Площі фігур — це одна з центральних тем планіметрії, яка вимагає не лише знання формул, а й уміння бачити приховані зв'язки між елементами фігур. Розуміння того, як площа залежить від висот, кутів та радіусів описаних і вписаних кіл, дозволяє розв'язувати найскладніші задачі НМТ, де декілька фігур комбінуються в одну систему.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся знаходити площі через діагоналі та використовувати властивості подібних фігур. Тут зібрано все: від базових фігур до складних комбінацій прямокутників із секторами та колами.
Завдання 1. На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см². Точка М належить стороні ВС. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.
45 см²
40 см²
35 см²
30 см²
20 см²
Показати відповідь
Г.
Площа паралелограма ABCD S = AD · hAD = 60 см². Площа трикутника AMD S = ½AD · hAD = ½ · 60 = 30 см² (висоти паралелограма та трикутника, проведені до сторони AD, рівні). Трикутник AMD і два зафарбовані трикутники разом утворюють паралелограм ABCD. Тому їх площа дорівнює 60 - 30 = 30 см².
Завдання 2. Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут 60°. Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.
Площа паралелограма ABCD S = AD · hAD = 60 см². Площа трикутника AMD S = ½AD · hAD = ½ · 60 = 30 см² (висоти паралелограма та трикутника, проведені до сторони AD, рівні). Трикутник AMD і два зафарбовані трикутники разом утворюють паралелограм ABCD. Тому їх площа дорівнює 60 - 30 = 30 см².
64√3 м²
128√3 м²
128 м²
256 м²
256√3 м²
Показати відповідь
Б.
З прямокутного трикутника ACD AD = CDtg60° = 16√3. Тоді площа прямокутника ABCD S = AD · CD = 16√3 · 16 = 256√3. Так як K і L середини АВ і ВС, то KB = 16 : 2 = 8, BL = 16√3 : 2 = 8√3. Тоді площа прямокутного трикутника KBL S = ½KB · BL = ½ · 8 · 8√3 = 32√3. Так як трикутники KBL, LCM, NDM, NAK рівні, то вони мають однакові площі. Тоді їх загальна площа 4 · 32√3 = 128√3. Ці трикутники доповнюють площу чотирикутника KLMN до площі прямокутника ABCD і площа чотирикутника KLMN дорівнює 256√3 - 128√3 = 128√3.
Завдання 3. У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см². Обчисліть площу прямокутника ABCD.
24 см²
30 см²
36 см²
42 см²
48 см²
Показати відповідь
Д.
Так як трикутники КОМ і РОТ рівні, то площа фігури, що складається з зафарбованих трикутників дорівнює площі трикутника DOC. Трикутники АОВ і DOC рівні, тому рівні і їх площі. Оскільки синуси суміжних кутів рівні, АО = ОС, сторона DO у трикутників AOD і COD спільна, то площі цих трикутників також рівні. Отже, діагоналі прямокутника розбивають його на 4 трикутника, площі яких рівні і площа всього прямокутника S = 4 · 12 = 48 см².
Завдання 4. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).
1 круг радіуса 4 см (рис. 1)
2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30° (рис. 3)
4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)
2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30° (рис. 3)
4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)
А 12π см²
Б 16π см²
В 18π см²
Г 20π см²
Д 24π см²
Б 16π см²
В 18π см²
Г 20π см²
Д 24π см²
Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-А, 4-Г.
1) S = πR² = π · 4² = 16π.
2) S = 0,5πR² = 0,5π · 6² = 0,5 · 36π = 18π.
3) S = πR² · α : 360° = π · 12² · 30° : 360° = π · 12² : 12 = 12π.
4) S = πR² - πr² = π · 6² - π · 4² = 36π - 16π = 20π.
Завдання 5. Точки K і L – середини сторін AB і AD паралелограма ABCD (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника KBCDL(у см²), якщо площа паралелограма ABCD дорівнює 24 см².
1) S = πR² = π · 4² = 16π.
2) S = 0,5πR² = 0,5π · 6² = 0,5 · 36π = 18π.
3) S = πR² · α : 360° = π · 12² · 30° : 360° = π · 12² : 12 = 12π.
4) S = πR² - πr² = π · 6² - π · 4² = 36π - 16π = 20π.
Показати відповідь
21.
Оскільки площа паралелограма S = absinα, то за умовою АВ · ADsinA = 24. Так як K і L – середини сторін AB і AD, то AK = AB : 2, AL = AD : 2. Площа трикутника AKL S = 0,5AK · ALsinA = 0,5(AB : 2) · (AD : 2)sinA = 0,5 · (24 : 4) = 3. Так як даний трикутник доповнює п'ятикутник KBCDL до паралелограма ABCD, то площа п’ятикутника KBCDL 24 - 3 = 21 см².
Завдання 6. На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює 96 см². У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.
Оскільки площа паралелограма S = absinα, то за умовою АВ · ADsinA = 24. Так як K і L – середини сторін AB і AD, то AK = AB : 2, AL = AD : 2. Площа трикутника AKL S = 0,5AK · ALsinA = 0,5(AB : 2) · (AD : 2)sinA = 0,5 · (24 : 4) = 3. Так як даний трикутник доповнює п'ятикутник KBCDL до паралелограма ABCD, то площа п’ятикутника KBCDL 24 - 3 = 21 см².
Показати відповідь
48.
Оскільки зафарбовані частини ромба симетричні незафарбованим відносно діагоналі ромба, то їх площі рівні. Тому площа зафарбованої фігури вдвічі менше площі ромба, тобто дорівнює 96 : 2 = 48 см².
Оскільки зафарбовані частини ромба симетричні незафарбованим відносно діагоналі ромба, то їх площі рівні. Тому площа зафарбованої фігури вдвічі менше площі ромба, тобто дорівнює 96 : 2 = 48 см².
Коментарі