Дробово-раціональні нерівності — це нерівності, у яких змінна входить до раціонального виразу, зокрема знаходиться у знаменнику дробу. Для їх розв'язування найчастіше застосовують метод інтервалів, обов'язково враховуючи область допустимих значень (ОДЗ). Уміння розв'язувати такі нерівності є важливим для дослідження функцій і часто перевіряється на НМТ.
Для розв'язування дробово-раціональних нерівностей застосовують метод інтервалів. Для цього потрібно виконати такі кроки:
І. Перенести всі доданки нерівності в ліву частину (щоб у правій залишився лише 0), а за потреби звести дроби до спільного знаменника.
ІІ. Знайти область допустимих значень (ОДЗ). Зокрема:
IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму і розбити ними числову пряму на інтервали. Точки, знайдені в п. ІІІ, зафарбовують лише для нестрогих нерівностей. Точки, що не належать ОДЗ, завжди позначаються виколотими, навіть якщо вони є нулями чисельника.
V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності >0, ≥0, <0 або ≤0)
VII. Записати відповідь
Завдання 1. Розв’яжіть нерівність 1x ≤ 13.
І. Перенести всі доданки нерівності в ліву частину (щоб у правій залишився лише 0), а за потреби звести дроби до спільного знаменника.
ІІ. Знайти область допустимих значень (ОДЗ). Зокрема:
- Знаменник дробу не дорівнює 0
- Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
- Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0
IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму і розбити ними числову пряму на інтервали. Точки, знайдені в п. ІІІ, зафарбовують лише для нестрогих нерівностей. Точки, що не належать ОДЗ, завжди позначаються виколотими, навіть якщо вони є нулями чисельника.
V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності >0, ≥0, <0 або ≤0)
VII. Записати відповідь
(-∞; 0)
(0; 3]
[3; +∞)
(-∞; 0)∪[3; +∞)
(-∞; 3]
Показати відповідь
Г.
1x ≤ 13
1x - 13 ≤ 0
3 - x3x ≤ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x ≠ 0.
ІІ. Нулі функції: х = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо 3 - (-1)3 · (-1) = 4-3 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 3 - 13 · 1 = 23 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо 3 - 43 · 4 = -112 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, х∈(-∞;0)∪[3;+∞).
Завдання 2. Укажіть число, що є розв'язком нерівності 5x - 3 ≥ 1.
1x ≤ 13
1x - 13 ≤ 0
3 - x3x ≤ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x ≠ 0.
ІІ. Нулі функції: х = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо 3 - (-1)3 · (-1) = 4-3 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 3 - 13 · 1 = 23 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо 3 - 43 · 4 = -112 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, х∈(-∞;0)∪[3;+∞).
-2
0
2
9
4
Показати відповідь
Д.
І спосіб
5x - 3 ≥ 1
5x - 3 - 1 ≥ 0
5x - 3 - x - 3x - 3 ≥ 0
5 - (x - 3)x - 3 ≥ 0
5 - x + 3x - 3 ≥ 0
8 - xx - 3 ≥ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠3.
ІІ. Нулі функції: х = 8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = 0. Маємо 8 - 00 - 3 = 8-3 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 5. Маємо 8 - 55 - 3 = 32 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 10. Маємо 8 - 1010 - 3 = -27 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, х∈(3;8]. Даному проміжку належить лише число 4.
ІІ спосіб
Підставимо дані числа у нерівність. Маємо:
А) 5-2 - 3 = 5-5 = -1 ≤ 1
Б) 50 - 3 = 5-3 ≤ 1
В) 52 - 3 = 5-1 = -5 ≤ 1
Г) 59 - 3 = 56 ≤ 1
Д) 54 - 3 = 51 = 5 ≥ 1. Задовольняє.
Завдання 3. Розв’яжіть нерівність 1x - 5 < 0.
І спосіб
5x - 3 ≥ 1
5x - 3 - 1 ≥ 0
5x - 3 - x - 3x - 3 ≥ 0
5 - (x - 3)x - 3 ≥ 0
5 - x + 3x - 3 ≥ 0
8 - xx - 3 ≥ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠3.
ІІ. Нулі функції: х = 8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = 0. Маємо 8 - 00 - 3 = 8-3 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 5. Маємо 8 - 55 - 3 = 32 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 10. Маємо 8 - 1010 - 3 = -27 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, х∈(3;8]. Даному проміжку належить лише число 4.
ІІ спосіб
Підставимо дані числа у нерівність. Маємо:
А) 5-2 - 3 = 5-5 = -1 ≤ 1
Б) 50 - 3 = 5-3 ≤ 1
В) 52 - 3 = 5-1 = -5 ≤ 1
Г) 59 - 3 = 56 ≤ 1
Д) 54 - 3 = 51 = 5 ≥ 1. Задовольняє.
(-∞; 5)
(-∞; -5)
(-∞; 5)∪(5; +∞)
(-5; +∞)
(5; +∞)
Показати відповідь
А.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠5.
ІІ. Нулі функції: немає.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = 0. Маємо 10 - 5 = 1-5 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 10. Маємо 110 - 5 = 15 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, х∈(-∞;5).
Завдання 4. Розв’яжіть нерівність 3xx + 1 < 7x + 1.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠5.
ІІ. Нулі функції: немає.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = 0. Маємо 10 - 5 = 1-5 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 10. Маємо 110 - 5 = 15 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, х∈(-∞;5).
(-1; 73)
(-∞; -1)
(-∞; -1)∪(73; +∞)
(-∞; -1)∪(-1; 73)
(-∞; 73)
Показати відповідь
А.
3xx + 1 < 7x + 1
3xx + 1 - 7x + 1 < 0
3x - 7x + 1 < 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠-1.
ІІ. Нулі функції: x = 73.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -2. Маємо 3 · (-2) - 7-2 + 1 = -13-1 = 13 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 3 · 1 - 71 + 1 = -42 = -2 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 3. Маємо 3 · 3 - 73 + 1 = 24 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-1; 73).
Завдання 5. Розв’яжіть нерівність x - 4x ≤ 0.
3xx + 1 < 7x + 1
3xx + 1 - 7x + 1 < 0
3x - 7x + 1 < 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠-1.
ІІ. Нулі функції: x = 73.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -2. Маємо 3 · (-2) - 7-2 + 1 = -13-1 = 13 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 3 · 1 - 71 + 1 = -42 = -2 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 3. Маємо 3 · 3 - 73 + 1 = 24 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-1; 73).
(-∞; 0)∪(0; 4]
(0; 4]
[-4; 0)
(-∞; -4]
(-∞; 0)∪[4; +∞)
Показати відповідь
Б.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠0.
ІІ. Нулі функції: x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо -1 - 4-1 = -5-1 = 5 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 1 - 41 = -31 = -3 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 5. Маємо 5 - 45 = 15 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(0;4].
Завдання 6. Розв’яжіть нерівність x + 1x ≤ 43.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠0.
ІІ. Нулі функції: x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо -1 - 4-1 = -5-1 = 5 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 1 - 41 = -31 = -3 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 5. Маємо 5 - 45 = 15 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(0;4].
(-∞; 0)∪[3; +∞)
(0; 3]
[3; +∞)
(-∞; 0)
(-∞; 3]
Показати відповідь
А.
x + 1x ≤ 43
x + 1x - 43 ≤ 0
3(x + 1) - 4x3x ≤ 0
3x + 3 - 4x3x ≤ 0
3 - x3x ≤ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠0.
ІІ. Нулі функції: x = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо 3 - (-1)3 · (-1) = 4-3 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 3 - 13 · 1 = 23 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо 3 - 43 · 4 = -112 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-∞; 0)∪[3; +∞).
Завдання 7. Розв’яжіть нерівність 2x - 4x + 1 < 0.
x + 1x ≤ 43
x + 1x - 43 ≤ 0
3(x + 1) - 4x3x ≤ 0
3x + 3 - 4x3x ≤ 0
3 - x3x ≤ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠0.
ІІ. Нулі функції: x = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо 3 - (-1)3 · (-1) = 4-3 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 3 - 13 · 1 = 23 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо 3 - 43 · 4 = -112 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-∞; 0)∪[3; +∞).
(-∞; 2)
(-∞; -1)∪(-1; 2)
(-1; 2)
(-∞; -1)∪(2; +∞)
(-∞; -1)
Показати відповідь
В.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠ -1.
ІІ. Нулі функції: 2x-4 = 0, звідси x = 2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -2. Маємо 2 · (-2) - 4-2 + 1 = -8-1 = 8 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 2 · 1 - 41 + 1 = -22 = -1 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 3. Маємо 2 · 3 - 43 + 1 = 24 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-1;2).
Завдання 8. Розв’яжіть нерівність x² + 64x - 5 > 0.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠ -1.
ІІ. Нулі функції: 2x-4 = 0, звідси x = 2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -2. Маємо 2 · (-2) - 4-2 + 1 = -8-1 = 8 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 1. Маємо 2 · 1 - 41 + 1 = -22 = -1 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 3. Маємо 2 · 3 - 43 + 1 = 24 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈(-1;2).
(-∞; 5)∪(8; +∞)
(-∞; 5)∪(5; +∞)
(5; 8)
(5; +∞)
(-∞; 5)
Показати відповідь
Г.
Оскільки чисельник дробу завжди додатний, то для того, щоб дріб був більше нуля, його знаменник також повинен бути більше нуля, отже маємо x - 5 > 0, звідси x > 5. Отже, x∈(5; +∞).
Завдання 9. Розв’яжіть нерівність (5 - x)²x² + x - 6 ≥ 0.
Оскільки чисельник дробу завжди додатний, то для того, щоб дріб був більше нуля, його знаменник також повинен бути більше нуля, отже маємо x - 5 > 0, звідси x > 5. Отже, x∈(5; +∞).
(-∞; -3)∪(2; 5]
(-3; -2)∪[5; +∞)
(-∞; -3)∪(2; +∞)
(-∞; -2)∪(3; +∞)
(-3; 2)∪{5}
Показати відповідь
В.
Оскільки чисельник дробу завжди більше або дорівнює 0, то сам дріб більше або дорівнює нулю або коли чисельник дорівнює 0 (отже, х = 5), або коли знаменник додатний. Розв'яжемо нерівність x² + x - 6 > 0 методом інтервалів. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x² + x - 6 = 0.
D = 1² - 4 · 1 · (-6) = 1+24 = 25.
x₁ = -1 - √252 · 1 = -1 - 52 = -62 = -3
x₂ = -1 + √252 · 1 = -1 + 52 = 42 = 2
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -4. Маємо (-4)² + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо 0² + 0 - 6 = -6 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо 4² + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)>0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞; -3)∪(2; +∞). Оскільки число 5 входить у другий проміжок, то відповідь така і залишається.
Завдання 10. Розв’яжіть нерівність (x - 6)(x + 2)²x - 3 ≤ 0.
Оскільки чисельник дробу завжди більше або дорівнює 0, то сам дріб більше або дорівнює нулю або коли чисельник дорівнює 0 (отже, х = 5), або коли знаменник додатний. Розв'яжемо нерівність x² + x - 6 > 0 методом інтервалів. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x² + x - 6 = 0.
D = 1² - 4 · 1 · (-6) = 1+24 = 25.
x₁ = -1 - √252 · 1 = -1 - 52 = -62 = -3
x₂ = -1 + √252 · 1 = -1 + 52 = 42 = 2
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -4. Маємо (-4)² + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо 0² + 0 - 6 = -6 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо 4² + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)>0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞; -3)∪(2; +∞). Оскільки число 5 входить у другий проміжок, то відповідь така і залишається.
{-2}∪(3; 6]
(-∞; -2]∪(3; 6]
[-2; 6]
(-∞; 6]
(-∞; 3)∪(3; 6]
Показати відповідь
А.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x ≠ 3.
ІІ. Нулі функції: x = 6, x = -2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -3. Маємо (-3 - 6)(-3 + 2)²-3 - 3 = -9 · (-1)²-6 = 9 · 16 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо (0 - 6)(0 + 2)²0 - 3 = -6 · 2²-3 = 6 · 43 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо (4 - 6)(4 + 2)²4 - 3 = -2 · 6²1 = -2 · 361 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку четвертого інтервалу х = 7. Маємо (7 - 6)(7 + 2)²7 - 3 = 1 · 9²4 > 0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈{-2}∪(3; 6] (точку -2 включили, оскільки вона замальована).
Завдання 11. Розв’яжіть нерівність x³ ≥ x².
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x ≠ 3.
ІІ. Нулі функції: x = 6, x = -2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -3. Маємо (-3 - 6)(-3 + 2)²-3 - 3 = -9 · (-1)²-6 = 9 · 16 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо (0 - 6)(0 + 2)²0 - 3 = -6 · 2²-3 = 6 · 43 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 4. Маємо (4 - 6)(4 + 2)²4 - 3 = -2 · 6²1 = -2 · 361 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку четвертого інтервалу х = 7. Маємо (7 - 6)(7 + 2)²7 - 3 = 1 · 9²4 > 0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≤0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Отже, x∈{-2}∪(3; 6] (точку -2 включили, оскільки вона замальована).
(-∞; 0]∪[1; +∞)
[0; 1]
[1; +∞)
{0}∪[1; +∞)
[-1; +∞)
Показати відповідь
Г.
x³ ≥ x²
x³ - x²≥0
x²(x - 1) ≥ 0. Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x∈ R.
ІІ. Нулі функції: x = 0, x = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо (-1)²(-1 - 1) = - 2 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0,5. Маємо 0,5²(0,5 - 1) = 0,25 · (-0,5) < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 2. Маємо 2²(2 - 1) = 4 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈{0}∪[1; +∞) (оскільки число 0 не належить жодному інтервалу, його записуємо окремо у фігурних дужках).
Завдання 12. Розв’яжіть нерівність 3x - 2 + 4x ≥ 1. У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв'язків.
x³ ≥ x²
x³ - x²≥0
x²(x - 1) ≥ 0. Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x∈ R.
ІІ. Нулі функції: x = 0, x = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо (-1)²(-1 - 1) = - 2 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0,5. Маємо 0,5²(0,5 - 1) = 0,25 · (-0,5) < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 2. Маємо 2²(2 - 1) = 4 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈{0}∪[1; +∞) (оскільки число 0 не належить жодному інтервалу, його записуємо окремо у фігурних дужках).
Показати відповідь
34.
3x - 2 + 4x ≥ 1
3x - 2 + 4x - 1 ≥ 0
3x + 4(x - 2) - (x - 2)x(x - 2)x ≥ 0
3x + 4x - 8 - x² + 2x(x - 2)x ≥ 0
9x - 8 - x²(x - 2)x ≥ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠2, x≠0.
ІІ. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння 9x - 8 - x² = 0.
D = 9² - 4 · (-1) · (-8) = 81 - 32 = 49.
x₁ = -9 - √492 · (-1) = -9 - 7-2 = -16-2 = 8.
x₂ = -9 + √492 · (-1) = -9 + 7-2 = -2-2 = 1
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо 9 · (-1) - 8 - (-1)²(-1 - 2) · (-1) = -9 - 8 - 1-3 · (-1) = -183 = -6 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0,5. Маємо 9 · 0,5 - 8 - 0,5²(0,5 - 2) · 0,5 = 4,5 - 8 - 0,25-1,5 · 0,5 = -3,75-0,75 = 3,750,75 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 1,5. Маємо 9 · 1,5 - 8 - 1,5²(1,5 - 2) · 1,5 = 13,5 - 8 - 2,25-0,5 · 1,5 = 3,25-0,75 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку четвертого інтервалу х = 3. Маємо 9 · 3 - 8 - 3²(3 - 2) · 3 = 27 - 8 - 91 · 3 = 103 > 0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку п'ятого інтервалу х = 9. Маємо 9 · 9 - 8 - 9²(9 - 2) · 9 = 81 - 8 - 817 · 9 = -863 < 0. Ставимо в п'ятому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Цілими розв'язками є числа 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Їх сума 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34.
Завдання 13. Розв’яжіть нерівність x² + 11x + 30x² + 3x - 10 < 0. У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа не має, то у відповідь запишіть число 100.
3x - 2 + 4x ≥ 1
3x - 2 + 4x - 1 ≥ 0
3x + 4(x - 2) - (x - 2)x(x - 2)x ≥ 0
3x + 4x - 8 - x² + 2x(x - 2)x ≥ 0
9x - 8 - x²(x - 2)x ≥ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: x≠2, x≠0.
ІІ. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння 9x - 8 - x² = 0.
D = 9² - 4 · (-1) · (-8) = 81 - 32 = 49.
x₁ = -9 - √492 · (-1) = -9 - 7-2 = -16-2 = 8.
x₂ = -9 + √492 · (-1) = -9 + 7-2 = -2-2 = 1
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -1. Маємо 9 · (-1) - 8 - (-1)²(-1 - 2) · (-1) = -9 - 8 - 1-3 · (-1) = -183 = -6 < 0. Ставимо в першому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0,5. Маємо 9 · 0,5 - 8 - 0,5²(0,5 - 2) · 0,5 = 4,5 - 8 - 0,25-1,5 · 0,5 = -3,75-0,75 = 3,750,75 > 0. Ставимо в другому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 1,5. Маємо 9 · 1,5 - 8 - 1,5²(1,5 - 2) · 1,5 = 13,5 - 8 - 2,25-0,5 · 1,5 = 3,25-0,75 < 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку четвертого інтервалу х = 3. Маємо 9 · 3 - 8 - 3²(3 - 2) · 3 = 27 - 8 - 91 · 3 = 103 > 0. Ставимо в четвертому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку п'ятого інтервалу х = 9. Маємо 9 · 9 - 8 - 9²(9 - 2) · 9 = 81 - 8 - 817 · 9 = -863 < 0. Ставимо в п'ятому інтервалі знак "-".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Цілими розв'язками є числа 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Їх сума 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34.
Показати відповідь
-4.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: знайдемо, коли знаменник обертається в 0. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x² + 3x - 10 = 0.
D = 3² - 4 · 1 · (-10) = 9 + 40 = 49.
x₁ = -3 - √492 · 1 = -3 - 72 = -102 = -5
x₂ = -3 + √492 · 1 = -3 + 72 = 42 = 2
Отже, х≠ -5, x≠2.
ІІ. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x² + 11x + 30 = 0
D = 11² - 4 · 1 · 30 = 121 - 120 = 1.
x₁ = -11 - √12 · 1 = -11 - 12 = -122 = -6
x₂ = -11 + √12 · 1 = -11 + 12 = -102 = -5
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Для спрощення обчислень розкладемо квадратні тричлени на множники і виконаємо спрощення. x² + 11x + 30x² + 3x - 10 = (x + 5)(x + 6)(x - 2)(x + 5) = x + 6x - 2. При цьому враховуємо, що x≠−5, оскільки ця точка не належить ОДЗ і після скорочення не зникає з числової прямої.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -7. Маємо -7 + 6-7 - 2 = -1-9 = 19 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо 0 + 60 - 2 = 6-2 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 3. Маємо 3 + 63 - 2 = 91 = 9 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Найменшим цілим із отриманої відповіді є число -4.
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
І. ОДЗ: знайдемо, коли знаменник обертається в 0. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x² + 3x - 10 = 0.
D = 3² - 4 · 1 · (-10) = 9 + 40 = 49.
x₁ = -3 - √492 · 1 = -3 - 72 = -102 = -5
x₂ = -3 + √492 · 1 = -3 + 72 = 42 = 2
Отже, х≠ -5, x≠2.
ІІ. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x² + 11x + 30 = 0
D = 11² - 4 · 1 · 30 = 121 - 120 = 1.
x₁ = -11 - √12 · 1 = -11 - 12 = -122 = -6
x₂ = -11 + √12 · 1 = -11 + 12 = -102 = -5
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі. Для спрощення обчислень розкладемо квадратні тричлени на множники і виконаємо спрощення. x² + 11x + 30x² + 3x - 10 = (x + 5)(x + 6)(x - 2)(x + 5) = x + 6x - 2. При цьому враховуємо, що x≠−5, оскільки ця точка не належить ОДЗ і після скорочення не зникає з числової прямої.
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -7. Маємо -7 + 6-7 - 2 = -1-9 = 19 > 0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо 0 + 60 - 2 = 6-2 < 0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 3. Маємо 3 + 63 - 2 = 91 = 9 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)<0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "-". Найменшим цілим із отриманої відповіді є число -4.
Коментарі