Дії з дробами — одна з найважливіших тем алгебри, адже раціональні вирази трапляються майже в кожному розділі математики. На цій сторінці зібрано основні прийоми скорочення дробів, зведення до спільного знаменника, множення, ділення, додавання й віднімання дробів, а також спрощення виразів із використанням формул скороченого множення та властивостей степенів.
Для ефективної підготовки до НМТ і контрольних робіт ми підготували великий практичний блок із завданнями різного рівня складності, зокрема прикладами минулих років. Покрокові розв'язання допоможуть навчитися швидко виконувати дії з дробами, правильно скорочувати раціональні вирази та уникати найпоширеніших помилок під час перетворень.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). 4x² - 25(2x - 5)² =
2x + 52x - 5
1
2x + 5
12x - 5
-1
Показати відповідь
А.
4x² - 25(2x - 5)² = (2x)² - 5²(2x - 5)² = (2x - 5)(2x + 5)(2x - 5)² = 2x + 52x - 5.
Завдання 2. Спростіть вираз a² + ab(a + b)² - 2a + ba + b.
4x² - 25(2x - 5)² = (2x)² - 5²(2x - 5)² = (2x - 5)(2x + 5)(2x - 5)² = 2x + 52x - 5.
1
a - ba + b
b - aa + b
3a + ba + b
-1
Показати відповідь
Д.
a² + ab(a + b)² - 2a + ba + b = a(a + b)(a + b)² - 2a + ba + b = aa + b - 2a + ba + b = a - (2a + b)a + b = a - 2a - ba + b = -a - ba + b = -(a + b)a + b = -1.
a² + ab(a + b)² - 2a + ba + b = a(a + b)(a + b)² - 2a + ba + b = aa + b - 2a + ba + b = a - (2a + b)a + b = a - 2a - ba + b = -a - ba + b = -(a + b)a + b = -1.
Завдання 3. Обчисліть 5⁴ · 2⁴20³.
54
110
12
120
10
Показати відповідь
А.
5⁴ · 2⁴20³ = (5 · 2)⁴(2 · 10)³ = 10⁴2³ · 10³ = 102³ = 108 = 54.
Завдання 4. Спростіть вираз 3m - 2n8 - 3m8.
5⁴ · 2⁴20³ = (5 · 2)⁴(2 · 10)³ = 10⁴2³ · 10³ = 102³ = 108 = 54.
-n4
-n8
-n6
-m4
3m - n4
Показати відповідь
А.
3m - 2n8 - 3m8 = 3m - 2n - 3m8 = -2n8 = -n4.
Завдання 5. 15³3² =
3m - 2n8 - 3m8 = 3m - 2n - 3m8 = -2n8 = -n4.
5
15
125
375
675
Показати відповідь
Г.
15³3² = 15 · 15 · 153 · 3 = 5 · 5 · 15 = 375.
Завдання 6. Якщо ab = 27, то ba = ?
15³3² = 15 · 15 · 153 · 3 = 5 · 5 · 15 = 375.
-72
72
27
-27
57
Показати відповідь
Б.
Якщо обидві частини рівності є дробами, то їх можна одночасно перевернути. Маємо ba = 72.
Завдання 7. Скоротіть дріб a² - b²a² - ab.
Якщо обидві частини рівності є дробами, то їх можна одночасно перевернути. Маємо ba = 72.
a + ba
a - ba
ba
b
a + bb
Показати відповідь
А.
a² - b²a² - ab = (a - b)(a + b)a(a - b) = a + ba.
Завдання 8. Спростіть вираз ab(a - b) - ba(a - b).
a² - b²a² - ab = (a - b)(a + b)a(a - b) = a + ba.
a + bab
1ab
1b - a
a - bab
0
Показати відповідь
А.
ab(a - b) - ba(a - b) = a · aab(a - b) - b · bab(a - b) = a² - b²ab(a - b) = (a - b)(a + b)ab(a - b) = a + bab.
Завдання 9. 3x²y9xy³ =
ab(a - b) - ba(a - b) = a · aab(a - b) - b · bab(a - b) = a² - b²ab(a - b) = (a - b)(a + b)ab(a - b) = a + bab.
27x³y⁴
x³y⁴3
3xy²
x³3y⁴
x3y²
Показати відповідь
Д.
3x²y9xy³ = x3y².
Завдання 10. Скоротіть дріб 10ab³5a²b.
3x²y9xy³ = x3y².
2b²a
b⁴2a³
50a³b⁴
2b⁴a³
b²2a
Показати відповідь
А.
10ab³5a²b = 2b³⁻¹a²⁻¹ = 2b²a.
Завдання 11. Спростіть вираз a²⁴(a⁴)².
10ab³5a²b = 2b³⁻¹a²⁻¹ = 2b²a.
a¹⁸
a³
a⁸
a⁴
a¹⁶
Показати відповідь
Д.
a²⁴(a⁴)² = a²⁴a⁸ = a²⁴⁻⁸ = a¹⁶.
Завдання 12. Обчисліть 2⁶ · 5⁶10⁴.
a²⁴(a⁴)² = a²⁴a⁸ = a²⁴⁻⁸ = a¹⁶.
101,5
10²
10⁸
10⁹
10¹⁰
Показати відповідь
Б.
2⁶ · 5⁶10⁴ = (2 · 5)⁶10⁴ = 10⁶10⁴ = 10⁶⁻⁴ = 10².
Завдання 13. Спростіть вираз 0,8b⁹ : (8b³), де b≠0.
2⁶ · 5⁶10⁴ = (2 · 5)⁶10⁴ = 10⁶10⁴ = 10⁶⁻⁴ = 10².
0,1b⁶
10b⁶
6,4b¹²
0,1b³
10b³
Показати відповідь
А.
0,8b⁹ : (8b³) = 0,1b⁹⁻³ = 0,1b⁶.
Завдання 14. Спростіть вираз 5x⁴y : x2y.
0,8b⁹ : (8b³) = 0,1b⁹⁻³ = 0,1b⁶.
52x³
10x³y²
10x³
10x⁴y²
23x³
Показати відповідь
Б.
5x⁴y : x2y = 5x⁴y · 2yx = 10x³y².
Завдання 15. Спростіть вираз (a-b)²-b²a.
5x⁴y : x2y = 5x⁴y · 2yx = 10x³y².
a
a - 2b
a - b
a + b
a - 2b²
Показати відповідь
Б.
(a-b)²-b²a = a² - 2ab + b² - b²a = a² - 2aba = a(a - 2b)a = a - 2b.
Завдання 16. Спростіть вираз a² - 11 - 1a.
(a-b)²-b²a = a² - 2ab + b² - b²a = a² - 2aba = a(a - 2b)a = a - 2b.
a(a-1)
-a²
-a(a + 1)
a + 1a
a(a + 1)
Показати відповідь
Д.
a² - 11 - 1a = (a² - 1) : (1 - 1a) = (a² - 1) : (aa - 1a) = (a² - 1) : a - 1a = (a - 1)(a + 1) · aa - 1 = (a + 1) · a = a(a + 1).
Завдання 17. Якщо 1a = 1b - 1c, то c =
a² - 11 - 1a = (a² - 1) : (1 - 1a) = (a² - 1) : (aa - 1a) = (a² - 1) : a - 1a = (a - 1)(a + 1) · aa - 1 = (a + 1) · a = a(a + 1).
aba - b
abb - a
a - b
1a - 1b
a - bab
Показати відповідь
А.
1a = 1b - 1c
1c = 1b - 1a
1c = a - bab
c = aba - b.
Завдання 18. Визначте m із співвідношення m2 = 3n, де n ≠ 0.
1a = 1b - 1c
1c = 1b - 1a
1c = a - bab
c = aba - b.
m = 6n
m = 6n
m = 2n3
m = 32n
m = n6
Показати відповідь
Б.
m = 2 · 3n = 6n.
Завдання 19. Спростіть вираз 9 - x²x² + 6x + 9.
m = 2 · 3n = 6n.
3 - xx + 3
x - 3x + 3
3 - x
1x + 3
16x
Показати відповідь
А.
9 - x²x² + 6x + 9 = (3 - x)(3 + x)(x + 3)² = 3 - xx + 3.
Завдання 20. Спростіть вираз a² + 16a - 4 - 8aa - 4.
9 - x²x² + 6x + 9 = (3 - x)(3 + x)(x + 3)² = 3 - xx + 3.
-1
a - 4
a + 4
1
(a - 4)²
Показати відповідь
Б.
a² + 16a - 4 - 8aa - 4 = a² + 16 - 8aa - 4 = a² - 8a + 16a - 4 = (a - 4)²a - 4 = a - 4.
Завдання 21. 2a + 22 =
a² + 16a - 4 - 8aa - 4 = a² + 16 - 8aa - 4 = a² - 8a + 16a - 4 = (a - 4)²a - 4 = a - 4.
a + 2
2a + 1
a + 1
2a
a
Показати відповідь
В.
2a + 22 = 2(a + 1)2 = a + 1.
Завдання 22. Якщо 2ᵃ = 15, то 2⁶⁻ᵃ =
2a + 22 = 2(a + 1)2 = a + 1.
12,8
59
69
240
320
Показати відповідь
Д.
2⁶⁻ᵃ = 2⁶ : 2ᵃ = 64 : 15 = 64 · 5 = 320.
Завдання 23. Установіть відповідність між виразом (1-3) і тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а — довільне додатне число, а ≠ 1.
2⁶⁻ᵃ = 2⁶ : 2ᵃ = 64 : 15 = 64 · 5 = 320.
1 а⁴ : а³
2 a² - a1 - a
3 7-log₇a
2 a² - a1 - a
3 7-log₇a
А a²
Б a⁷
В 1a
Г a
Д -a
Б a⁷
В 1a
Г a
Д -a
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-В .
1) а⁴ : а³ = а⁴⁻³ = а
2) a² - a1 - a = a(a - 1)1 - a = -a(a - 1)a - 1 = -a
3) 7-log₇a = 7log₇a⁻¹ = a⁻¹ = 1a.
Завдання 24. Установіть відповідність між твердженнями про дріб (1-4) та дробом (А-Д), для якого це твердження є правильним.
1) а⁴ : а³ = а⁴⁻³ = а
2) a² - a1 - a = a(a - 1)1 - a = -a(a - 1)a - 1 = -a
3) 7-log₇a = 7log₇a⁻¹ = a⁻¹ = 1a.
1 є скоротним
2 є неправильним
3 менший за 0,5
4 є оберненим до дробу 125
2 є неправильним
3 менший за 0,5
4 є оберненим до дробу 125
А 57
Б 1327
В 4110
Г 710
Д 3451
Б 1327
В 4110
Г 710
Д 3451
Показати відповідь
1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А.
1) Оскільки чисельник і знаменник дробу 3451 можна поділити на 17, то цей дріб є скоротним.
2) Оскільки 41 > 10, то 4110 є неправильним дробом.
3) Оскільки 13 · 2 = 26 < 27, то 1327 менше за 0,5.
4) 125 = 75 і оберненим до нього є 57.
Завдання 25. Установіть відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями, якщо х = 0,5 (А-Д).
1) Оскільки чисельник і знаменник дробу 3451 можна поділити на 17, то цей дріб є скоротним.
2) Оскільки 41 > 10, то 4110 є неправильним дробом.
3) Оскільки 13 · 2 = 26 < 27, то 1327 менше за 0,5.
4) 125 = 75 і оберненим до нього є 57.
1 x² - 93 + x
2 (x - 5)² + 5(2x - 5)
3 x³ + 1x² - x + 1
4 3x - 68x · xx² - 4x + 4
2 (x - 5)² + 5(2x - 5)
3 x³ + 1x² - x + 1
4 3x - 68x · xx² - 4x + 4
А -2,5
Б -0,25
В 0,25
Г 1,5
Д 2,5
Б -0,25
В 0,25
Г 1,5
Д 2,5
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б.
1) x² - 93 + x = (x - 3)(x + 3)3 + x = x - 3. 0,5 - 3 = -2,5
2) (x - 5)² + 5(2x - 5) = x² - 10x + 25 + 10x - 25 = x². 0,5² = 0,25.
3) x³ + 1x² - x + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)x² - x + 1 = x + 1. 0,5 + 1 = 1,5.
4) 3x - 68x · xx² - 4x + 4 = 3(x - 2)8x · x(x - 2)² = 38 · 1x - 2 = 38(x - 2)
38(0,5 - 2) = 34 - 16 = 3-12 = -0,25.
Завдання 26. До кожного виразу (1-4) при a>0 доберіть тотожно йому рівний (А-Д).
1) x² - 93 + x = (x - 3)(x + 3)3 + x = x - 3. 0,5 - 3 = -2,5
2) (x - 5)² + 5(2x - 5) = x² - 10x + 25 + 10x - 25 = x². 0,5² = 0,25.
3) x³ + 1x² - x + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)x² - x + 1 = x + 1. 0,5 + 1 = 1,5.
4) 3x - 68x · xx² - 4x + 4 = 3(x - 2)8x · x(x - 2)² = 38 · 1x - 2 = 38(x - 2)
38(0,5 - 2) = 34 - 16 = 3-12 = -0,25.
1 2a⁵a⁶
2 (2a)⁵ · a⁶
3 (2a⁶)⁵
4 6√64a⁵
2 (2a)⁵ · a⁶
3 (2a⁶)⁵
4 6√64a⁵
А 32a¹¹
Б 2a56
В 2a65
Г 2a⁻¹
Д 32a³⁰
Б 2a56
В 2a65
Г 2a⁻¹
Д 32a³⁰
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Д, 4-Б.
1) 2a⁵a⁶ = 2a⁵⁻⁶ = 2a⁻¹.
2) (2a)⁵ · a⁶ = 2⁵a⁵ · a⁶ = 32a⁵⁺⁶ = 32a¹¹
3) (2a⁶)⁵ = 2⁵a6 · 5 = 32a³⁰
4) 6√64a⁵ = 2a56.
Завдання 27. Відомо, що 2a² - 8b²a - 2b = 18. Тоді
1) 2a⁵a⁶ = 2a⁵⁻⁶ = 2a⁻¹.
2) (2a)⁵ · a⁶ = 2⁵a⁵ · a⁶ = 32a⁵⁺⁶ = 32a¹¹
3) (2a⁶)⁵ = 2⁵a6 · 5 = 32a³⁰
4) 6√64a⁵ = 2a56.
- a + 2b =
- a³ + (2b)³ + 3a · 2b(a + 2b) =
Показати відповідь
9; 729.
2a² - 8b²a - 2b = 2(a² - 4b²)a - 2b = 2(a² - (2b)²)a - 2b = 2(a - 2b)(a + 2b)a - 2b = 2(a + 2b) = 18. Звідси a + 2b = 18 : 2 = 9.
a³ + (2b)³ + 3a · 2b(a + 2b) = a³ + 3a² · 2b + 3a · (2b)² + (2b) ³ = (a + 2b)³ = 9³ = 729.
Завдання 28. Обчисліть значення виразу 10a + bb² - 4a² + 4a + 2bb² + 4ab + 4a² при a = 0,25, b = 4,5.
2a² - 8b²a - 2b = 2(a² - 4b²)a - 2b = 2(a² - (2b)²)a - 2b = 2(a - 2b)(a + 2b)a - 2b = 2(a + 2b) = 18. Звідси a + 2b = 18 : 2 = 9.
a³ + (2b)³ + 3a · 2b(a + 2b) = a³ + 3a² · 2b + 3a · (2b)² + (2b) ³ = (a + 2b)³ = 9³ = 729.
Показати відповідь
0,75.
10a + bb² - 4a² + 4a + 2bb² + 4ab + 4a² = 10a + b(b - 2a)(b + 2a) + 2(2a + b)(b + 2a)² = 10a + b(b - 2a)(b + 2a) + 2b + 2a = 10a + b(b - 2a)(b + 2a) + 2(b - 2a)(b + 2a)(b - 2a) = 10a + b + 2(b - 2a)(b - 2a)(b + 2a) = 10a + b + 2b - 4a(b - 2a)(b + 2a) = 6a + 3b(b - 2a)(b + 2a) = 3(2a + b)(b - 2a)(b + 2a) = 3b - 2a.
34,5 - 2 · 0,25 = 34,5 - 0,5 = 34 = 0,75.
Завдання 29. Обчисліть значення виразу a² - b²a - b - a³ - b³a² - b², якщо a = 10,2, b = -0,2.
10a + bb² - 4a² + 4a + 2bb² + 4ab + 4a² = 10a + b(b - 2a)(b + 2a) + 2(2a + b)(b + 2a)² = 10a + b(b - 2a)(b + 2a) + 2b + 2a = 10a + b(b - 2a)(b + 2a) + 2(b - 2a)(b + 2a)(b - 2a) = 10a + b + 2(b - 2a)(b - 2a)(b + 2a) = 10a + b + 2b - 4a(b - 2a)(b + 2a) = 6a + 3b(b - 2a)(b + 2a) = 3(2a + b)(b - 2a)(b + 2a) = 3b - 2a.
34,5 - 2 · 0,25 = 34,5 - 0,5 = 34 = 0,75.
Показати відповідь
-0,204.
a² - b²a - b - a³ - b³a² - b² = (a - b)(a + b)a - b - (a - b)(a² + ab + b²)(a - b)(a + b) = a + b1 - a² + ab + b²a + b = (a + b)²a + b - a² + ab + b²a + b = (a + b)² - (a² + ab + b²)a + b = a² + 2ab + b² - a² -ab - b²a + b = aba + b
10,2 · (-0,2)10,2 - 0,2 = -2,0410 = -0,204.
Завдання 30. Знайдіть значення виразу m + 4m² - 6m + 9 · 2m - 6m² - 16 - 2m - 4, якщо m = 4,25.
a² - b²a - b - a³ - b³a² - b² = (a - b)(a + b)a - b - (a - b)(a² + ab + b²)(a - b)(a + b) = a + b1 - a² + ab + b²a + b = (a + b)²a + b - a² + ab + b²a + b = (a + b)² - (a² + ab + b²)a + b = a² + 2ab + b² - a² -ab - b²a + b = aba + b
10,2 · (-0,2)10,2 - 0,2 = -2,0410 = -0,204.
Показати відповідь
-1,6.
m + 4m² - 6m + 9 · 2m - 6m² - 16 - 2m - 4 = m + 4(m - 3)² · 2(m - 3)(m - 4)(m + 4) - 2m - 4 = 1m - 3 · 2m - 4 - 2m - 4 = 2(m - 3)(m - 4) - 2m - 4 = 2(m - 3)(m - 4) - 2(m - 3)(m - 3)(m - 4) = 2 - 2(m - 3)(m - 3)(m - 4) = 2 - 2m + 6(m - 3)(m - 4) = 8 - 2m(m - 3)(m - 4) = 2(4 - m)(m - 3)(m - 4) = -2(m - 4)(m - 3)(m - 4) = -2m - 3
-24,25 - 3 = -21,25 = -2 · 41,25 · 4 = -85 = -1,6.
Завдання 31. Обчисліть значення виразу a³ + b³a + b - (a² + b²), якщо a = 474, b = 212
m + 4m² - 6m + 9 · 2m - 6m² - 16 - 2m - 4 = m + 4(m - 3)² · 2(m - 3)(m - 4)(m + 4) - 2m - 4 = 1m - 3 · 2m - 4 - 2m - 4 = 2(m - 3)(m - 4) - 2m - 4 = 2(m - 3)(m - 4) - 2(m - 3)(m - 3)(m - 4) = 2 - 2(m - 3)(m - 3)(m - 4) = 2 - 2m + 6(m - 3)(m - 4) = 8 - 2m(m - 3)(m - 4) = 2(4 - m)(m - 3)(m - 4) = -2(m - 4)(m - 3)(m - 4) = -2m - 3
-24,25 - 3 = -21,25 = -2 · 41,25 · 4 = -85 = -1,6.
Показати відповідь
-16.
a³ + b³a + b - (a² + b²) = (a + b)(a² - ab + b²)a + b - (a² + b²) = a² - ab + b² - (a² + b²) = a² - ab + b² - a² - b² = - ab
- 474 · 212 = - (2²)74 · 20,5 = - 22 · 74 · 20,5 = - 272 · 20,5 = - 23,5 · 20,5 = - 23,5 + 0,5 = - 2⁴ = -16.
Завдання 32. Відомо, що y - x2x = 34, де 0 < x < y. У скільки разів число у більше за число х?
a³ + b³a + b - (a² + b²) = (a + b)(a² - ab + b²)a + b - (a² + b²) = a² - ab + b² - (a² + b²) = a² - ab + b² - a² - b² = - ab
- 474 · 212 = - (2²)74 · 20,5 = - 22 · 74 · 20,5 = - 272 · 20,5 = - 23,5 · 20,5 = - 23,5 + 0,5 = - 2⁴ = -16.
Показати відповідь
2,5.
За пропорцією маємо
4(y - x) = 3 · 2x
4y - 4x = 6x
4y = 6x + 4x
4y = 10x
y = 10x : 4
y = 2,5x.
За пропорцією маємо
4(y - x) = 3 · 2x
4y - 4x = 6x
4y = 6x + 4x
4y = 10x
y = 10x : 4
y = 2,5x.
Коментарі