібні і для подібних трикутників маємо AD : BC = AO : OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 24 : BC = 9 : 6. За властивостями пропорцій маємо BC = 24 · 6 : 9 = 16 см.
Завдання 7. На більшій основі AD рівнобічної трапеції ABCD вибрано точки К та М так, що BK || CD, MC || AB (див. рисунок). Відрізки ВК та СМ перетинаються в точці О, BO : OK = 2 : 3. Периметр чотирикутника АВСМ дорівнює 84, ВС = 12. Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).
1 АВ
2 МК
3 середня лінія трапеції ABCD
2 МК
3 середня лінія трапеції ABCD
А 21
Б 30
В 18
Г 27
Д 54
Б 30
В 18
Г 27
Д 54
Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-Г. 1. Так як MC || AB, то ABCM - паралелограм. Периметр цього паралелограма можна знайти за формулою P = 2(АВ + ВС). Звідси:
84 = 2(АВ + 12)
84 = 2АВ + 24
2AB = 84 - 24
2AB = 60
AB = 30.
2. Трикутники ВСО і КМО подібні (у них рівні кути як внутрішні різносторонні при січних ВК і СМ). Тоді BO : OK = BC : MK. Звідси:
2 : 3 = 12 : MK
MK = 3 · 12 : 2 = 18.
3. Так як BK || CD, то BCDK - паралелограм. Тоді KD = BC = 12. AD = AM + MK + KD = 12 + 18 + 12 = 42. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо \frac{12 + 42}{2} = 27.
Завдання 8. Бічні сторони АВ та CD прямокутної трапеції ABCD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1-3) та його довжиною (А-Д).
84 = 2(АВ + 12)
84 = 2АВ + 24
2AB = 84 - 24
2AB = 60
AB = 30.
2. Трикутники ВСО і КМО подібні (у них рівні кути як внутрішні різносторонні при січних ВК і СМ). Тоді BO : OK = BC : MK. Звідси:
2 : 3 = 12 : MK
MK = 3 · 12 : 2 = 18.
3. Так як BK || CD, то BCDK - паралелограм. Тоді KD = BC = 12. AD = AM + MK + KD = 12 + 18 + 12 = 42. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо \frac{12 + 42}{2} = 27.
1 основа ВС
2 проекція сторони CD на пряму AD
3 середня лінія трапеції ABCD
2 проекція сторони CD на пряму AD
3 середня лінія трапеції ABCD
А 6 см
Б 8 см
В 10\sqrt 2 см
Г 10 см
Д 14 см
Б 8 см
В 10\sqrt 2 см
Г 10 см
Д 14 см
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г.
1. Так як АС - бісектриса, то ∠BAC = ∠DAC. Так як BC || AD, то ∠DAC = ∠BCA як внутрішні різносторонні. Тоді ∠BAC = ∠BCA і трикутник АВС є рівнобедреним, тому ВС = АВ = 6 см.
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 6. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD² = CD² - CK² = 10² - 6² = 64. Тоді KD = 8 см.
3. Так як ABCK - прямокутник і сусідні сторони рівні, то це квадрат, АК = ВС = 6 см. Тоді AD = AK + KD = 6 + 8 = 14 см. Середня лінія \frac{6 + 14}{2} = 10 см.
Завдання 9. Прямокутну трапецію ABCD (AD || BC, AD > BC) з більшою бічною стороною CD = 10 описано навколо кола радіуса 4. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 6. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD² = CD² - CK² = 10² - 6² = 64. Тоді KD = 8 см.
3. Так як ABCK - прямокутник і сусідні сторони рівні, то це квадрат, АК = ВС = 6 см. Тоді AD = AK + KD = 6 + 8 = 14 см. Середня лінія \frac{6 + 14}{2} = 10 см.
1 довжина сторони АВ
2 довжина проекції сторони CD на пряму AD
3 довжина основи AD
4 довжина середньої лінії трапеції ABCD
2 довжина проекції сторони CD на пряму AD
3 довжина основи AD
4 довжина середньої лінії трапеції ABCD
А 6
Б 8
В 9
Г 12
Д 18
Б 8
В 9
Г 12
Д 18
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Г, 4-В.
1. Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції дорівнює діаметру кола, тобто h = d = 2r = 2·4 = 8. Так як трапеція прямокутна, то бічна сторона АВ дорівнює висоті трапеції, тобто дорівнює 8.
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 8. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD² = CD²-CK² = 10²-8² = 100-64 = 36. Тоді KD = 6.
3. Так як в трапецію вписано коло, то в трапеції суми протилежних сторін рівні. Маємо BC + AD = 8AB + CD = 8 + 10 = 18. Так як ABCK - прямокутник, то ВС = АК. Маємо BC + AD = BC + AK + KD = BC + BC + 6 = 2BC + 6 = 18. Тоді 2ВС = 18-6 = 12 і ВС = 6. Тоді АК = 6 і AD = AK + KD = 6 + 6 = 12.
4. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто (BC + AD):2 = (6 + 12):2 = 18:2 = 9.
Завдання 10. На рисунку зображено рівнобедрену трапецію ABCD, у якій АD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1-4) та її довжиною (А-Д).
2. Проведемо висоту трапеції CK, СК = 8. Тоді КD - шукана проекція. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KD² = CD²-CK² = 10²-8² = 100-64 = 36. Тоді KD = 6.
3. Так як в трапецію вписано коло, то в трапеції суми протилежних сторін рівні. Маємо BC + AD = 8AB + CD = 8 + 10 = 18. Так як ABCK - прямокутник, то ВС = АК. Маємо BC + AD = BC + AK + KD = BC + BC + 6 = 2BC + 6 = 18. Тоді 2ВС = 18-6 = 12 і ВС = 6. Тоді АК = 6 і AD = AK + KD = 6 + 6 = 12.
4. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто (BC + AD):2 = (6 + 12):2 = 18:2 = 9.
1 проекція відрізка ВС на пряму AD
2 проекція відрізка CD на пряму AD
3 проекція відрізка AС на пряму AD
4 проекція відрізка AD на пряму AC
2 проекція відрізка CD на пряму AD
3 проекція відрізка AС на пряму AD
4 проекція відрізка AD на пряму AC
А 2 см
Б 4 см
В 4,8 см
Г 5,6 см
Д 6 см
Б 4 см
В 4,8 см
Г 5,6 см
Д 6 см
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.
1) Проекцією ВС на AD є відрізок МТ. Так як ВСТМ - прямокутник, то МТ = ВС = 4 см.
2) Проекцією СD на AD є відрізок TD. Так як трапеція рівнобедрена, то АМ = TD. Так як АМ + МТ + TD = AD, то АМ + 4 + TD = 8, звідси АМ + TD = 4 і, так як вони рівні, TD = 2 см.
3) Проекцією АС на AD є відрізок АТ. Так як АМ = TD = 2 см, МТ = 4 см, то АТ = АМ + МТ = 2 + 4 = 6 см.
4) Проекцією АD на АС є відрізок АО. Так як трикутник АСТ прямокутний, то за теоремою Піфагора СТ² = AC²-AT² = 10²-6² = 100-36 = 64, тоді СТ = 8 см. Площа трикутника ACD S = 0,5AD·CT = 0,5·8·8 = 32 см². З іншого боку, площа цього трикутника S = 0,5AC·DO. Підставимо відомі значення і отримаємо 32 = 0,5·10·DO. Звідси DO = 32:5 = 6,4 см. В прямокутному трикутнику AOD за теоремою Піфагора AO² = AD²-OD² = 64-40,96 = 23,04, звідки АО = 4,8.
Завдання 11. Установіть відповідність між чотирикутником (1-4) та довжиною його висоти (А-Д).
2) Проекцією СD на AD є відрізок TD. Так як трапеція рівнобедрена, то АМ = TD. Так як АМ + МТ + TD = AD, то АМ + 4 + TD = 8, звідси АМ + TD = 4 і, так як вони рівні, TD = 2 см.
3) Проекцією АС на AD є відрізок АТ. Так як АМ = TD = 2 см, МТ = 4 см, то АТ = АМ + МТ = 2 + 4 = 6 см.
4) Проекцією АD на АС є відрізок АО. Так як трикутник АСТ прямокутний, то за теоремою Піфагора СТ² = AC²-AT² = 10²-6² = 100-36 = 64, тоді СТ = 8 см. Площа трикутника ACD S = 0,5AD·CT = 0,5·8·8 = 32 см². З іншого боку, площа цього трикутника S = 0,5AC·DO. Підставимо відомі значення і отримаємо 32 = 0,5·10·DO. Звідси DO = 32:5 = 6,4 см. В прямокутному трикутнику AOD за теоремою Піфагора AO² = AD²-OD² = 64-40,96 = 23,04, звідки АО = 4,8.
1 ромб, гострий кут якого дорівнює 60°, а менша діагональ - 8\sqrt 3 см
2 ромб, гострий кут якого дорівнює 30°, а периметр - 80 см
3 прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють 13 см і 7 см, а більша бічна сторона — 10 см
4 трапеція, середня лінія якої дорівнює 6 см, а площа — 84 см²
2 ромб, гострий кут якого дорівнює 30°, а периметр - 80 см
3 прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють 13 см і 7 см, а більша бічна сторона — 10 см
4 трапеція, середня лінія якої дорівнює 6 см, а площа — 84 см²
А 7 см
Б 8 см
В 10 см
Г 12 см
Д 14 см
Б 8 см
В 10 см
Г 12 см
Д 14 см
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-Б, 4-Д.
1) Так як в ромбі всі сторони рівні, то трикутник АВС рівнобедрений (АВ = ВС), тоді і кути при основі рівні. Оскільки кут В дорівнює 60°, то і кути при основі будуть по 60°. Отже трикутник АВС є рівностороннім і ВС = АС = 8\sqrt{3}. Тоді з прямокутного трикутника ВКС КС = ВСsinB = 8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 12 см.
2) Так як в ромбі всі сторони рівні, то сторона ромба ВС = Р:4 = 80:4 = 20 см. В прямокутному трикутнику ВКС катет КС лежить напроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи і КС = 20:2 = 10 см.
3) Проведемо висоту СК. Тоді АВСК - прямокутник, і АК = ВС = 7. Тоді KD = AD-AK = 13-7 = 6 см. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KC² = CD²-KD² = 100-36 = 64. Отже КС = 8 см.
4) Так як площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту, то h = 84:6 = 14 см.
Завдання 12. На сторонах квадрата ABCD задано точки K, L, M і N. KM || AD, LN || CD. OL = 8, OM = 6, ON = 2.
1) Так як в ромбі всі сторони рівні, то трикутник АВС рівнобедрений (АВ = ВС), тоді і кути при основі рівні. Оскільки кут В дорівнює 60°, то і кути при основі будуть по 60°. Отже трикутник АВС є рівностороннім і ВС = АС = 8\sqrt{3}. Тоді з прямокутного трикутника ВКС КС = ВСsinB = 8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 12 см.
2) Так як в ромбі всі сторони рівні, то сторона ромба ВС = Р:4 = 80:4 = 20 см. В прямокутному трикутнику ВКС катет КС лежить напроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи і КС = 20:2 = 10 см.
3) Проведемо висоту СК. Тоді АВСК - прямокутник, і АК = ВС = 7. Тоді KD = AD-AK = 13-7 = 6 см. З прямокутного трикутника CKD за теоремою Піфагора KC² = CD²-KD² = 100-36 = 64. Отже КС = 8 см.
4) Так як площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту, то h = 84:6 = 14 см.
1 Довжина ОК дорівнює
2 Радіус кола навколо OLCM дорівнює
3 Середня лінія трапеції OВCM дорівнює
4 Довжина АР (Р - точка перетину бісектриси ∠NOM з AD)
2 Радіус кола навколо OLCM дорівнює
3 Середня лінія трапеції OВCM дорівнює
4 Довжина АР (Р - точка перетину бісектриси ∠NOM з AD)
А 4
Б 5
В 6
Г 8
Д 10
Б 5
В 6
Г 8
Д 10
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Г, 4-В.
1) LN = LO + ON = 8 + 2 = 10. Отже, сторона квадрата 10. Тоді OK = KM-OM = 10-6 = 4.
2) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника. В прямокутному трикутнику OLCM діагональ LM знайдемо за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника OLM: LM² = LO² + OM² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Тоді LM = 10 і радіус кола 10:2 = 5.
3) Довжина середньої лінії трапеції дорівнює половині суми її основ. В трапеції OBCM сума основ BC і OM дорівнює 10 + 6 = 16, тому середня лінія трапеції дорівнює 16:2 = 8.
4) Проведемо бісектрису ОР. Так як бісектриса ділить кут навпіл, то кут NOP дорівнює 90°:2 = 45°. Тоді в прямокутному трикутнику ONP кут NPO також дорівнює 45°. Отже, трикутник ONP рівнобедрений і NP = ON = 2. Тоді АР = AN + NP = 4 + 2 = 6 (AN = OK = 4).
Завдання 13. Основи ВС й AD рівнобічної трапеції ABCD дорівнюють 7 см і 25 см. BD ⊥ AB.
2) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника. В прямокутному трикутнику OLCM діагональ LM знайдемо за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника OLM: LM² = LO² + OM² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Тоді LM = 10 і радіус кола 10:2 = 5.
3) Довжина середньої лінії трапеції дорівнює половині суми її основ. В трапеції OBCM сума основ BC і OM дорівнює 10 + 6 = 16, тому середня лінія трапеції дорівнює 16:2 = 8.
4) Проведемо бісектрису ОР. Так як бісектриса ділить кут навпіл, то кут NOP дорівнює 90°:2 = 45°. Тоді в прямокутному трикутнику ONP кут NPO також дорівнює 45°. Отже, трикутник ONP рівнобедрений і NP = ON = 2. Тоді АР = AN + NP = 4 + 2 = 6 (AN = OK = 4).
1 Середня лінія дорівнює
2 Проекція сторони АВ на AD дорівнює
3 Висота трапеції дорівнює
4 Сторона АВ трапеції дорівнює
2 Проекція сторони АВ на AD дорівнює
3 Висота трапеції дорівнює
4 Сторона АВ трапеції дорівнює
А 9 см
Б 12 см
В 15 см
Г 16 см
Д 18 см
Б 12 см
В 15 см
Г 16 см
Д 18 см
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В.
1) Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Отже КМ = (BC + AD):2 = (7 + 25):2 = 32:2 = 16.
2) Проведемо висоту ВН. Тоді проекцією АВ на пряму AD є відрізок АН. Проведемо висоту CL. Тоді BCLH- прямокутник і HL = BC = 7 см. Так як трапеція рівнобічна, то AH = LD. Сума AH і LD дорівнює AD-HL = 25-7 = 18. Так як ці два відрізка рівні і їх сума 18, то кожен з них дорівнює 9 см. Отже, АН = 9 см.
3) Так як з умови кут ABD прямий, то BH - висота в прямокутному трикутнику і за властивостями висоти, проведеної з вершини прямого кута маємо: BH² = AH·HD = 9·(7 + 9) = 9·16 = 144. Тоді ВН = 12 см.
4) З прямокутного трикутника АВН за теоремою Піфагора АВ² = АН² + ВН² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Тоді АВ = 15 см.
Завдання 14. Діагональ BD прямокутної трапеції ABCD є бісектрисою ∠ADC і утворює з AD кут 30°. Визначте довжину середньої лінії, якщо BD = 20\sqrt 3 см.
2) Проведемо висоту ВН. Тоді проекцією АВ на пряму AD є відрізок АН. Проведемо висоту CL. Тоді BCLH- прямокутник і HL = BC = 7 см. Так як трапеція рівнобічна, то AH = LD. Сума AH і LD дорівнює AD-HL = 25-7 = 18. Так як ці два відрізка рівні і їх сума 18, то кожен з них дорівнює 9 см. Отже, АН = 9 см.
3) Так як з умови кут ABD прямий, то BH - висота в прямокутному трикутнику і за властивостями висоти, проведеної з вершини прямого кута маємо: BH² = AH·HD = 9·(7 + 9) = 9·16 = 144. Тоді ВН = 12 см.
4) З прямокутного трикутника АВН за теоремою Піфагора АВ² = АН² + ВН² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Тоді АВ = 15 см.
Показати відповідь
25.
З прямокутного трикутника АВD AD = BDcos∠ADB = 20\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 30, AB = BDsin∠ADB = 20\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} = 10\sqrt{3}. Проведемо перпендикуляр СК до основи АD. Так як АВСК прямокутник, то ВС = АК, СК = АВ = 10\sqrt{3}. Так як BD- бісектриса, то кут KDC вдвічі більше за кут ADB, тобто дорівнює 60°. З прямокутного трикутника CKD KD = CKctg∠KDC = 10\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = 10. Тоді АК-AD-KD = 30-10 = 20 см. ВС = АК = 20 см. Сума основ трапеції дорівнює 30 + 20 = 50 см. Тоді середня лінія трапеції MN дорівнює 50:2 = 25 см
Коментарі