Логарифмічні вирази

Логарифмічні вирази — фундаментальний розділ алгебри, що описує операцію, обернену до піднесення до степеня. Розуміння логарифмів є критично важливим для успішного складання НМТ, оскільки ця тема пронизує значну частину екзаменаційних завдань: від спрощення складних обчислень до розв’язання показникових рівнянь та аналізу поведінки функцій у природничих науках.

На цій сторінці представлено систематизований виклад властивостей логарифмів та практичний блок із детальним розбором завдань НМТ минулих років. Ми розглянемо ключові правила додавання, віднімання та перетворення логарифмів, навчимося впевнено переходити до нової основи, а також розберемо алгоритми оцінювання значень виразів, що дозволить вам швидко знаходити правильні відповіді у тестовій частині іспиту.

---

Дії з логарифмами
Якщо log_ab = c, то b = a^c
log_aa = 1
log_a1 = 0
log_ab+log_ac = log_abc
log_ab-log_ac = log_a\frac{b}{c}
n · log_ab = log_abⁿ
\frac{1}{k}log_ab = log_a^kb
a^log_aN = N

Завдання 1. НМТ 2024. 2log₆3 + log₆4=

log₆10

log₆24

log₆13

2

6

Показати відповідь

Г
2log₆3 + log₆4 = log₆3² + log₆4 = log₆9 + log₆4 = log₆(9∙4) = log₆36 = 2 (так як 6² = 36).

Завдання 2. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу log_0,2125.

(–∞; –3)

[–3; 0)

[0; 3)

[3; 25)

[25; +∞)

Показати відповідь

Б.
log_0,2125 = log_\frac{1}{5}5^3 = log_{5^{-1}}5^3 = \frac{3}{-1}log_5 5 = -3. Число -3 входить в проміжок [–3; 0).

Завдання 3. До початку речення (1-3) доберіть закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо n - натуральне число.

1 Якщо \frac{n}{a}=3, то
2 Якщо 1+log₃n=log₃a, то
3 Якщо 3ⁿ · 3=3^a, то

А a=3n
Б a=n+1
В a=n+3
Г a=\frac{3}{n}
Д a=\frac{n}{3}

Показати відповідь

1-Д, 2-А, 3-Б.
1. За правилом знаходження невідомого елемента пропорції маємо a=\frac{n}{3}
2. Так як 1 + log₃n = log₃3 + log₃n = log₃3n, то маємо рівність log₃3n=log₃a, звідки a = 3n.
3. Так як 3ⁿ ∙ 3 = 3ⁿ ∙ 3ⁿ = 3^{n + 1}, то маємо рівність 3^{n + 1} = 3^a, звідки a = n+1.

---

Завдання 4. Обчисліть log₈16.

\frac{1}{2}

\frac{4}{3}

1

8

12

Показати відповідь

Б.
log₈16 = \log_{2^3}{2^4} = \frac{4}{3}log_2{2} =\frac{4}{3}.

Завдання 5. log₂5+log₂1,6 =

3

3,3

0,25

4

log₂6,6

Показати відповідь

А.
log₂5+log₂1,6 = log₂(5 · 1,6) = log₂8 = 3.

Завдання 6. Обчисліть значення виразу log₅49+2log₅\frac{5}{7}.

0

1

2

4

25

Показати відповідь

В.
log₅49+2log₅\frac{5}{7} = log₅49+log₅\frac{5^2}{7^2} = log₅49+log₅\frac{25}{49} = log₅(49 · \frac{25}{49}) = log₅25 = 2.

Завдання 7. Обчисліть значення виразу log₃45+log₃900-log₃500.

\frac{1}{4}

4

3

27

log₃445

Показати відповідь

Б.
log₃45+log₃900-log₃500 = \log_3\frac{45\cdot900}{500} = \log_3\frac{45\cdot9}{5} = \log_3\frac{9\cdot9}{1} = log₃81 = 4.

Завдання 8. \frac{\lg25}{\lg5} = ?

lg5

5

lg20

2

0,5

Показати відповідь

Г.
\frac{\lg25}{\lg5} = log₅25 = 2.

Завдання 9. Обчисліть 36^{\log_65}.

5

6

10

25

36

Показати відповідь

Г.
36^{\log_65} = (6^2)^{\log_65} = 6^{2\log_65} = 6^{\log_65^2} = 6^{\log_625} = 25.

Завдання 10. Якщо log₄3 = a, то log₁₆9 = ?

4a

а²

2a

\frac{a}{2}

a

Показати відповідь

Д.
log₁₆9 = \log_{4^2}{3^2} = \frac{2}{2}log₄3 = a.

Завдання 11. Обчисліть \log_a\sqrt{ab}, якщо log_ab = 7.

\frac{2}{3}

2

3

\frac{7}{2}

4

Показати відповідь

Д.
\log_a\sqrt{ab} = \log_a{(ab)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}log_a(ab) = \frac{1}{2}(log_aa+log_ab) = \frac{1}{2}(1+7) = 4.

Завдання 12. Укажіть проміжок, якому належить число log₅4.

(0;1)

(1;2)

(2;3)

(3;4)

(4;5)

Показати відповідь

А.
Оскільки 1 < 4 < 5 і основа логарифма більше за 1, то log₅1 < log₅4 < log₅5. Звідси 0 < log₅4 < 1.

Завдання 13. Укажіть проміжок, якому належить число log₂9.

(0;1)

(1;2)

(2;3)

(3;4)

(4;5)

Показати відповідь

Г.
Оскільки 8 < 9 < 16 і основа логарифма більше за 1, то log₂8 < log₂9 < log₂16. Звідси 3 < log₂9 < 4.

Завдання 14. Якому з наведених проміжків належить число log_2\frac{1}{3}

(-∞;-3)

(-3;-1)

(-1;1)

(1;3)

(3;+∞)

Показати відповідь

Б.
Оскільки \frac{1}{8} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} і основа логарифма більше за 1, то log₂\frac{1}{8} < log₂\frac{1}{3} < log₂\frac{1}{2}. Звідси -3 < log_2\frac{1}{3} < -1.

Завдання 15. До кожного виразу (1-4) оберіть тотожно йому рівний (А-Д), якщо m>2, m - натуральне число.

1 (m+1)²-m²-1
2 mcos²α+ msin²α
3 100^lgm
4 \log_2\sqrt[m]{2}

А 0
Б m
В 2m
Г m²
Д \frac{1}{m}

Показати відповідь

1-В, 2-Б, 3-Г, 4-Д.
1) (m+1)²-m²-1 = m²+2m+1-m²-1 = 2m.
2) mcos²α+ msin²α = m(cos²α+ sin²α) = m.
3) 100^lgm = 10^2lgm = 10^lgm2 = m².
4) \log_2\sqrt[m]{2} = \log_22^\frac{1}{m} = \frac{1}{m}.

Завдання 16. Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а>0,а≠1,m≠0, n≠0, m≠ -n.

1 \frac{n^2-m^2}{n+m}
2 \frac{1}{n}:\frac{1}{m}
3 \log_{a^m}a^{n}
4 n(6m+1)-m(6n-1)

А mn
Б \frac{m}{n}
В \frac{n}{m}
Г n+m
Д n-m

Показати відповідь

1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.
1) \frac{n^2-m^2}{n+m} = \frac{(n-m)(n+m)}{n+m} = n-m.
2) \frac{1}{n}:\frac{1}{m} = \frac{1}{n}\cdot\frac{m}{1} = \frac{m}{n}
3) \log_{a^m}a^{n} = \frac{n}{m}\log_{a}a = \frac{n}{m}
4) n(6m+1)-m(6n-1) = 6mn+n-6mn+m = n+m.

Завдання 17. Нехай а — довільне додатне число. Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А-Д).

1 a^-1
2 \sqrt{(-a)^2}
3 5:\frac{1}{5a}
4 25^log₅a

А -a
Б \frac{1}{a}
В a
Г a²
Д 25a

Показати відповідь

1-Б, 2-В, 3-Д, 4-Г.
1) a^-1 = \frac{1}{a}.
2) \sqrt{(-a)^2} = |-a| = a (так як а - додатнє число, то -а є від'ємним числом і розкриваючи модуль змінюємо знак на протилежний).
3) 5:\frac{1}{5a} = 5 · 5a = 25a.
4) 25^log₅a = 5^2log₅a = 5^log₅a2 = a².

Завдання 18. Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а — довільне додатне число.

1 (3a³)²
2 \sqrt[3]{27a^6}
3 \frac{27a^6}{9a^3}
4 3^2+log₃a3

А 9a⁶
Б 9a³
В 9a⁵
Г 3a³
Д 3a²

Показати відповідь

1-А, 2-Д, 3-Г, 4-Б.
1) (3a³)² = 3²a^{3 · 2} = 9a⁶.
2) \sqrt[3]{27a^6} = 3a^6:3 = 3a²
3) \frac{27a^6}{9a^3} = 3a^6-3 = 3a³
4) 3^2+log₃a3 = 3² · 3^log₃a3 = 9a³.

Завдання 19. До кожного початку речення (1-4), де а>0, b>0, доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1 Якщо log₂a = 2log₂b, то
2 Якщо a³ = 8b³, то
3 Якщо \sqrt{a} = 2\sqrt{b}, то
4 Якщо 2^a = 4·2^b, то

А a = 2b
Б a = 2+b
В a = 4b
Г a = b²
Д a = 3b

Показати відповідь

1-Г, 2-А, 3-В, 4-Б.
1) log₂a = 2log₂b
log₂a = log₂b²
a = b².
2) a³ = 8b³
a³ = (2b)³
a = 2b
3) \sqrt{a} = 2\sqrt{b}
a = 4b (піднесли обидві частини рівності до квадрату)
4) 2^a = 4·2^b
2^a = 2²·2^b
2^a = 2^2+b
a = 2+b.

Завдання 20. Обчисліть 400^1-log₂₀4.

Показати відповідь

25.
400^1-log₂₀4=400¹:400^log₂₀4 = 400:20^2log₂₀4= 400:20^log₂₀16 = 400:16=25.

Завдання 21. Обчисліть значення виразу \frac{1}{70}\cdot2^{3\log_27}

Показати відповідь

4,9.
\frac{1}{70}\cdot2^{3\log_27} = \frac{1}{70}\cdot2^{\log_27^3} = \frac{1}{70}\cdot7^3 = \frac{7^3}{70} = \frac{7^2}{10} = \frac{49}{10} = 4,9.

Завдання 22. Обчисліть значення виразу log_a500-log_a4, якщо \log_5a = \frac{1}{4}

Показати відповідь

12.
log_a500-log_a4 = \log_a\frac{500}{4} = log_a125 = log_a5³ = 3log_a5 = \frac{3}{\log_5a} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 3 · 4 = 12.

Завдання 23. Обчисліть log₂\frac{1}{8}+log₅25.

Показати відповідь

-1.
log₂\frac{1}{8}+log₅25 = -3+2 = -1.

Завдання 24. Обчисліть log₃18-log₃2.

Показати відповідь

2.
log₃18-log₃2 = \log_3\frac{18}{2} = log₃9 = 2.

Завдання 25. Обчисліть значення виразу \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_62}\cdot3^{\log_6\frac{1}{2}}.

Показати відповідь

0,5.
\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_62}\cdot3^{\log_6\frac{1}{2}} = \left(2^{-1}\right)^{\log_62}\cdot3^{\log_62^{-1}} = 2^{-\log_62}\cdot3^{-\log_62} = (2\cdot3)^{-\log_62} = 6^{-\log_62} = 6^{\log_6\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = 0,5.

Завдання 26. Обчисліть log₃₂8-3^{\frac{2}{\log_73}}.

Показати відповідь

-48,4.
log₃₂8-3^{\frac{2}{\log_73}} = \log_{2^5}2^3-3^{2\cdot\log_37} = \frac{3}{5}\log_22-3^{\log_37^2} = \frac{3}{5}-3^{\log_349} = \frac{3}{5}-49 = 0,6-49 = -48,4.

Завдання 27. Обчисліть (\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}.

Показати відповідь

80.
(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16} = (\sqrt{20})^{2+\log_{20}4^2} = (\sqrt{20})^{2+2\log_{20}4} = (\sqrt{20})^{2(1+\log_{20}4)} = 20^{1+\log_{20}4} = 20^1\cdot20^{\log_{20}4} = 20 · 4 = 80.

Завдання 28. Обчисліть \frac{1}{25}\cdot9^{\log_3\sqrt{14}+0,5}.

Показати відповідь

1,68.
\frac{1}{25}\cdot9^{\log_3\sqrt{14}+0,5} = \frac{1}{25}\cdot3^{2(\log_3\sqrt{14}+0,5)} = \frac{1}{25}\cdot3^{2\log_3\sqrt{14}+1} = \frac{1}{25}\cdot3^{\log_3{14}+1} = \frac{1}{25}\cdot3^{\log_3{14}}\cdot3^1 = \frac{1}{25}\cdot14\cdot3 = \frac{42}{25} = 1,68.

Завдання 29. Якщо додатні числа х і у задовольняють умову \frac{x}{y} = \frac{1}{4}, то
1.\frac{x+y}{y} =
2. log₂x-log₂y =

Показати відповідь

1,25; -2.
1. \frac{x+y}{y} = \frac{x}{y}+\frac{y}{y} = \frac{x}{y}+1 = \frac{1}{4}+1 = 0,25+1 = 1,25.
2. log₂x-log₂y = log_2{\frac{x}{y}} = log_2{\frac{1}{4}} = -2.

⇐ І.5.
Дії з ірраціональностями До змісту (НМТ/ЗНО) І.7.
Тригонометричні вирази ⇒