Площа поверхні піраміди — важлива тема стереометрії, що охоплює обчислення площ бічної та повної поверхонь піраміди. Для правильної піраміди особливо важливо вміти знаходити апофему та застосовувати формулу площі бічної поверхні.
На сторінці подано основні формули та добірку задач НМТ і ЗНО з детальними поясненнями розв’язань. Розглянуто як базові задачі на площу поверхні, так і задачі з кутами, розгортками та перерізами.
- Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему (висоту бічної грані, проведеної з вершини піраміди) Sб = 0,5 · P · ha.
- Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі бічної поверхні та площі основи Sп = Sб + Sосн.
72 cм²
384 cм²
192 cм²
120 cм²
240 cм²
Показати відповідь
Г.
За умовою АВ = 8 см, SD = АВ + 2 = 8 + 2 = 10 см. Росн = 3 ∙ AB = 3 ∙ 8 = 24 cм. Sб = 0,5 ∙ Росн ∙ SD = 0,5 ∙ 24 ∙ 10 = 12 ∙ 10 = 120 cм².
Завдання 2. Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа її повної поверхні дорівнює 208 см², а довжина сторони основи — 8 см.
За умовою АВ = 8 см, SD = АВ + 2 = 8 + 2 = 10 см. Росн = 3 ∙ AB = 3 ∙ 8 = 24 cм. Sб = 0,5 ∙ Росн ∙ SD = 0,5 ∙ 24 ∙ 10 = 12 ∙ 10 = 120 cм².
13 см
12 см
9 см
8 см
6 см
Показати відповідь
В.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 8² = 64 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн, звідки Sбічна = Sповна - Sосн = 208 - 64 = 144 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 8 = 32 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 144 = 32 · ha : 2, звідки довжина апофеми ha = 144 : 32 · 2 = 9 см.
Завдання 3. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема — 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 8² = 64 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн, звідки Sбічна = Sповна - Sосн = 208 - 64 = 144 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 8 = 32 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 144 = 32 · ha : 2, звідки довжина апофеми ha = 144 : 32 · 2 = 9 см.
84 см²
204 см²
156 см²
162 см²
120 см²
Показати відповідь
Д.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 6² = 36 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 6 = 24 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо Sбічна = 24 · 7 : 2 = 12 · 7 = 84 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн = 84 + 36 = 120 см².
Завдання 4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 6² = 36 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 6 = 24 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо Sбічна = 24 · 7 : 2 = 12 · 7 = 84 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн = 84 + 36 = 120 см².
72 см²
24√3 см²
48√3 см²
72√3 см²
144 см²
Показати відповідь
А.
Знайдемо площу основи. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи Sосн = 6² = 36. Так як всі грані піраміди нахилені під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні з кутом нахилу 60°. Тоді Sбічн = Sосн : cos60° = 36 : 0,5 = 72 см².
Завдання 5. Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює 10 см, а довжина бічного ребра — 13 см.
Знайдемо площу основи. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи Sосн = 6² = 36. Так як всі грані піраміди нахилені під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні з кутом нахилу 60°. Тоді Sбічн = Sосн : cos60° = 36 : 0,5 = 72 см².
180 см²
15√69 см²
30√69 см²
360 см²
390 см²
Показати відповідь
А.
Так як піраміда правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді Р = 10 · 3 = 30 см. Бічна грань - рівнобедрений трикутник, бічні сторони 13, а основа 10. Апофема ділить основу бічної грані навпіл, тому її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо ha² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, звідки ha = 12 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 30 · 12 : 2 = 180 см².
Завдання 6. На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см²).
Так як піраміда правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді Р = 10 · 3 = 30 см. Бічна грань - рівнобедрений трикутник, бічні сторони 13, а основа 10. Апофема ділить основу бічної грані навпіл, тому її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо ha² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, звідки ha = 12 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 30 · 12 : 2 = 180 см².
100√3
100
400√3
100(1 + √3)
200
Показати відповідь
А.
Так як трикутники правильні, то їх площу можна знайти за формулою S = a²√34. Маємо S = 10²√34 = 100√34 = 25√3. Так як сторони квадрата рівні, то рівні сторони і у трикутників. Тоді площу бічної грані знайдемо помноживши площу одного трикутника на 4. Маємо S = 4 · 25√3 = 100√3.
Завдання 7. SABC і S₁A₁B₁C₁ — правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁. Визначте площу бічної поверхні піраміди SABC, якщо площа бічної грані S₁A₁B₁ дорівнює 8 см².
Так як трикутники правильні, то їх площу можна знайти за формулою S = a²√34. Маємо S = 10²√34 = 100√34 = 25√3. Так як сторони квадрата рівні, то рівні сторони і у трикутників. Тоді площу бічної грані знайдемо помноживши площу одного трикутника на 4. Маємо S = 4 · 25√3 = 100√3.
16 см²
24 см²
48 см²
64 см²
96 см²
Показати відповідь
Д.
З умови маємо, що грані пірамід (трикутники) подібні. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Отже, так як ребра піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁, то коефіцієнт подібності дорівнює 2. Тоді площа грані SAB в 4 рази більше площі грані S₁A₁B₁ і дорівнює 4 · 8 = 32. Так як піраміда правильна трикутна, то площу бічної поверхні піраміди SABC знайдемо помноживши площу однієї її бічної грані на 3. Маємо 32 · 3 = 96 см².
Завдання 8. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120°. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює 4 см.
З умови маємо, що грані пірамід (трикутники) подібні. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Отже, так як ребра піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁, то коефіцієнт подібності дорівнює 2. Тоді площа грані SAB в 4 рази більше площі грані S₁A₁B₁ і дорівнює 4 · 8 = 32. Так як піраміда правильна трикутна, то площу бічної поверхні піраміди SABC знайдемо помноживши площу однієї її бічної грані на 3. Маємо 32 · 3 = 96 см².
Показати відповідь
96.
Так як дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висота піраміди проходить через їх спільне ребро. Таким чином, SB - висота піраміди і дорівнює 4 см. Проведемо в ромбі висоти ВК і ВМ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похилі SK і SM також перпендикулярні до сторін основи і кути SKB та SMB є кутами нахилу бічних граней до площини основи і дорівнюють 30° за умовою. З прямокутного трикутника SBK SK = SB : sin∠SKB = 4 : sin30° = 4 : 0,5 = 8, BK = SBctg∠SKB = 4ctg30° = 4√3.Так як в ромбі кут В дорівнює 120°, то кут А дорівнює 180° - 120° = 60°. З прямокутного трикутника АВК АВ = ВК : sin∠ВАК = 4√3 : sin60° = 4√3 : √32 = 4√3 · 2√3 = 4 · 2 = 8 см. Площа трикутника ASB дорівнює ½АВ · SB = ½ · 8 · 4 = 16 см². Аналогічну площу має трикутник SBC. Площа трикутника ASD дорівнює ½AD · SK = ½ · 8 · 8 = 32 см². Аналогічну площу має трикутник SDM. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней і дорівнює 16 + 16 + 32 + 32 = 96 см².
Завдання 9. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює 30°. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.
Показати відповідь
144.
Проведемо в ромбі перпендикуляр ОM. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похила SM також перпендикулярна до сторони основи і кут SMО є кутом нахилу бічних граней до площини основи і дорівнює 60° за умовою. Крім того, оскільки ОM - перпендикуляр з центра ромба до сторони ромба, то ОM - центр вписаного кола і за умовою дорівнює 3 см. Проведемо висоту ВK ромба. Так як відрізки BK і ОM перпендикулярні до сторони основи, то вони паралельні. Так як точка О ділить BD навпіл і відрізки ОM і ВK паралельні, то ОM - середня лінія трикутника BKD, тоді ВK = 2ОM = 6 см. Так як ∠C = ∠A = 30°, то з прямокутного трикутника ВСK ВС = ВK : sin∠BKC = 6 : sin30° = 6 : 0,5 = 12 см.
І спосіб. З прямокутного трикутника SОM SM = ОM : cos∠OMS = 3 : cos60° = 3 : 0,5 = 6. Площа бічної грані SDC дорівнює ½CD · SM = ½ · 12 · 6 = 36 см². Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, всі ребра основи рівні, то піраміда має однакові бічні грані і площа бічної поверхні дорівнює площі однієї бічної грані, помноженої на 4, тобто 36 · 4 = 144 см²
ІІ спосіб. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули Sпр = S · cosφ слідує, що площу бічної поверхні піраміди можна знайти, поділивши площу основу на косинус кута нахилу. Площу ромба знайдемо як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. S = CD · BK = 12 · 6 = 72 см². Поділимо це число на cos60° (0,5) і отримаємо 144 см².
Завдання 10. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см. Обчисліть площу повної поверхні піраміди (у см²), якщо кут між апофемою та висотою піраміди дорівнює 30°.
І спосіб. З прямокутного трикутника SОM SM = ОM : cos∠OMS = 3 : cos60° = 3 : 0,5 = 6. Площа бічної грані SDC дорівнює ½CD · SM = ½ · 12 · 6 = 36 см². Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, всі ребра основи рівні, то піраміда має однакові бічні грані і площа бічної поверхні дорівнює площі однієї бічної грані, помноженої на 4, тобто 36 · 4 = 144 см²
ІІ спосіб. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули Sпр = S · cosφ слідує, що площу бічної поверхні піраміди можна знайти, поділивши площу основу на косинус кута нахилу. Площу ромба знайдемо як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. S = CD · BK = 12 · 6 = 72 см². Поділимо це число на cos60° (0,5) і отримаємо 144 см².
Показати відповідь
108.
Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто 6 : 2 = 3 см. З прямокутного трикутника SOM SM = OМ : sin∠OSM = 3 : sin30° = 3 : 0,5 = 6 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо Р = 4 · 6 = 24 см і Sб = 24 · 6 : 2 = 72 см². Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат і Sосн = 6² = 36 см². Sп = Sосн + Sб = 36 + 72 = 108 см².
Завдання 11. Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60°. Площа повної поверхні піраміди дорівнює 54√6 см². Обчисліть площу (у см²) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.
Показати відповідь
27.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата дорівнює х. Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD∥OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто х : 2 = 0,5х см. З прямокутного трикутника SOM SO = OМtg∠SMO = 0,5xtg60° = 0,5x√3 см. Діагональ BD квадрата x√2. Тоді площа шуканого перерізу (трикутника BSD) дорівнює ½BD · SO = ½ · (0,5x√3)x√2 = 0,25x² · 2√6. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули Sпр = S · cosφ слідує, що
Sб = Sосн : cos60° = Sосн : 0,5 = 2Sосн. Sп = Sосн + Sб = Sосн + 2Sосн = 3Sосн. Звідси Sосн = Sп : 3 = 18√6. Отже x² = 18√6. Тоді площа шуканого перерізу дорівнює 0,25 · 18√6 · √6 = 0,25 · 18 · 6 = 27 см².
Завдання 12. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60°. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см²).
Показати відповідь
24.
Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді кут SMO є кутом між апофемою та площиною основи і дорівнює 60°. З прямокутного трикутника SOM SM = SO : sin∠OMS = 3 : sin60° = 3 : √32 = 6√3, OM = SO : tg∠OMS = 3 : tg60° = 3√3. Оскільки AD∥OM і О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто AD = 2OM = 6√3 см. Тоді периметр основи Р = 4AD = 24√3. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо 24√3 · 6√3 : 2 = 24 · 63 · 2 = 24 см².
Коментарі