Квадратичні нерівності — це нерівності, що містять квадратний тричлен. Найчастіше їх розв'язують методом інтервалів, знаходячи проміжки, на яких квадратний вираз набуває додатних або від'ємних значень. Ця тема є однією з основних у шкільному курсі алгебри та часто зустрічається на НМТ.
Для розв'язування квадратичних нерівностей методом інтервалів потрібно виконати наступні дії:
І. Розв'язати відповідне квадратне рівняння. Якщо воно має два або один дійсний корінь, нанести їх на числову пряму. Якщо ж дійсних коренів немає, достатньо перевірити знак квадратного тричлена в будь-якій точці, оскільки на всій числовій прямій він зберігає один і той самий знак.
ІІ. Визначити знак у кожному з отриманих інтервалів. Якщо коефіцієнт a при x² додатний (a > 0), то знаки на інтервалах «+ − +» (або «+ +», якщо квадратне рівняння має один дійсний корінь). Якщо коефіцієнт a при x² від'ємний (a < 0), то знаки на інтервалах «− + −» (або «− −», якщо квадратне рівняння має один дійсний корінь).
ІІІ. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (відповідно до знака нерівності: ≥0, >0, ≤0 або <0).
IV. Записати відповідь.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Розв’яжіть систему нерівностей {x² + 4 ≥ 0,2(3x - 5) - 6 < x + 8
І. Розв'язати відповідне квадратне рівняння. Якщо воно має два або один дійсний корінь, нанести їх на числову пряму. Якщо ж дійсних коренів немає, достатньо перевірити знак квадратного тричлена в будь-якій точці, оскільки на всій числовій прямій він зберігає один і той самий знак.
ІІ. Визначити знак у кожному з отриманих інтервалів. Якщо коефіцієнт a при x² додатний (a > 0), то знаки на інтервалах «+ − +» (або «+ +», якщо квадратне рівняння має один дійсний корінь). Якщо коефіцієнт a при x² від'ємний (a < 0), то знаки на інтервалах «− + −» (або «− −», якщо квадратне рівняння має один дійсний корінь).
ІІІ. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (відповідно до знака нерівності: ≥0, >0, ≤0 або <0).
IV. Записати відповідь.
∅
[−4; 4,8)
[2; 4,8)
(−∞; 4,8)
(−∞; −2] ∪ [2; 4,8)
Показати відповідь
Г.
{x² + 4 ≥ 0,2(3x - 5) - 6 < x + 8
Розв'яжемо першу нерівність. Оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним, то x² + 4 завжди більше 0, тому розв'язком першої нерівності системи є будь-яке число. В цьому випадку розв'язком системи буде розв'язок другої нерівності.
Розв'яжемо другу нерівність.
2(3x - 5) - 6 < x + 8
6x - 10 - 6 < x + 8
6x - x < 8 + 10 + 6
5x < 24
x < 24 : 5
x < 4,8 Тоді х∈ (−∞; 4,8).
Завдання 2. Розв’яжіть нерівність (x² + 64)(x - 5) > 0.
{x² + 4 ≥ 0,2(3x - 5) - 6 < x + 8
Розв'яжемо першу нерівність. Оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним, то x² + 4 завжди більше 0, тому розв'язком першої нерівності системи є будь-яке число. В цьому випадку розв'язком системи буде розв'язок другої нерівності.
Розв'яжемо другу нерівність.
2(3x - 5) - 6 < x + 8
6x - 10 - 6 < x + 8
6x - x < 8 + 10 + 6
5x < 24
x < 24 : 5
x < 4,8 Тоді х∈ (−∞; 4,8).
(5; +∞)
(-∞; 5)∪(5; +∞)
(5; 8)
(-∞; 5)∪(8; +∞)
(-∞; 5)
Показати відповідь
А.
Оскільки x² + 64 завжди більше 0, то можна поділити обидві частини нерівності на цей додатний множник, при цьому знак нерівності не змінюється. Маємо
x - 5 > 0
x > 5 Отже, x∈(5; +∞).
Завдання 3. Укажіть число, що є розв’язком нерівності x² < 9.
Оскільки x² + 64 завжди більше 0, то можна поділити обидві частини нерівності на цей додатний множник, при цьому знак нерівності не змінюється. Маємо
x - 5 > 0
x > 5 Отже, x∈(5; +∞).
-8
-4,5
-2
3
8
Показати відповідь
В.
Потрібно знайти число, яке піднесене до квадрату буде менше 9. Це число -2, так як (-2)² = 4 < 9.
Завдання 4. Розв’яжіть нерівність (x + 4)² ≤ 16.
Потрібно знайти число, яке піднесене до квадрату буде менше 9. Це число -2, так як (-2)² = 4 < 9.
(-∞; 8]
(-∞; 0]
(-∞; 4]
[-8; 8]
[-8; 0]
Показати відповідь
Д.
(x + 4)² ≤ 16
x² + 8x + 16 ≤ 16
x² + 8x + 16 - 16 ≤ 0
x² + 8x ≤ 0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
x² + 8x = 0 x(x + 8) = 0
x = 0 або x + 8 = 0, звідки х = -8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля x² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(x) ≤ 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈[-8;0].
Завдання 5. Розв’яжіть нерівність a² > a.
(x + 4)² ≤ 16
x² + 8x + 16 ≤ 16
x² + 8x + 16 - 16 ≤ 0
x² + 8x ≤ 0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
x² + 8x = 0 x(x + 8) = 0
x = 0 або x + 8 = 0, звідки х = -8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля x² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(x) ≤ 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈[-8;0].
(1; +∞)
(0; 1)
(-∞; 0)
(-∞; 0)∪(1; +∞)
(-∞; 1)
Показати відповідь
Г.
a² > a
a² - a > 0
a(a-1)>0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів
a(a - 1) = 0
a = 0 або a - 1 = 0, звідки a = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля a² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(a) > 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, a∈(-∞;0)∪(1; +∞).
Завдання 6. На рисунку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку (-∞; +∞) і має лише три нулі.
Розв'яжіть систему {f(x) ≥ 0,x² + x - 6 > 0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.
a² > a
a² - a > 0
a(a-1)>0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів
a(a - 1) = 0
a = 0 або a - 1 = 0, звідки a = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля a² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(a) > 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, a∈(-∞;0)∪(1; +∞).
Показати відповідь
27.
Розв'яжемо другу нерівність в системі за методом інтервалів.
x² + x - 6 = 0
D = 1² - 4 · 1 · (-6) = 1 + 24 = 25.
x₁ = -1 - √252 · 1 = -1 - 52 = -62 = -3
x₂ = -1 + √252 · 1 = -1 + 52 = 42 = 2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля x² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(x) > 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Тоді маємо розв'язком другої нерівності проміжок (-∞; -3)∪(2; +∞). Із графіка маємо проміжок [-1; 6]∪{9}. Перетином цих проміжків є проміжок (2; 6]∪{9}. Цілими розв'язками будуть числа 3, 4, 5, 6, 9 і відповіддю є число 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27.
Завдання 7. Розв’яжіть нерівність x² + 2log₂(-2x) -15 < 0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності.
Розв'яжемо другу нерівність в системі за методом інтервалів.
x² + x - 6 = 0
D = 1² - 4 · 1 · (-6) = 1 + 24 = 25.
x₁ = -1 - √252 · 1 = -1 - 52 = -62 = -3
x₂ = -1 + √252 · 1 = -1 + 52 = 42 = 2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля x² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(x) > 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Тоді маємо розв'язком другої нерівності проміжок (-∞; -3)∪(2; +∞). Із графіка маємо проміжок [-1; 6]∪{9}. Перетином цих проміжків є проміжок (2; 6]∪{9}. Цілими розв'язками будуть числа 3, 4, 5, 6, 9 і відповіддю є число 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27.
Показати відповідь
-3.
Знайдемо ОДЗ нерівності. Так як у підлогарифмічному виразі повинен бути додатний вираз, то
-2х > 0
x < 0.
Використаємо формулу alogₐb = b. Отримаємо нерівність x² - 2x - 15 < 0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
x² - 2x - 15 = 0
D = (-2)² - 4 · 1 · (-15) = 4 + 60 = 64.
x₁ = 2 - √642 · 1 = 2 - 82 = -62 = -3
x₂ = 2 + √642 · 1 = 2 + 82 = 102 = 5.
Нанесемо отримані точки на числову пряму і врахуємо ОДЗ початкової нерівності.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля x² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(x) < 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-".
Також заштриховуємо інтервал з ОДЗ. Маємо подвійне штрихування на проміжку (-3; 0). Цілими розв'язками будуть числа -2, -1. Сума цих чисел -3.
Знайдемо ОДЗ нерівності. Так як у підлогарифмічному виразі повинен бути додатний вираз, то
-2х > 0
x < 0.
Використаємо формулу alogₐb = b. Отримаємо нерівність x² - 2x - 15 < 0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
x² - 2x - 15 = 0
D = (-2)² - 4 · 1 · (-15) = 4 + 60 = 64.
x₁ = 2 - √642 · 1 = 2 - 82 = -62 = -3
x₂ = 2 + √642 · 1 = 2 + 82 = 102 = 5.
Нанесемо отримані точки на числову пряму і врахуємо ОДЗ початкової нерівності.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Так як коефіцієнт 1 біля x² додатний, то знаки "+-+".
Так як маємо нерівність виду f(x) < 0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-".
Також заштриховуємо інтервал з ОДЗ. Маємо подвійне штрихування на проміжку (-3; 0). Цілими розв'язками будуть числа -2, -1. Сума цих чисел -3.
Коментарі