Площа трикутника — одна з основних тем планіметрії, для розв'язування задач з якої важливо не лише знати формулу, а й уміти знаходити потрібні висоту, основу та інші елементи фігури.
У завданнях НМТ площа трикутника часто пов'язана з властивостями інших геометричних фігур: прямокутника, ромба, паралелограма, кола та півкола. Тому для їх розв'язування потрібно вміти використовувати середні лінії, властивості дотичних і радіусів, теорему Піфагора, подібність та співвідношення площ.
На цій сторінці зібрано завдання НМТ і ЗНО на площу трикутника та її застосування — від безпосереднього обчислення площі за рисунком до складніших задач, у яких площу трикутника потрібно знайти через властивості інших фігур.
Площа трикутника:
Завдання 1. У трикутнику АВС точка М — середина сторони ВС, АС = 24 см (див. рисунок). Знайдіть відстань d від точки М до сторони АС, якщо площа трикутника АВС дорівнює 96 см².
- S = ½absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними)
- S = ½ahₐ (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
- S = √p(p - a)(p - b)(p - c), p = (a + b + c) : 2 (Формула Герона)
- S =abc4R (R-радіус описаного кола)
- S = pr (r-радіус вписаного кола)
2 см
3 см
4 см
6 см
8 см
Показати відповідь
В.
Проведемо висоту трикутника ВО. Оскільки М середина ВС і МР паралельний ВО, то МР - середня лінія трикутника ОВС. Тоді ВО = 2МР = 2d. Площа трикутника АВС знаходиться за формулою S = 0,5AC · BO. Підставимо відомі значення і отримаємо 96 = 0,5 · 24 · BO, звідки ВО = 96 : 12 = 8 см. Так як ВО = 2d, то d = ВО : 2 = 8 : 2 = 4 см.
Завдання 2. На папері в клітинку зображено трикутник АВС (див. рисунок). Вважайте, що кожна клітинка — квадрат зі стороною завдовжки 1 см. Знайдіть площу трикутника АВС.
Показати відповідь
7,5.
За клітинками маємо основу трикутника 5 клітинок, тобто 5 см, висота, проведена до цієї сторони - 3 клітинки, тобто 3 см. Площа трикутника S = 0,5 · 5 · 3 = 0,5 · 15 = 7,5 см².
Завдання 3. На рисунку зображено прямокутник ABCD та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці О₁ дотикається сторін АВ, ВС та AD, а коло із центром у точці О₂ проходить через вершини С та D. Відстані від точки О₂ до вершини С та сторони CD дорівнюють 20 см та 12 см відповідно.
1. Визначте радіус меншого кола (у см).За клітинками маємо основу трикутника 5 клітинок, тобто 5 см, висота, проведена до цієї сторони - 3 клітинки, тобто 3 см. Площа трикутника S = 0,5 · 5 · 3 = 0,5 · 15 = 7,5 см².
2. Обчисліть площу трикутника DО₁C (у см²).
Показати відповідь
16; 768.
Проведемо перпендикуляр О₂К до CD. Тоді О₂К є відстанню від точки О₂ до CD і дорівнює 12 см за умовою. З прямокутного трикутника О₂КС за теоремою Піфагора СК² = О₂C² - О₂K² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256. Тоді СК = 16 см. Так як О₂C і О₂D - радіуси кола, то трикутник О₂CD є рівнобедреним і в ньому висота О₂К є медіаною. Тоді CD = 2CK = 2 · 16 = 32 см. Так як менше коло дотикається сторін BC та AD, то діаметр цього кола дорівнює стороні CD і дорівнює 32 см. Тоді радіус кола R = d : 2 = 32 : 2 = 16 см.
2. Проведемо перпендикуляр О₁К₁ до CD. Так як точка О₁ рівновіддалена від C і D, то трикутник О₁CD є рівнобедреним і в ньому висота О₁К₁ є медіаною. Таким чином точки К і К₁ співпадають. Отже, точки О₁, О₂ і К лежать на одній прямій. Так як кола дотикаються зовнішнім дотиком, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Отже О₁О₂ = 16 + 20 = 36 см. Висота О₁К трикутника дорівнює О₁О₂ + О₂К = 36 + 12 = 48 см. Площа трикутника DО₁C S = 0,5CD · О₁К = 0,5 · 32 · 48 = 768 см².
Завдання 4. На рисунку зображено прямокутник ABCD та півколо з центром О. AD – діаметр півкола. ВК : КМ = 1 : 3, АВ = 4 см.
1. Визначте радіус півкола (у см).2. Проведемо перпендикуляр О₁К₁ до CD. Так як точка О₁ рівновіддалена від C і D, то трикутник О₁CD є рівнобедреним і в ньому висота О₁К₁ є медіаною. Таким чином точки К і К₁ співпадають. Отже, точки О₁, О₂ і К лежать на одній прямій. Так як кола дотикаються зовнішнім дотиком, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Отже О₁О₂ = 16 + 20 = 36 см. Висота О₁К трикутника дорівнює О₁О₂ + О₂К = 36 + 12 = 48 см. Площа трикутника DО₁C S = 0,5CD · О₁К = 0,5 · 32 · 48 = 768 см².
2. Обчисліть площу трикутника КОМ (у см²).
Показати відповідь
5; 12.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х, тоді ВК = х, КМ = 3х. Проведемо перпендикуляр ОТ до КМ. Так як ОК і ОМ - радіуси, то трикутник КМО рівнобедрений і перпендикуляр ОТ є медіаною. Тоді КТ = КМ : 2 = 3х : 2 = 1,5х. ВТ = ВК + КТ = х + 1,5х = 2,5х. Так як АВТО - прямокутник, то АО = ВТ = 2,5х, ОТ = АВ = 4 см.
1. О -центр кола, тому ОК і ОА - радіуси кола і ОК = ОА = 2,5х. З прямокутного трикутника ОКТ за теоремою Піфагора OK² = KT² + OT². Підставимо відомі значення і отримуємо рівняння :
(2,5x)² = (1,5x)² + 4²
6,25x² = 2,25x² + 16
6,25x²-2,25x² = 16
4x² = 16
x² = 4
x = ±2
Так як довжина сторін додатне число, то залишаємо х = 2 і тоді R = OK = 2,5 · 2 = 5 см.
2. КМ = 3 · 2 = 6 см і за формулою площі трикутника S = 0,5KM · TO = 0,5 · 6 · 4 = 12 см².
Завдання 5. План паркової зони, обмеженої трикутником АВС, зображено на рисунку. Дуга АВ — велосипедна доріжка. Відомо, що дуга АВ є четвертою частиною кола радіуса 1,8 км. СА і СВ — дотичні до цього кола (А і В — точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км²).
1. О -центр кола, тому ОК і ОА - радіуси кола і ОК = ОА = 2,5х. З прямокутного трикутника ОКТ за теоремою Піфагора OK² = KT² + OT². Підставимо відомі значення і отримуємо рівняння :
(2,5x)² = (1,5x)² + 4²
6,25x² = 2,25x² + 16
6,25x²-2,25x² = 16
4x² = 16
x² = 4
x = ±2
Так як довжина сторін додатне число, то залишаємо х = 2 і тоді R = OK = 2,5 · 2 = 5 см.
2. КМ = 3 · 2 = 6 см і за формулою площі трикутника S = 0,5KM · TO = 0,5 · 6 · 4 = 12 см².
Показати відповідь
1,62.
Оскільки АС і СВ дотичні до кола, то вони перпендикулярні до радіусів ОА та ОВ, проведених в точку дотику. Так як дуга АВ є четвертою частиною кола, то кут АОВ - прямий. Тоді, враховуючи, що ОА = ОВ, ОВСА - квадрат зі стороною 1,8 км. Тоді АС = СВ = 1,8 км і площа паркової зони S = 0,5AC · CB = 0,5 · 1,8 · 1,8 = 0,5 · 3,24 = 1,62 км².
Завдання 6. У прямокутнику ABCD : АВ = 6 см, ВС = 8 см, K і L – середини сторін ВС і СD відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника AKL (у см²).
Показати відповідь
18.
SABCD = AB · BC = 6 · 8 = 48 см². Так як К - середина ВС, то ВК = КС = ВС : 2 = 8 : 2 = 4 см. Площа трикутника АВК SABK = 0,5AB · BK = 0,5 · 6 · 4 = 12 см². Так як L - середина СD, то CL = LD = CD : 2 = 6 : 2 = 3 см. Площа трикутника KCL SKCL = 0,5KC · CL = 0,5 · 4 · 3 = 6 см². Площа трикутника ADL SADL = 0,5AD · DL = 0,5 · 8 · 3 = 12 см². SAKL = SABCD-SABK-SKCL-SADL = 48-12-6-12 = 18 см².
Завдання 7. Гіпотенуза АС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС дорівнює 3,6 м. У цей трикутник вписано квадрат MNKP, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші — на катетах.SABCD = AB · BC = 6 · 8 = 48 см². Так як К - середина ВС, то ВК = КС = ВС : 2 = 8 : 2 = 4 см. Площа трикутника АВК SABK = 0,5AB · BK = 0,5 · 6 · 4 = 12 см². Так як L - середина СD, то CL = LD = CD : 2 = 6 : 2 = 3 см. Площа трикутника KCL SKCL = 0,5KC · CL = 0,5 · 4 · 3 = 6 см². Площа трикутника ADL SADL = 0,5AD · DL = 0,5 · 8 · 3 = 12 см². SAKL = SABCD-SABK-SKCL-SADL = 48-12-6-12 = 18 см².
1. Визначте площу трикутника ABC (у м²).
2. Обчисліть площу квадрата MNKP (у м²).
Показати відповідь
3,24; 1,44.
1. Так як трикутник рівнобедрений, то АВ = ВС. Запишемо теорему Піфагора для цього трикутника : AB² + BC² = AC²
AB² + AB² = 3,6²
2AB² = 12,96
AB² = 6,48
Площа трикутника АВС S = 0,5AB · BC = 0,5AB · AB = 0,5AB² = 0,5 · 6,48 = 3,24.
2. Так як трикутник прямокутний рівнобедрений, то гострі кути в нього по 45°. Тоді в прямокутному трикутнику АМР кут АРМ також 45°. Тоді трикутник АМР рівнобедрений і АМ = МР. Аналогічно маємо NC = KN. Так як MNKP - квадрат, то в нього всі сторони рівні і AM = MN = NC. Тоді MN = 3,6 : 3 = 1,2. Площа квадрата S = MN² = 1,2² = 1,44.
Завдання 8. На стороні ВС ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону DC у точці К. Відстані від точки К до вершин В і С дорівнюють 7 см та √15 см відповідно.AB² + AB² = 3,6²
2AB² = 12,96
AB² = 6,48
Площа трикутника АВС S = 0,5AB · BC = 0,5AB · AB = 0,5AB² = 0,5 · 6,48 = 3,24.
2. Так як трикутник прямокутний рівнобедрений, то гострі кути в нього по 45°. Тоді в прямокутному трикутнику АМР кут АРМ також 45°. Тоді трикутник АМР рівнобедрений і АМ = МР. Аналогічно маємо NC = KN. Так як MNKP - квадрат, то в нього всі сторони рівні і AM = MN = NC. Тоді MN = 3,6 : 3 = 1,2. Площа квадрата S = MN² = 1,2² = 1,44.
1. Визначте периметр ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть площу трикутника ABC (у см²).
Показати відповідь
32; 28.
1. Так як кут ВКС вписаний в коло і спирається на його діаметр, то він прямий. Тоді в прямокутному трикутнику ВКС за теоремою Піфагора ВС² = ВК² + КС² = 49 + 15 = 64. Звідси ВС = 8 см. Периметр ромба P = 4DC = 4 · 8 = 32 см.
2. Площа ромба S = CD · BK = 8 · 7 = 56 см². Так як трикутник АВС займає половину ромба, то його площа дорівнює половині площі ромба, тобто 56 : 2 = 28 см².
2. Площа ромба S = CD · BK = 8 · 7 = 56 см². Так як трикутник АВС займає половину ромба, то його площа дорівнює половині площі ромба, тобто 56 : 2 = 28 см².
Коментарі