Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур — одна з найпоширеніших тем НМТ. Для успішного розв'язання таких задач потрібно вміти визначати межі інтегрування, знаходити верхню та нижню функції, а також використовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.
На цій сторінці зібрано завдання НМТ і ЗНО різного рівня складності на знаходження площ криволінійних трапецій та фігур, обмежених графіками функцій. Усі вправи містять детальні пояснення та покрокові розв'язання.
Обчислення площі криволінійної трапеції
S = ∫ba(f(x) - g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій y = 2ˣ, 𝑦 = 2 та прямою x = 0 (див. рисунок).
S = ∫ba(f(x) - g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).
S = ∫202ˣdx
S = ∫102ˣdx
S = ∫10(2ˣ - 2)dx
S = ∫10(2 - 2ˣ)dx
S = ∫20(2 - 2ˣ)dx
Показати відповідь
Г.
Оскільки фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією y = 2ˣ. Тоді за формулою обчислення площі фігури S = ∫10(2 - 2ˣ)dx.
Завдання 2. На рисунку зображено графік функції f(x) = {1, x∈(-∞; 0],2, x∈(0; +∞). Обчисліть значення виразу ∫-1-4f(x)dx + 2∫81f(x)dx.
Оскільки фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією y = 2ˣ. Тоді за формулою обчислення площі фігури S = ∫10(2 - 2ˣ)dx.
Показати відповідь
31.
Скористаємось геометричним змістом визначеного інтеграла. Значення визначеного інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженої f(x) та межами інтегрування. Тоді дані інтеграли дорівнюють площі відповідних прямокутників. ∫-1-4f(x)dx = (- 1 - (- 4)) · 1 = 3 · 1 = 3. ∫81f(x)dx = (8 - 1) · 2 = 7 · 2 = 14. ∫-1-4f(x)dx + 2∫81f(x)dx = 3 + 2 · 14 = 31.
Завдання 3. На рисунку зображено графік непарної функції y = f(x), визначеної на проміжку [-5; 5]. Яке з наведених співвідношень є справедливим для f(x)?
∫0-3f(x)dx<0
∫30f(x)dx>0
∫3-3f(x)dx<0
∫3-3f(x)dx>0
∫3-3f(x)dx = 0
Показати відповідь
Д.
І спосіб. Для непарної функції ∫a-af(x)dx = 0.
ІІ спосіб. Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком " + " (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох). Тому перший інтеграл більший за 0, другий - менший за 0. Від -3 до 3 ми маємо дві однакові (функція непарна, а, отже, симетрична відносно О) фігури, одна з яких над віссю Ох, а друга - під. Тому ми маємо два інтеграли, які мають протилежні значення і їх сума дорівнює 0.
Завдання 4. У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій y = f(x) і y = 3 (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі S цієї фігури.
І спосіб. Для непарної функції ∫a-af(x)dx = 0.
ІІ спосіб. Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком " + " (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох). Тому перший інтеграл більший за 0, другий - менший за 0. Від -3 до 3 ми маємо дві однакові (функція непарна, а, отже, симетрична відносно О) фігури, одна з яких над віссю Ох, а друга - під. Тому ми маємо два інтеграли, які мають протилежні значення і їх сума дорівнює 0.
S = ∫3-1(f(x) - 3)dx
S = ∫3-1(3 - f(x))dx
S = ∫40(f(x) + 3)dx
S = ∫40(f(x) - 3)dx
S = ∫40(3 - f(x))dx
Показати відповідь
Д.
Оскільки функції перетинаються при х = 0 і х = 4, то межі інтегрування від 0 до 4. Від 0 до 4 верхня функція y = 3, нижня f(x), тому маємо S = ∫40(3 - f(x))dx.
Завдання 5. На рисунку зображено графіки функції y = f(x) і y = g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.
Оскільки функції перетинаються при х = 0 і х = 4, то межі інтегрування від 0 до 4. Від 0 до 4 верхня функція y = 3, нижня f(x), тому маємо S = ∫40(3 - f(x))dx.
S = ∫41(f(x) - g(x))dx
S = ∫41(g(x) - f(x))dx
S = ∫72(f(x) + g(x))dx
S = ∫72(f(x) - g(x))dx
S = ∫72(g(x) - f(x))dx
Показати відповідь
Г.
Оскільки функції перетинаються при х = 2 і х = 7, то межі інтегрування від 2 до 7. Від 2 до 7 верхня функція f(x), нижня g(x), тому маємо S = ∫72(f(x) - g(x))dx.
Завдання 6. На рисунку зображено графік функції y = f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.
Оскільки функції перетинаються при х = 2 і х = 7, то межі інтегрування від 2 до 7. Від 2 до 7 верхня функція f(x), нижня g(x), тому маємо S = ∫72(f(x) - g(x))dx.
Коментарі